2022-2022学年高中数学课时跟踪检测二十二圆的一般方程北师大版必修.doc

课时跟踪检测〔二十二〕 圆的一般方程
一、根本能力达标
1．圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，那么圆心坐标为(　　)
A．(1，－1)　　　　　　　　 B．
C．(－1,2) D．
解析：选D　将圆的方程化为标准方程，得2＋(y＋1)2＝，所以圆心为.
2．圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)
A．(1,1) B．(1，－1)
C．(－1,0) D．(0，－1)
解析：选D　由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0得
2＋(y＋1)2＋k2－1＝0，
即2＋(y＋1)2＝1－k2.
假设表示圆，那么r2＝1－k2>0，
∴当k2＝0，r最大为1，此时圆的面积最大．此时圆心为(0，－1)．
3．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，那么l的方程为(　　)
A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
解析：选A　由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得直线方程为x＋y－3＝0.
4．假设圆x2＋y2－6x－8y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，那么a的值为(　　)
A．－2或2 B．或
C．2或0 D．－2或0
解析：选C　由圆的方程得圆心坐标为(3,4)．再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.
5．假设圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，那么l的方程是(　　)
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
解析：选D　l为两圆圆心的垂直平分线，两圆圆心为(0,0)和(－2,2)，其中点为(－1,1)，垂直平分线斜率为1，方程为y－1＝x＋1即x－y＋2＝0.
6．假设方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，那么F＝________.
解析：由题意，知D＝－4，E＝8，r＝＝4，∴F＝4.
答案：4
7．假设使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12＝0(a为实数)的面积最小，那么a＝________.
解析：圆的半径r＝ ＝ ＝，∴当a＝－2时，r最小，从而圆面积最小．
答案：－2
8．假设圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，那么直线PQ的斜率kPQ＝________.
解析：由题意知，圆心(－1,3)在直线kx＋2y－4＝0上，所以k＝2，即直线kx＋2y－4＝0的斜率为－＝－1，所以kPQ＝1.
答案：1
9．圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程．
解：法一：设圆心C的坐标为(0，b)，由
|CA|＝|CB|得 ＝，
解得b＝2.
∴C点坐标为(0,2)．
∴圆C的半径r＝|CA|＝.
∴圆C的方程为x2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2－4y－1＝0.
法二：AB的中点为.中垂线的斜率k＝－1，
∴AB的中垂线的方程为y－＝－，
令x＝0，得y＝2，即圆心为(0,2)．
∴圆C的半径r＝|CA|＝ ，
∴圆的方程：x2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2－4y－1＝0.
10．某海滨城市的气象台测得附近海面有台风，根据监测，当前台风中心位于该市正南方向300 km处，假设台风以40 km/h的速度向东北方向移动，距台风中心250 km以内的区域都受到台风的影响，问从现在起，大约多长时间后，该市将受到台风的影响？该市持续受台风影响将长达多少小时？
解：以该市为原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，如图，由题意知，当台风中心进入圆x2＋y2＝2502 内时，该市将受到台风的影响，根据监测，台风中心正沿直线x－y＝300向东北方向移动．
设直线x－y＝300与x轴，y轴的交点为A，B，交圆x2＋y2＝2502于C，D两点，作OE⊥AB，垂足为E，
那么在Rt△DOE中，|OE|＝150 ，|OD|＝250，
∴|DE|＝＝50 .
在Rt△BOE中，|BE|＝150 ，
∴|BD|＝|BE|－|DE|＝150－50，
|CD|＝2|DE|＝100.
∴t1＝≈2，t2＝≈6.6.
故从现在起，大约2 h后该市受到台风的影响，持续时间大约为6.6 h.
二、综合能力提升
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－3)2＝16
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16
D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
解析：选C　将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.
2．假设方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的圆与x轴相切，那么有(　　)
A．D2－4F＝0　　　　　　 B．D2－4E＝0
C．D＝E D．D2＋4F＝0
解析：选A　由于圆与x轴相切，所以＝ ，整理得D2－4F＝0.
3．实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，那么x2＋y2的最大值为(　　)
A. B．3＋
C．14－6 D．14＋6
解析：选D　由题知点(x，y)在圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0，即(x＋2)2＋(y－1)2＝9上．又圆心(－2,1)到原点的距离为＝，故x2＋y2的最大值为(＋3)2＝14＋6.
4．假设圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有点都在第二象限，那么a的取值范围为(　　)
A．(－∞，2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D　由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a,2a)，半径为2，由题意知解得a>2，应选D.
5．关于方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圆，以下表达中：①圆心在直线y＝－x上；②其圆心在x轴上；③过原点；④半径为a.其中表达正确的选项是________(要求写出所有正确命题的序号)．
解析：将圆的方程化为标准方程可知圆心为(－a，a)，半径为|a|，故①③正确．
答案：①③
6．圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，那么a－b的取值范围是________．
解析：由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.
答案：(－∞，1)
7．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
解：圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2，①
又r＝＝，
∴D2＋E2＝20，②
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
∴
∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
探究应用题
8．圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)点P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)假设M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
解：(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4,5)，
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2) ∵圆心C坐标为(2,7)，
∴|QC|＝＝4，
圆的半径是2，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
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