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课时跟踪训练(五十) 椭圆(二)
[根底稳固]
一、选择题
1．(2022·辽宁师大附中期中)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，那么k1k2的值为( )
A．2 B．－2 C. D．－
[解析] 由过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆的方程，化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，∴x1＋x2＝，∴P的横坐标为，P的纵坐标为k1＝，即点P，∴直线OP的斜率k2＝，∴k1k2＝－.应选D.
[答案] D
2．如图，F(c,0)为椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，A，B为椭圆的上、下顶点，P为直线AF与椭圆的交点，那么直线PB的斜率kPB＝( )
A. B. C. D.
[解析] 直线AF的方程为＋＝1，把y＝－x＋b代入＋＝1，得x2－x＝0，
∴xP＝，yP＝，
∴kPB＝＝.
[答案] D
3．(2022·河北唐山统考)平行四边形ABCD内接于椭圆＋＝1，直线AB的斜率k1＝1，那么直线AD的斜率k2＝( )
A. B．－ C．－ D．－2
[解析] 解法一：设AB的中点为G，由椭圆与平行四边形的对称性知O为平行四边形ABCD的对角线的交点，那么GO∥AD.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有两式相减是＝－，整理得＝－＝－k1＝－1，即＝－.
又G，所以kOG＝＝－，
即k2＝－，应选B.
解法二：设直线AB的方程为y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用椭圆与平行四边形的对称性可得D(－x2，－y2)．那么直线AD的斜率k2＝＝＝1＋.联立消去y得3x2＋4tx＋2t2－4＝0，那么x1＋x2＝－，
∴k2＝1＋＝－.应选B.
[答案] B
二、解答题
4．(2022·河北涞水波峰中学、高碑店三中联考)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C与圆M：x2＋(y－3)2＝4的公共弦长为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2＋y2＝相切并交椭圆C于另一点B，求·的值．
[解] (1)∵椭圆C与圆M的公共弦长为4，∴椭圆C经过点(±2,3)，∴＋＝1，又＝，a2＝b2＋c2，解得a2＝16，b2＝12，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)右顶点A(4,0)，∵直线l与圆x2＋y2＝相切，设直线l的方程为y＝k(x－4)，∴＝，∴9k2＝1，∴k＝±.联立y＝±(x－4)与＋＝1，消去y，得31x2－32x－368＝0.设B(x0，y0)，那么由根与系数的关系得4x0＝－，∴·＝4x0＝－.
5．(2022·吉林长春外国语学校期中)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上任意一点，且|PF1|＋|PF2|＝2，它的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程．
(2)是否存在正实数t，使直线x－y＋t＝0与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝上？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由．
[解] (1)∵F1，F2为椭圆的左、右焦点，P是椭圆上任意一点，且|PF1|＋|PF2|＝2，∴a＝.
∵2c＝2，∴c＝1，∴b＝＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立化简得
3x2＋4tx＋2t2－2＝0.①
由①知x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝x1＋x2＋2t＝.
∵线段AB的中点在圆x2＋y2＝上，
∴2＋2＝，解得t＝(负值舍去)，
故存在t＝满足题意．
6．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，假设＝2，求直线l的方程．
[解] (1)设椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，因为c＝1，＝，所以a＝2，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，
那么由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ＝192k2＋96>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么由＝2得x1＝－2x2.
又所以
消去x2，得2＝，解得k2＝，k＝±.
所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.
[能力提升]
7．(2022·河南考前预测)椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点是F1，F2，且|F1F2|＝2，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)假设过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|·|F2B|的取值范围．
[解] (1)因为椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意知解得a＝2，b＝.
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为F2(1,0)，所以①当直线l的斜率不存在时，A，B，那么|AF2|·|F2B|＝.
②当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为y＝k(x－1)．
由消去y，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.(*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1，x2是方程(*)的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
所以|AF2|＝＝·|x1－1|，
|F2B|＝＝·|x2－1|，
所以|AF2|·|F2B|＝(1＋k2)·|x1x2－(x1＋x2)＋1|
＝(1＋k2)·
＝(1＋k2)·
＝(1＋k2)·
＝.
当k2＝0时，|AF2|·|F2B|取最大值3，
所以|AF2|·|F2B|的取值范围为.
由①②知|AF2|·|F2B|的取值范围为.
8．(2022·河北百校联盟期中)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.
(1)求M的方程；
(2)C，D为M上两点，假设四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．
[解] (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，那么
＋＝1，＋＝1，＝－1.
由此可得＝－＝1.
因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，＝，所以a2＝2b2.
又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3.
因此a2＝6，b2＝3.
所以M的方程为＋＝1.
(2)由解得或
因此|AB|＝.
由题意可设直线CD的方程为
y＝x＋n，
设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由
得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.
于是x3＋x4＝－，x3·x4＝.
因为直线CD的斜率为1，
所以|CD|＝|x4－x3|＝.
由，四边形ACBD的面积
S＝|CD|·|AB|＝.
当n＝0时，S取得最大值，最大值为.
所以四边形ACBD面积的最大值为.
9．设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋＝1(b>0)，其离心率为.
(1)求椭圆M的方程；
(2)假设直线l过点P(0,4)，那么直线l何时与椭圆M相交？
[解] (1)因为椭圆M的离心率为，
所以＝2，得b2＝2.
所以椭圆M的方程为＋＝1.
(2)①过点P(0,4)的直线l垂直于x轴时，直线l与椭圆M相交．
②过点P(0,4)的直线l与x轴不垂直时，可设直线l的方程为y＝kx＋4.
由消去y，得(1＋2k2)x2＋16kx＋28＝0.
因为直线l与椭圆M相交，
所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×28＝16(2k2－7)>0，
解得k<－或k>.
综上，当直线l垂直于x轴或直线l的斜率的取值范围为∪时，直线l与椭圆M相交．
10．(2022·广东惠州调研)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点．
①假设线段AB中点的横坐标为－，求斜率k的值；
②点M，求证：·为定值．
[解] (1)＋＝1(a>b>0)满足a2＝b2＋c2，又＝，×b×2c＝，解得a2＝5，b2＝，
那么椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
①将y＝k(x＋1)代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－5＝0，
∴Δ＝48k2＋20>0，x1＋x2＝－，
∵AB中点的横坐标为－，
∴－＝－1，解得k＝±.
②证明：由①知x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴·
＝·
＝＋y1y2
＝＋k2(x1＋1)(x2＋1)
＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋k2
＝(1＋k2)＋＋＋k2
＝＋＋k2
＝(定值)．
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