【广东省汕头市】2017届高三第三次模拟考试理科数学试卷-答案.pdf

-1-/6 广东省广东省汕头市汕头市 2017 届高三届高三第三次模拟考试第三次模拟考试理科数学理科数学试卷试卷 答答 案案 一、选择题 15DCBBC 610AABCC 1112DA 二、填空题 13240 140,5 152 16134 三、解答题 17解：（）sin()1cos()2ABC 1 sin1 sin()CAB ，故2sin cos1AB，1sin cos2AB （）由正弦定理得sin2 3sin3AaBb，由（）知2 331sin cossin cossin2332ABBBB，3sin22B，23B 或23，6B 或3 18（）证明：作MECD交 SD 于点 E，则ME AB，ME 平面 SAD，连接 AE，则四边形 ABME 为直角梯形作MFAB，垂足为 F，则 AFME 为矩形 设MEx，则SEx，222(2)2AEEDADx，2(2)2MFAEx，2FBx，由tan60MFFB，得2(2)23(2)xx，解得1x，即1ME，从而12MEDC，所以 M 为侧棱 SC 的中点（）解：222MBBCMC，又60ABM，2AB，所以ABM为等边三角形，又由（）知 M 为 SC 中点，-2-/6 2SM，6SA，2AM，故222SASMAM，90SMA 取 AM 中点 G，连接 BG，取 SA 中点 H，连接 GH，则BGAM，GHAM，由此知BGH为二面角SAMB的平面角，连接 BH，在BGH中，33,2BGAM12,22GHSM22222BHABAH,所以2226cos23BGGHBHBGHBG GH 所以二面角SAMB的余弦为63 19解：（）一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为 A，则事件A 的概率为13，该厂有 4 台机器就相当于 4 次独立重复试验，因出现故障的机器台数为X，故1(4,)3XB，044216(0)C()381P X，0341232(1)C(),3381P X 02241224(2)C()()3381P X，034128(3)C()3381P X，1(4)81P X 即 X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181（）设该厂有 n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障及时进行维修”为xn，即0 x，1x，xn，这1n个互斥事件的和事件，则 n 0 1 2 3 4()P xn 1681 4881 7281 8081 1 728090%8181，至少要 3 名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不少于90%（）设该厂获利为Y万元，则Y的所有可能取值为：18，13，8，-3-/6 72(18)(0)(1)(2)81P YP XP XP X,8(13)(3)81P YP X,1(8)(4)81P YP X,即 Y 的分布列为：Y 18 13 8 P 7281 881 181 则72811408()1813881818181E Y ，故该厂获利的均值为140881 20解：（）将抛物线 E：2yx代入圆 M：222(4)xyr（0r）的方程，消去2y，整理得227160 xxr，E 与 M 有四个交点的充要条件是：方程有两个不相等的正根12xx，由此得2212212(7)4(16)0,70,160,rxxx xr 解得215164r，又0r，所以 r 的取值范围为15(,4)2（）设四个交点的坐标分别为11(,)A xx，11(,)B xx，22(,)C xx，22(,)D xx，则直线 AC、BD 的方程分别为 211121()xxyxxxxx，211121()xxyxxxxx，解得点 P 的坐标为1 2(,0)x x，设1 2tx x，由216tr及（）得7(0,)2t 由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积 则2112211212|()|()2Sxxxxxxxx，22121 2121 2()4(2)Sxxx xxxx x，将127xx，1 2x xt代入上式，并令2()f tS，得 -4-/6 232()(72)(72)82898343f tttttt7(0)2t，22456982 2767fttttt，令()0ft，得76t，或72t （舍去）当706t 时，()0ft；当76t 时，()0ft；当7762t 时，()0ft，故当且仅当76t 时，()f t有最大值，即四边形 ABCD 的面积最大，故所求的点 P 的坐标为7(,0)6 21解：（）()f x的定义域为(0,1)(1,+)，2ln1()(ln)xfxx，由于直线()yg x过定点(1,0)，设直线()yg x与曲线()yf x相切于点000(,)lnxxx（00 x 且01x），则000200ln1ln(ln)1xxxkxx，即00ln1xx0，设()ln1h xxx，(0,)x，则1()1 0h xx，所以()h x在(0,)上单调递增，又(1)0h，从而当且仅当01x 时，成立，这与01x 矛盾 所以，k R，直线()yg x都不是曲线()yf x的切线（）1()()2f xg x，即1(1)ln2xk xx，令()(1)lnxxk xx，2e,e x，则2e,e x，使1()()2f xg x 成立，即min1()2x，222ln111111()()()(ln)lnlnln24xxkkkxxxx （）当14k时，()0 x，()x在2e,e 上为减函数，于是222mine()(e)(e1)2xk，由22e1(e1)22k 得12k，满足14k，所以12k符合题意（）当14k时，由211()24ytk 及1lntx的单调性知111()()ln24xkx 在2e,e 上为增函数，所以2(e)()(e)x，即1()4kxk 若0k，即0k，则()0 x，所以()x在2e,e 上为增函数，于是 -5-/6 min1()(e)e(e 1)e2xk ，不合题意；若0k，即104k，则由(e)0k ，21(e)04k 及()x的单调性知存在唯一20e,e x，使0()0 x，且当0(e,)xx时，()0 x，()x为减函数；当20(,e)xx时，()0 x，()x为增函数，所以0min000()()(1)lnxxxk xx，由0001(1)ln2xk xx，得00000111111()()1 ln21 2224xxkxxx，这与104k 矛盾，不合题意 综上可知，k 的取值范围为1,)2 22解：（）点 P 在直线上，理由如下：直线 l：32cos()6，即2 cos()36，即3 cossin3，所以直线的直角坐标方程为33xy，易知点 P 在直线上（）由题意，可得直线 l 的参数方程为1,233,2xtyt（t 为参数），曲线 C 的普通方程为22=124xy，直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程，得22132()(3)422tt，251240tt，根为1t，2t，12125tt，1 2405t t ，故1t与2t异号，212121 24 14|()45PAPBttttt t，121 24|5PAPBttt t，11|14|PAPBPAPBPAPB 23解：（）依题意有|23|(3)aaa，若32a，则23 3a，332a，若302a，则3 23a，302a，若0a，则32(3)aaa，无解 综上所述，a 的取值范围为(0,3)（）由题意可知，当 1,1x 时，()()f xg x恒成立，-6-/6|3xa恒成立，即33xax ，当 1,1x 时恒成立，所以22a