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导数与函数的单调性
课时作业
1．(2022·宁夏固原市模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.应选D．
2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上单调递增，在(π，2π)上单调递减
D．在(0，π)上单调递减，在(π，2π)上单调递增
答案 A
解析 因为f′(x)＝1－cosx>0在(0,2π)上恒成立，所以f(x)在(0,2π)上为增函数．应选A．
3．函数y＝x2－ln x的单调减区间为( )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案 B
解析 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，那么可得0<x≤1.应选B．
4．函数f(x)＝x＋在(－∞，＋∞)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先增后减的函数 D．先减后增的函数
答案 A
解析 f′(x)＝1＋＝，
∵对任意实数x，f′(x)>0恒成立．
∴f(x)在R上是增函数．应选A．
5．(2022·陕西西安模拟)函数f(x)＝(a>0)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝.由于a>0，要使f′(x)>0，只需(1－x)·(1＋x)>0，解得x∈(－1,1)．应选B．
6．设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，那么实数a的取值范围是( )
A．(1,2] B．(4，＋∞)
C．(－∞，2) D．(0,3]
答案 A
解析 因为f(x)＝x2－9ln x，所以f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，有0<x≤3，即在(0,3]上函数f(x)是减函数，那么[a－1，a＋1]⊆(0,3]，所以a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.应选A．
7．在R上可导的函数f(x)的图象如下图，那么关于x的不等式xf′(x)<0的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－2，－1)∪(1,2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案 A
解析 在(－∞，－1)和(1，＋∞)上，f(x)递增，所以f′(x)>0，使xf′(x)<0的范围为(－∞，－1)；在(－1,1)上，f(x)递减，所以f′(x)<0，使xf′(x)<0的范围为(0,1)．综上，关于x的不等式xf′(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．
8．(2022·冀州中学模拟)假设函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，那么使函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )
A．(0,1) B．[0,2]
C．(2,3) D．(2,4)
答案 C
解析 由f′(x)<0⇔x2－4x＋3<0，
即1<x<3，∴函数f(x)在(1,3)上单调递减．
∴函数f(x－1)在(2,4)上单调递减．
故D为充要条件，C为充分不必要条件．
9．(2022·福建漳州质检)函数y＝x2＋ln |x|的图象大致为( )
答案 A
解析 显然y＝x2＋ln |x|是偶函数，故排除B，C，又当x>0时，y＝x2＋ln x，y′＝2x＋>0，即函数在(0，＋∞)上单调递增，排除D．应选A．
10．(2022·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R内可导，假设f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)·f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，那么( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．c<b<a D．b<c<a
答案 B
解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为直线x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)．由x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，可知f′(x)>0.即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)<f(0)<f，即c<a<b.
11．(2022·临川模拟)函数f(x)＝x2－ln x＋在其定义域的一个子区间(a－1，a＋1)内不是单调函数，那么实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．
答案 D
解析 由题意，知f′(x)＝2x－＝在区间(a－1，a＋1)上有零点，由f′(x)＝0，得x＝，那么
解得1≤a＜.应选D．
12．定义在R上的函数y＝f(x)满足f(3－x)＝f(x)，f′(x)<0，假设x1<x2，且x1＋x2>3，那么以下关系正确的选项是( )
A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．f(x1)，f(x2)的大小关系不确定
答案 B
解析 由f(x)＝f(3－x)可得函数图象关于直线x＝对称．又由f′(x)<0，得当x>时f′(x)<0；当x<时f′(x)>0.由x1<x2，x1＋x2>3，得x2>.假设≤x1<x2，由单调性得f(x1)>f(x2)；假设x1<，由3－x1<x2，得f(x1)＝f(3－x1)>f(x2)．综上f(x1)>f(x2)．应选B．
13．函数f(x)＝的单调递减区间是________.
答案 (0,1)和(1，e)
解析 由f′(x)＝<0得
解得0<x<1或1<x<e.
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)和(1，e)．
14．(2022·武汉模拟)f(x)＝2ln x＋x2－5x＋c在区间(m，m＋1)上为减函数，那么m的取值范围是________.
答案
解析 由f′(x)＝＋2x－5＝
＝<0得<x<2，即f(x)的单调递减区间为，由题意可知即≤m≤1.
15．假设函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，那么实数a的取值范围是________.
答案 a>0
解析 y′＝－x2＋a，y＝－x3＋ax有三个单调区间，那么方程－x2＋a＝0应有两个不等实根，故a>0.
16．(2022·唐山模拟)假设函数f(x)＝x2＋在上是增函数，那么实数a的取值范围是________.
答案
解析 由得，f′(x)＝2x＋a－，假设函数f(x)在上是增函数，那么当x∈时，2x＋a－≥0恒成立，即a≥－2x恒成立，即a≥max，设u(x)＝－2x，那么u′(x)＝－2<0，即函数u(x)在上单调递减，所以当x＝时，函数u(x)取得最大值u＝，所以a≥.故实数a的取值范围是.
17．函数f(x)＝x2＋aln x.
(1)当a＝－2时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)假设函数g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上单调，求实数a的取值范围．
解 (1)由题意，知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－2时，
f′(x)＝2x－＝，
由f′(x)<0得0<x<1，
故f(x)的单调递减区间是(0,1)．
(2)由题意，得g′(x)＝2x＋－，
∵函数g(x)在[1，＋∞)上单调，
当g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数时，那么
g′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－2x2在[1，＋∞)上恒成立，
设φ(x)＝－2x2.
∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减，
∴在[1，＋∞]上，φ(x)max＝φ(1)＝0，
∴a≥0.
当g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数时，那么
g′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，易知其不可能成立．
∴实数a的取值范围为[0，＋∞)．
18．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，满足f(0)＝f(1)＝0，且f(x)的最小值是－.
(1)求f(x)的解析式；
(2)设函数h(x)＝ln x－2x＋f(x)，假设函数h(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
解 (1)因为二次函数f(x)满足f(0)＝f(1)＝0，所以其对称轴为直线x＝.又f(x)的最小值是－，
故f(x)＝a2－.
因为f(0)＝0，所以a＝1，故f(x)＝x2－x.
(2)因为h(x)＝ln x－2x＋x2－x＝ln x＋x2－3x，
所以h′(x)＝＋2x－3＝，所以h(x)的单调递增区间为和[1，＋∞)，单调递减区间为.
根据题意，得解得<m≤2.
故实数m的取值范围是.
19．设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－，其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当x>1时，g(x)>0.
解 (1)f′(x)＝2ax－＝(x>0)．
当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)内单调递减．
当a>0时，由f′(x)＝0得x＝.
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，
那么s′(x)＝ex－1－1.
当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以s(x)>s(1)，即ex－1>x，
从而g(x)＝－>0.
20．(2022·衡阳模拟)函数f(x)＝aln x－ax－3(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)假设函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝.
当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)不是单调函数．
(2)由(1)及题意，得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝.
g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴
g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，故m<－9；
由g′(3)>0，得m>－.
所以－<m<－9.
即实数m的取值范围是.
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