2023版高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲双曲线练习理北师大版.doc

第7讲 双曲线
[根底题组练]
1．“k<9〞是“方程＋＝1表示双曲线〞的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，
所以“k<9〞是“方程＋＝1表示双曲线〞的充分不必要条件，应选A.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，那么其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，应选A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，应选A.
3．(2023·广东揭阳一模)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，那么该双曲线的离心率为(　　)
A.－1 B．
C. D．2
解析：选B.将x＝±c代入双曲线的方程得y2＝⇒y＝±，那么2c＝，即有ac＝b2＝c2－a2，由e＝，可得e2－e－1＝0，解得e＝(舍负)．应选B.
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．假设A1B⊥A2C，那么该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C.
如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，.又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)．
所以＝，＝.
因为A1B⊥A2C，所以·＝0，
即(c＋a)(c－a)－·＝0，
即c2－a2－＝0，
所以b2－＝0，故＝1，即＝1.
又双曲线的渐近线的斜率为±，
故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.
5．(2023·河北衡水三模)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(，0)作斜率为k(k＜－1)的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，假设S△BOF＝(O为坐标原点)，那么k的值为(　　)
A．－ B．－2
C．－ D．－
解析：选B.由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝－x，过第二象限的渐近线的方程为y＝x，直线FB的方程为y＝k(x－)，联立方程得⇒x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝.
令＝，得k＝－2或k＝(舍)．应选B.
6．(2023·黄山模拟)过双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点(－，0)，作圆(x－)2＋y2＝4的切线，切点在双曲线E上，那么E的离心率等于(　　)
A．2 B．
C. D．
解析：选B.设圆的圆心为G，双曲线的左焦点为F.由圆的方程(x－)2＋y2＝4，知圆心坐标为G(，0)，半径R＝2，那么FG＝2.
设切点为P，
那么GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a，
由|PF|2＋|PG|2＝|FG|2，
即(2＋2a)2＋4＝20，
即(2＋2a)2＝16，得2＋2a＝4，a＝1，又c＝，
所以双曲线的离心率e＝＝，应选B.
7．设F为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，假设线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为|OF|，那么双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．
C．2 D．3
解析：选B.双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，线段OF的垂直平分线为直线x＝，将x＝代入y＝x，那么y＝，那么交点坐标为，
点到直线y＝－x，即bx＋ay＝0的距离d＝＝|OF|＝，得c＝2b＝2，即4a2＝3c2，
所以双曲线的离心率e＝＝，应选B.
8．双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.假设△OMN为直角三角形，那么|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
解析：选B.因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，那么∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，应选B.
9．(2023·湛江模拟)设F为双曲线E：－＝1(a，b＞0)的右焦点，过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A，B两点，O为坐标原点，四边形OAFB为菱形，圆x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)与E在第一象限的交点是P，且|PF|＝－1，那么双曲线E的方程是(　　)
A.－＝1 B．－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
解析：选D.双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，
因为四边形OAFB为菱形，
所以对角线互相垂直平分，所以c＝2a，∠AOF＝60°，
所以＝.
那么有
解得P.
因为|PF|＝－1，
所以＋＝(－1)2，解得a＝1，
那么b＝，
故双曲线E的方程为x2－＝1.
应选D.
10．双曲线－＝1(b＞0)的左顶点为A，虚轴长为8，右焦点为F，且⊙F与双曲线的渐近线相切，假设过点A作⊙F的两条切线，切点分别为M，N，那么|MN|＝(　　)
A．8 B．4
C．2 D．4
解析：选D.因为双曲线－＝1(b＞0)的虚轴长为8，
所以2b＝8，解得b＝4，
因为a＝3，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，c2＝a2＋b2＝25，A(－3，0)，所以c＝5，所以F(5，0)，
因为⊙F与双曲线的渐近线相切，
所以⊙F的半径为＝4，
所以|MF|＝4，
因为|AF|＝a＋c＝3＋5＝8，
所以|AM|＝＝4，
因为S四边形AMFN＝2×|AM|·|MF|＝|AF|·|MN|，
所以2××4×4＝×8|MN|，
解得|MN|＝4，应选D.
11．(2023·开封模拟)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，假设＝2，那么双曲线的离心率为(　　)
A. B．
C. D．2
解析：选B.设P(0，3m)，由＝2，可得点M的坐标为，因为OM⊥PF，所以·＝－1，所以m2＝c2，所以M，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋＋＝c2，a2＝c2，所以e＝＝，应选B.
12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，那么此双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，)
B．(，)
C．(，2)
D．(1，)∪(，＋∞)
解析：选D.设双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)，
令x＝－c，可得y＝±，可设A，B.
又设D(0，b)，可得＝，＝，
＝，＝.
由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．
当∠DAB为钝角时，可得·<0，即为0－·<0，化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2.可得c2<2a2，即e＝<.又e>1，可得1<e<；
当∠ADB为钝角时，可得·<0，
即为c2－<0，化为c4－4a2c2＋2a4>0，由e＝，
可得e4－4e2＋2>0.又e>1，可得e>.
综上可得，e的范围为(1，)∪(，＋∞)．应选D.
13．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，那么有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
答案：－＝1
14．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F1作圆x2＋y2＝a2的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，O为坐标原点，M为线段PF1的中点(点M在切点T的右侧)，假设△OTM的周长为4a，那么双曲线的渐近线方程为________．
解析：连接OT，那么OT⊥F1T，
在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝＝b.
设双曲线的右焦点为F2，连接PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，
所以OM＝PF2，
所以|MO|－|MT|＝|PF2|－
＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a.
又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a，
故|MO|＝，|MT|＝，
由勾股定理可得a2＋＝，即＝，
所以渐近线方程为y＝±x.
答案：y＝±x
15．M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．假设·<0，那么y0的取值范围是________．
解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
那么＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
因为·<0，
所以(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
因为点M(x0，y0)在双曲线C上，
所以－y＝1，即x＝2＋2y，
所以2＋2y－3＋y<0，所以－<y0<.
答案：
16．如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，假设直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，那么双曲线的离心率为________．
解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋，所以e＝.
答案：
[综合题组练]
1．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，假设E为线段FP的中点，那么双曲线的离心率为(　　)
A. B．
C.＋1 D．
解析：选A.
法一：如下图，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，
因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，应选A.
法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝.
2．(2023·汉中模拟)设F1(－c，0)，F2(c，0)是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，那么|OQ|(　　)
A．为定值a
B．为定值b
C．为定值c
D．不确定，随P点位置变化而变化
解析：选A.延长F1Q，PF2交于点M，那么三角形PF1M为等腰三角形，可得Q为F1M的中点，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝|F2M|＝2a，由三角形中位线定理可得|OQ|＝|F2M|＝a，应选A.
3．以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，那么S△PMF1－S△PMF2＝(　　)
A．2 B．4
C．1 D．－1
解析：选A.由题意，知双曲线方程为－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2.
又结合平面几何知识可得，△F1PF2的内心在直线x＝2上，所以点M(2，1)就是△F1PF2的内心．
故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.
4．(2023·高考全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．假设＝，·＝0，那么C的离心率为________．
解析：通解：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．
所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan ∠BF1O＝，tan ∠BOF2＝.因为tan ∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
优解：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，
在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.
答案：2
5．双曲线C：－y2＝1，直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，那么直线l所过定点为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，
所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.
因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，
即·＝－1，
所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，
即＋＋＋4＝0，
所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝.
当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与矛盾；
当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合条件．
故直线l过定点.
答案：
6．P为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一点，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于A，B两点．假设点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点，当＝时，△AOB的面积为2b，那么双曲线C的实轴长为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)，
那么x＝x1＋x2，y＝y1＋y2，
所以－＝1.
由题意知A在直线y＝x上，B在y＝－x上，那么y1＝x1，y2＝－x2.
所以－＝1，即b2(x1＋x2)2－a2(x1－x2)2＝a2b2，
化简得：a2＝x1x2，
由渐近线的对称性可得sin∠AOB＝sin 2∠AOx
＝＝＝＝.
所以△AOB的面积为|OA||OB|sin∠AOB＝··sin∠AOB
＝··
＝x1x2···
＝a2··[1＋()2]＝ab＝2b，解得a＝.所以双曲线C的实轴长为.
答案：
12