2022高考数学一轮复习课时作业55几何概型文.doc

课时作业55　几何概型
[根底达标]
一、选择题
1．[2022·武汉调研]在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP、NP为邻边作一矩形，那么该矩形的面积大于60 cm2的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：此题考查几何概型．设MP＝x，那么NP＝16－x，由x(16－x)＞60，解得6＜x＜10，所以所求概率P＝＝，应选A.
答案：A
2.
如下图，矩形ABCD中，点E为边AB的中点，假设在矩形ABCD内部随机取一个点Q，那么点Q取自△AED或△BEC内部的概率等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：点Q取自△AED或△BEC内部的概率P＝＝.应选A.
答案：A
3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，那么点P到点O的距离大于1的概率为(　　)
A. B．1－
C. D．1－
解析：点P到点O的距离大于1的点位于以O为球心，以1为半径的半球外．记“点P到点O的距离大于1〞为事件M，那么P(M)＝＝1－.
答案：B
4.
[2022·河北九校联考]如图，矩形的长为6，宽为4，在矩形内随机撒300颗黄豆，落在椭圆外的黄豆数为96，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为(　　)
A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68
解析：由题意，可估计椭圆的面积为×6×4＝16.32.应选A.
答案：A
5．[2022·福建泉州泉港一中测试]假设1路、2路公交车的站点均包括泉港一中，且1路公交车每10分钟一趟，2路公交车每20分钟一趟，那么某学生去坐这2趟公交车回家，等车不超过5分钟的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：
设1路公交车到达的时间为x,2路公交车到达的时间为y.(x，y)可以看成平面上的点，那么可设Ω＝{(x，y)|0≤x≤10且0≤y≤20}，表示的是一个长方形区域，如图，其面积S＝10×20＝200.假设某学生等车时间不超过5分钟，那么其构成的平面区域为图中的阴影局部，面积S′＝125，故所求概率P＝＝＝，应选C.
答案：C
二、填空题
6．向面积为S的△ABC内任意投掷一点P，那么△PBC的面积小于的概率为________．
解析：∵S△PBC<S△ABC，∴h′<，其中h′为△PBC中BC边上的高，h为△ABC中BC边上的高．
设DE为△ABC的中位线(如下图)，那么梯形BCED(阴影局部)中的点满足要求，
∴所求概率P＝＝.
答案：
7．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，那么三棱锥S－APC的体积大于的概率是________．
解析：由题意可知＞，三棱锥S－ABC的高与三棱锥S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，那么PM，BN分别为ΔAPC与△ABC的高，所以＝＝＞，又＝，所以＞.
故所求的概率为(即为长度之比)．
答案：
8．[2022·广东东莞调研]|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，当x，y∈R时，点P满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率为________．
解析：
如图，点P所在的区域为正方形ABCD上及其内部，(x－2)2＋(y－2)2≤4表示的是以C(2,2)为圆心，2为半径的圆上的点及其内部的点，故所求概率为＝.
答案：
三、解答题
9．关于x的一次函数y＝kx＋b(x∈R)．
(1)设集合P＝{－1,1,2,3}，从集合P中随机取一个数作为k，求函数y＝kx＋b是减函数的概率；
(2)实数对(k，b)满足条件求函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的概率．
解析：(1)从集合P中随机取一个数作为k的所有可能结果有4种，满足函数y＝kx＋b是减函数的情形是k＝－1，那么所求概率P＝.
(2)因为k>0，函数y＝kx＋b的图象不经过第四象限的条件是b≥0.作出(k，b)对应的平面区域如图中的梯形ABCD(不含b轴)，其面积是S1＝＝，符合限制条件的(k，b)对应的平面区域如图中的三角形BOC，其面积是S2＝，故所求概率P＝＝.
10．袋子中放有大小和形状相同的小球假设干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．假设从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.
①记“2≤a＋b≤3〞为事件A，求事件A的概率；
②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立〞的概率．
解析：(1)依题意共有(n＋2)个小球，那么从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率为＝，
∴n＝2.
(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个小球共有12种结果，而满足2≤a＋b≤3的结果有8种，
故P(A)＝＝.
②易知(a－b)2≤4，故待求概率的事件即为“x2＋y2>4〞，(x，y)可以看成平面中的点的坐标，
那么全部结果所构成的区域为Ω＝{(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，
由几何概型得概率P＝＝1－.
[能力挑战]
11．[2022·福州四校联考]如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点在上任取一点C作射线OC，那么使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：
记事件T是“作射线OC，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°〞，如图，记的三等分点为M，N，连接OM，ON，那么∠AON＝∠BOM＝∠MON＝30°，那么符合条件的射线OC应落在扇形MON中，所以P(T)＝＝＝，应选A.
答案：A
12.
[2022·黑龙江齐齐哈尔检测]随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如下图的图标是一种被称为“黑白太阳〞的图标，该图标共分为三局部．第一局部为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二局部为圆环局部，大圆半径为3，小圆半径为2；第三局部为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳〞图标中随机取一点，那么此点取自图标第三局部的概率为(　　)
A. B.
C. D.
解析：图标第一局部的面积为8×3×1＝24，图标第二局部的面积和第三局部的面积和为π×32＝9π，图标第三局部的面积为π×22＝4π，故此点取自图标第三局部的概率为，应选B.
答案：B
13.
[2022·湖南株洲联考]如图，三国时期数学家赵爽在?周髀算经?中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影局部)．设直角三角形有一内角为30°，假设向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计)，那么落在小正方形(阴影局部)内的米粒数大约为(≈1.732)(　　)
A．134 B．866
C．300 D．500
解析：设大正方形的边长为2x，那么小正方形的边长为x－x，向弦图内随机抛掷1 000颗米粒(大小忽略不计)，设落在小正方形(阴影局部)内的米粒数大约为a，那么＝，解得a＝1 000×≈134.应选A.
答案：A