2015年高考理科数学广东卷.docx

--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------
绝密★启用前
2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项姓名________________ 准考证号_____________
：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
参考公式：样本数据，，，的方差，其中表示样本均值.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，，则 (　　)
A.
B.
C.
D.
2.若复数（是虚数单位），则 (　　)
A.
B.
C.
D.
3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 (　　)
A.
B.
C.
D.
4.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为 (　　)
A.
B.
C.
D.
5.平行于直线且与圆相切的直线的方程是 (　　)
A.或
B.或
C.或
D.或
6.若变量，满足约束条件则的最小值为 (　　)
A.
B.
C.
D.
7.已知双曲线：的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为 (　　)
A.
B.
C.
D.
8.若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值 (　　)
A.大于5
B.等于5
C.至多等于4
D.至多等于3
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9～13题）
9.在的展开式中，的系数为　　　　.
10.在等差数列中，若，则　　　　.
11.设的内角，，的对边分别为，，.若，，，则　　　　.
12.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了　　　　条毕业留言（用数字作答）.
13.已知随机变量服从二项分布.若，，则　　　　.
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程）
已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为　　　　.
15.（几何证明选讲）
如图，已知是圆的直径，，是圆的切线，切点为，.过圆心作的平行线，分别交和于点和点，则　　　　.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，已知向量m，n，.
（Ⅰ）若mn，求的值；
（Ⅱ）若m与n的夹角为，求的值.

17.（本小题满分12分）
某工厂36名工人的年龄数据如下表.
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
工人编号
年龄
1
40
10
36
19
27
28
34
2
44
11
31
20
43
29
39
3
40
12
38
21
41
30
43
4
41
13
39
22
37
31
38
5
33
14
43
23
34
32
42
6
40
15
45
24
42
33
53
7
45
16
39
25
37
34
37
8
42
17
38
26
44
35
49
9
43
18
36
27
42
36
39
（Ⅰ）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（Ⅱ）计算（Ⅰ）中样本的均值和方差；
（Ⅲ）36名工人中年龄在与之间有多少人？所占的百分比是多少（精确到0.01％）？

18.（本小题满分14分）
如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，，，.点是边的中点，点，分别在线段，上，且，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的正切值；
（Ⅲ）求直线与直线所成角的余弦值.

19.（本小题满分14分）
设，函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）证明：在上仅有一个零点；
（Ⅲ）若曲线在点处的切线与轴平行，且在点处的切线与直线平行（是坐标原点），证明：.

20.（本小题满分14分）
已知过原点的动直线与圆：相交于不同的两点，.
（Ⅰ）求圆的圆心坐标；
（Ⅱ）求线段的中点的轨迹的方程；
（Ⅲ）是否存在实数，使得直线：与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）
数列满足：，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）令，，证明：数列的前项和满足.
数学试卷 第1页（共4页） 数学试卷 第2页（共4页）