高优指导2021版高考数学一轮复习第六章数列27数列的概念与表示考点规范练文北师大版.doc

考点规范练27　数列的概念与表示
　考点规范练A册第20页　 
基础巩固组
1.数列0,,…的一个通项公式为(　　)

A.an= B.an=
C.an= D.an=
答案:C
解析:将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N+;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N+,故选C.
2.若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=,则等于(　　)
A. B. C. D.30
答案:D
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
∴=5×(5+1)=30.
3.数列{an}的前n项积为n2,则当n≥2时,an=(　　)
A.2n-1 B.n2 C. D.
答案:D
解析:设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n2,
当n≥2时,an=.
4.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1-,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2 016的值为(　　)
A.1 006 B.1 007 C.1 008 D.1 008.5〚导学号32470473〛
答案:B
解析:由a2=,a3=-1,a4=2可知,数列{an}是周期为3的周期数列,从而S2 016=(a1+a2+a3)×672=×672=1 008.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于(　　)
A.2n-1 B.
C. D.
答案:B
解析:∵Sn=2an+1,∴当n≥2时,Sn-1=2an.
∴an=Sn-Sn-1=2an+1-2an(n≥2),即(n≥2).
又a2=,∴an=(n≥2).
当n=1时,a1=1≠,
∴an=
∴Sn=2an+1=2×.
6.(2015大连双基测试)数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N+),则数列{an}的通项公式an=　　　　　. 
答案:3n
解析:a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.
7.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=　　　　　. 
答案:(-2)n-1
解析:∵Sn=an+,①
∴当n≥2时,Sn-1=an-1+.②
①-②,得an=an-an-1,
即=-2(n≥2).
∵a1=S1=a1+,∴a1=1.
∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,故an=(-2)n-1.
8.已知数列{an}的通项公式为an=(n+2),则当an取得最大值时,n=　　　　　.〚导学号32470475〛 
答案:5或6
解析:由题意令
∴
解得∴n=5或6.
9.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)-n+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式an=　　　　　. 
答案:
解析:∵(n+1)+an+1·an-n=0,
∴(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0.
又an+1+an>0,
∴(n+1)an+1-nan=0,即,
∴·…·×…×.
又a1=1,∴an=.
10.(2015重庆模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列{bn}满足b1=2,bn+1-2bn=8an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:数列为等差数列,并求{bn}的通项公式.
解:(1)当n=1时,a1=S1=21-1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1.
∵a1=1适合通项公式an=2n-1,
∴an=2n-1.
(2)∵bn+1-2bn=8an,∴bn+1-2bn=2n+2,即=2,又=1,
∴是首项为1,公差为2的等差数列.
∴=1+2(n-1)=2n-1,
∴bn=(2n-1)×2n.
11.(2015陕西五校模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=4an-p,其中p是不为零的常数.
(1)证明:数列{an}是等比数列;
(2)当p=3时,数列{bn}满足bn+1=bn+an(n∈N+),b1=2,求数列{bn}的通项公式.
(1)证明:∵Sn=4an-p,
∴Sn-1=4an-1-p(n≥2),
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4an-4an-1,
整理得(n≥2).
由Sn=4an-p,令n=1,得a1=4a1-p,解得a1=.
∴{an}是首项为,公比为的等比数列.
(2)解:当p=3时,由(1)知,an=.
由bn+1=bn+an,得bn+1-bn=.
当n≥2时,
可得bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2+=3-1,
当n=1时,上式也成立.
∴数列{bn}的通项公式为bn=3-1.
能力提升组
12.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列{an}的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+),则an等于(　　)
A.2n-1 B.n
C.2n-1 D.〚导学号32470476〛
答案:D
解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(n∈N+),
∴Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n≥2),
两式相减得,2an=3an-1(n≥2).
又n=1时,S1+2=3a1=a1+2,∴a1=1.
∴数列{an}是首项为1,公比为的等比数列.
∴an=.
13.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N+).若bn+1=(n-λ)·,b1=-λ,且数列{bn}是递增数列,则实数λ的取值范围为(　　)
A.λ>2 B.λ>3
C.λ<2 D.λ<3〚导学号32470477〛
答案:C
解析:由已知可得+1,+1=2.
又+1=2≠0,则+1=2n,bn+1=2n(n-λ),
bn=2n-1(n-1-λ)(n≥2).b1=-λ也适合上式,
故bn=2n-1(n-1-λ).
由bn+1>bn,得2n(n-λ)>2n-1(n-1-λ),即λ<n+1恒成立.
而n+1的最小值为2,故λ的取值范围为λ<2.
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=　　　　　. 
答案:2n-1
解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),
即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1).
又S1=2a1-1,∴a1=1.
∴数列{an+1}是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,
∴an+1=2·2n-1=2n,
∴an=2n-1.
15.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N+.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1)当n=1时,T1=2S1-1.
∵T1=S1=a1,∴a1=2a1-1.∴a1=1.
(2)当n≥2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,
则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]
=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1(n≥2).
∵当n=1时,a1=S1=1也满足上式,
∴Sn=2an-2n+1.
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,
两式相减得an=2an-2an-1-2,
∴an=2an-1+2(n≥2).
∴an+2=2(an-1+2)(n≥2).
∵a1+2=3≠0,
∴数列{an+2}是以3为首项,公比为2的等比数列.
∴an+2=3×2n-1.∴an=3×2n-1-2.〚导学号32470478〛

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