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第五章 第3讲
[A级 基础达标]
1．(2020年芜湖模拟)若tan＝，则tan α＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
【答案】C
2．(2020年重庆模拟)已知tan＝，且α∈，则cos＝( )
A．－ B．
C．－ D．
【答案】B
3．(2020年郑州模拟)已知sin(α＋π)＝，则＝( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】B
4．(2020年六安月考)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则cos θ的值为( )
A．－ B．－
C． D．
【答案】C
5．(多选)已知函数f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是( )
A．f(x)的最小正周期T＝ B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最大值为 D．f(x)的最小正周期T＝π
【答案】ABC 【解析】因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，易知T＝＝，A正确，D错误；f(－x)＝f(x)，B正确；f(x)的最大值为×[1－(－1)]＝，C正确．
6．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.
【答案】1 【解析】根据已知条件，得
cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，
cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，
即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.
又α，β为锐角，则sin β＋cos β＞0，
所以cos α－sin α＝0.所以tan α＝1
7．求值：cos 40°(1＋tan 10°)＝________.
【答案】1 【解析】cos 40°(1＋tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 10°)＝＝＝＝＝＝1．
8．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
【答案】 【解析】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.又sin α＝，所以cos α＝，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.所以β＝.
9．已知α∈，且sin＋cos＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
解：(1)因为sin＋cos＝，
两边同时平方，得sin α＝.
又<α<π，所以cos α＝－.
(2)因为<α<π，<β<π，
所以－π<－β<－.故－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝，
所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝－×＋×＝－.
[B级 能力提升]
10．(2020年青岛模拟)已知sin＝，α∈，则cos α＝( )
A. B．
C. D．
【答案】D 【解析】由α∈，可得α－∈.所以cos＝＝，则cos α＝cos＝cos·cos－sinsin＝×－×＝.
11．(多选)(2020年石家庄模拟)已知0＜θ＜，若sin 2θ＝m，cos 2θ＝n，且m≠n，则下列选项中与tan恒相等的有( )
A. B．
C． D．
【答案】AD 【解析】由tan＝＝＝＝＝.由tan＝＝＝＝＝.
12．已知cos4α－sin4α＝，且α∈，则cos＝________.
【答案】 【解析】因为cos4α－sin4α＝(sin2α＋cos2α)·(cos2α－sin2α)＝cos 2α＝，又α∈，2α∈(0，π)，所以sin 2α＝＝.
所以cos＝cos 2α－sin 2α＝×－×＝.
13．(2020年海口模拟)若A＋B＝45°，则(1＋tan A)·(1＋tan B)＝____________，应用此结论求(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)的值为________．
【答案】2 222 【解析】A＋B＝45°，则(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋tan A＋tan B＋tan A·tan B＝tan(A＋B)(1－tan A·tan B)＋1＋tan A·tan B＝tan 45°·(1－tan A·tan B)＋1＋tan A·tan B＝2.
(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 43°)(1＋tan 44°)＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]·[(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)]＝222.
14．(2020年上海二模)设常数a∈R，函数f(x)＝sin 2x＋acos2x.
(1)若f(x)为奇函数，求a的值；
(2)若f＝3，求方程f(x)＝2在区间[0，π]上的解．
解：(1)当f(x)为奇函数时，由f(0)＝0⇒a＝0.
(2)f＝sin＋acos2＝＋＝3⇒a＝2，得f(x)＝sin 2x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1．由f(x)＝2⇒sin＝⇒2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ⇒x＝kπ或x＝＋kπ(k∈Z)，所以在区间[0，π]上的解为x∈.
15．(2020年上海二模)设函数f(x)＝2sin 2＋sin－1．
(1)当0<ω<1时，若函数f(x)的最大值为f，求函数f(x)的最小正周期；
(2)若函数f(x)在区间内不存在零点，求正实数ω的取值范围．
解：(1)f(x)＝2sin2＋sin－1＝1－cos＋sin－1＝2sin.因为函数f(x)的最大值为f，所以sin＝1，得ω＝4k＋，k∈Z.又0<ω<1，则ω＝，则函数f(x)的最小正周期为＝3π.
(2)因为函数f(x)在区间内不存在零点，所以⊆，k∈Z.所以则k－≤ω≤＋，k∈Z，因为k－≤＋，k∈Z.所以k≤，k∈Z，即k＝0或1，则所求的ω的取值范围为∪.
[C级 创新突破]
16．已知0＜α＜＜β＜π，tan ＝，cos(β－α)＝，则β的值为________．
【答案】 【解析】因为tan ＝，所以tan α＝＝＝.由
解得sin α＝.所以cos α＝＝.又0＜α＜＜β＜π，所以β－α∈(0，π)．而cos(β－α)＝，所以sin(β－α)＝＝.故sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝.又β∈，所以β＝.
17．(2020年浙江调研)已知函数f(x)＝4cos x·sin＋1在区间的值域为[－2,1]．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若f(x0)＝－，x0∈，求cos 2x0的值．
解：(1)f(x)＝4cos x·sin＋1
＝－4cos x·sin＋1
＝－4cos x·＋1
＝－2sin xcos x－2cos2x＋1
＝－sin 2x－cos 2x
＝－2sin.
由题意，当x∈时，－≤sin≤1．
令u＝2x＋，则u∈，
所以≤2a＋≤π，解得≤a≤.
(2)由题意得sin＝<，x0∈，则<2x0＋<π.
所以cos＝－.
所以cos 2x0＝cos＝.
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