资源描述
导数与函数的极值、最值
课时作业
1．函数f(x)＝(x－1)(x－2)2在[0,3]上的最小值为( )
A．－8 B．－4
C．0 D．
答案 B
解析 f′(x)＝(x－2)2＋2(x－1)(x－2)＝(x－2)(3x－4)．令f′(x)＝0⇒x1＝，x2＝2，结合单调性，只要比拟f(0)与f(2)即可．f(0)＝－4，f(2)＝0.
故f(x)在[0,3]上的最小值为f(0)＝－4.应选B．
2．(2022·山东胶州模拟)假设函数f(x)＝(x＋a)ex的极值点为1，那么a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．1
答案 A
解析 f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex.
由题意知f′(1)＝e(2＋a)＝0，∴a＝－2.应选A．
3．(2022·孝感高中模拟)函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．
答案 A
解析 令y′＝＝0，得x＝e.当x>e时，y′<0，当0<x<e时，y′>0，所以ymax＝.应选A．
4．设函数f(x)＝＋ln x，那么( )
A．x＝为f(x)的极大值点 B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
答案 D
解析 f′(x)＝－＋＝，∵x>0，∴当x>2时，f′(x)>0，f(x)是增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)是减函数，∴x＝2为f(x)的极小值点．
5．假设函数y＝ex＋mx有极值，那么实数m的取值范围是( )
A．m>0 B．m<0
C．m>1 D．m<1
答案 B
解析 y′＝ex＋m，∵函数y＝ex＋mx有极值，∴ex＋m＝0必有根，∴m＝－ex<0.
6．f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
答案 A
解析 ∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，
∴x＝0为极大值点，也为最大值点，
∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值是－37.应选A．
7．(2022·宁夏中卫市模拟)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出以下命题：①－3是函数y＝f(x)的极小值点；②－1是函数y＝f(x)的极小值点；③曲线y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增．那么正确命题的序号是( )
A．①④ B．①②
C．②③ D．③④
答案 A
解析 由图可知x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3,1)时f′(x)>0，∴－3是f(x)的极小值点，①正确；又x∈(－3，1)时f′(x)≥0，∴f(x)在区间(－3,1)上单调递增，故②不正确，④正确．∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处的切线的斜率大于0.∴③不正确．应选A．
8．(2022·河南八市重点高中质检)设a∈R，假设函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，那么( )
A．a<－1 B．a>－1
C．a<－ D．a>－
答案 A
解析 由y′＝ex＋a＝0得x＝ln (－a)(a<0)，
显然x＝ln (－a)为函数的极小值点，又ln (－a)>0，
∴－a>1，即a<－1.应选A．
9．e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)·(x－1)k(k＝1,2)，那么( )
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值
答案 C
解析 因为f′(x)＝(x－1)k－1[ex(x－1＋k)－k]，当k＝1时，f′(1)>0，故1不是函数f(x)的极值点．当k＝2时，当x0<x<1(x0为f(x)的极大值点)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．故f(x)在x＝1处取到极小值．应选C．
10．(2022·湖北荆、荆、襄、宜四地七校期末)函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx－17(a，b，c∈R)的导函数为f′(x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，假设f(x)的极小值等于－98，那么a的值是( )
A．－ B．
C．2 D．5
答案 C
解析 由题意，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，因为f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，所以a>0，且－2＋3＝－，－2×3＝，那么3a＝－2b，c＝－18a，f(x)的极小值为f(3)＝27a＋9b＋3c－17＝－98，解得a＝2，b＝－3，c＝－36，应选C．
11．(2022·安徽黄山第三次质量检测)函数f(x)＝－ax有两个极值点，那么实数a的取值范围是( )
A． B．(－1，＋∞)
C．(－1,0) D．
答案 D
解析 因为函数f(x)＝－ax有两个极值点，所以方程f′(x)＝－－a＝0有两个不相等实根，令g(x)＝，那么g(x)＝的图象与直线y＝－a有两个不同交点，又g′(x)＝，由g′(x)＝＝0得x＝1，所以，当x<1时，g′(x)>0，即g(x)＝单调递增；当x>1时，g′(x)<0，即g(x)＝单调递减；所以g(x)max＝g(1)＝，又g(0)＝0，当x>0时，g(x)＝>0，作出函数的简图如下：
因为g(x)＝的图象与直线y＝－a有两个不同交点，所以0<－a<，即－<a<0.应选D．
12．(2022·安徽江淮名校联考)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＋xex＝xf′(x)，f(1)＝－π，f(2)＝－，那么当x>0时，f(x)( )
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
答案 B
解析 由题设，知f′(x)＝ex＋，所以f′(1)＝e＋＝e－π<0，f′(2)＝e2＋＝e2－>0，所以存在x∈(1,2)使得f′(x0)＝0，令g(x)＝f′(x)，当x>0时，g′(x)＝ex＋＝ex＋>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．所以当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．因此，当x＝x0时，f(x)取极小值，但无极大值，应选B．
13．假设函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，那么m＝________.
答案 1
解析 由f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.
当m＝3时，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，
当1＜x＜3时，f′(x)＜0；当x＜1或x＞3时，f′(x)＞0，此时f(x)在x＝1处取得极大值，不合题意，当m＝1时，f′(x)＝(x－1)(3x－1)．
当<x<1时，f′(x)<0；当x<或x>1时，f′(x)>0，此时f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，所以m＝1.
14．函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，那么实数a的取值范围是________.
答案 (－1,2]
解析 f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值－2
↗
极大值2
↘
又由3x－x3＝－2，得(x＋1)2(x－2)＝0.
∴x1＝－1，x2＝2.
∵f(x)在开区间(a2－12，a)上有最小值，
∴最小值一定是极小值．
∴解得－1<a≤2.
15．某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，那么该生产厂家年产量为________万件时年利润最大，最大年利润为________万元．
答案 9 252
解析 y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9或x＝－9(舍去)．当0<x<9时，y′>0，函数y单调递增；当x>9时，y′<0，函数y单调递减．故当x＝9时，y取最大值，ymax＝－×93＋81×9－234＝252.
16．(2022·石家庄模拟)函数f(x)＝(x＋1)ex－x2，其导函数f′(x)在区间[－3，－1]上为减函数，那么实数a的最小值为________.
答案
解析 由题意得f′(x)＝(x＋2)ex－ax，且f′(x)在区间[－3，－1]上为减函数，令t(x)＝(x＋2)ex－ax，那么t′(x)＝(x＋3)ex－a，所以(x＋3)ex－a≤0，即a≥(x＋3)ex在区间[－3，－1]上恒成立．设h(x)＝(x＋3)ex，那么h′(x)＝(x＋4)ex>0在区间[－3，－1]上恒成立，即h(x)在[－3，－1]上为增函数，h(x)max＝h(－1)＝，那么a≥.
17．(2022·山东师大附中模拟)函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值．
解 f′(x)＝(x＋1－a)ex.
(1)当a＝2时，f′(x)＝(x－1)ex.
∴f(0)＝－2，f′(0)＝－1，
∴所求切线方程为y＋2＝－x，
即x＋y＋2＝0.
(2)令f′(x)＝0得x＝a－1.
①假设a－1≤1，那么a≤2.
当x∈[1,2]时，f′(x)≥0，那么f(x)在[1,2]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝(1－a)e；
②假设a－1≥2，那么a≥3.
当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，那么f(x)在[1,2]上单调递减．
∴f(x)min＝f(2)＝(2－a)e2；
③假设1<a－1<2，那么2<a<3.
f′(x)，f(x)随x的变化情况如表：
x
1
(1，a－1)
a－1
(a－1,2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
∴f(x)的单调递减区间为(1，a－1)，单调递增区间为(a－1,2)，
∴f(x)min＝f(a－1)＝－ea－1.
综上可知当a≤2时，f(x)min＝(1－a)e；
当a≥3时，f(x)min＝(2－a)e2；
当2<a<3时，f(x)min＝－ea－1.
18．常数a≠0，f(x)＝aln x＋2x.
(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；
(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．
解 (1)由得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＝.
当a＝－4时，f′(x)＝.
所以当0<x<2时，f′(x)<0，即f(x)单调递减；
当x>2时，f′(x)>0，即f(x)单调递增．
所以f(x)只有极小值，且当x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln 2.
所以当a＝－4时，f(x)只有极小值4－4ln 2，无极大值．
(2)因为f′(x)＝，所以当a>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增，没有最小值．
当a<0时，由f′(x)>0，得x>－，
所以f(x)在上单调递增；
由f′(x)<0，得x<－，所以f(x)在上单调递减．
所以当a<0时，f(x)的最小值为
f＝aln ＋2.
根据题意，知f＝aln ＋2·≥－a，
即a[ln (－a)－ln 2]≥0.
因为a<0，所以ln (－a)－ln 2≤0，解得a≥－2，
所以实数a的取值范围是[－2,0)．
19．(2022·山西长治期末)函数f(x)＝ln x－.
(1)假设a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性；
(2)假设f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．
解 (1)由题意得f(x)的定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝，
因为a>0，所以f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)可得f′(x)＝，当x∈[1，e]时，
假设a≥－1，那么x＋a≥0，
即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此时f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)min＝f(1)＝－a＝，
所以a＝－(舍去)．
假设a≤－e，那么x＋a≤0，
即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝1－＝，
所以a＝－(舍去)．
假设－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a，
当1<x<－a时，f′(x)<0，
所以f(x)在(1，－a)上单调递减，
当－a<x<e时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－a，e)上单调递增，
所以f(x)min＝f(－a)＝ln (－a)＋1＝，
所以a＝－，
综上，a＝－.
20．(2022·洛阳模拟)函数f(x)＝x3－ax2，a∈R.
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
解 (1)由题意，得f′(x)＝x2－ax，当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，
因此，曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.
(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，
所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)sinx－cosx
＝x(x－a)－(x－a)sinx
＝(x－a)(x－sinx)．
令h(x)＝x－sinx，那么h′(x)＝1－cosx≥0，
所以h(x)在R上单调递增．
因为h(0)＝0，所以当x>0时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.
①当a<0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，
当x∈(－∞，a)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(a,0)时，x－a>0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(0，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以，当x＝a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)＝－a3－sina；
当x＝0时，g(x)取到极小值，极小值是g(0)＝－a.
②当a＝0时，g′(x)＝x(x－sinx)，
当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增．
所以，g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极大值也无极小值．
③当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，
当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；
当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增．
所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；
当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－a3－sina.
综上所述：
当a<0时，函数g(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a,0)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(a)＝－a3－sina，极小值是g(0)＝－a；
当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；
当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－sina.
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