2022高考数学一轮复习-课时规范练60-古典概型与几何概型北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 课时规范练60 古典概型与几何概型北师大版

2022高考数学一轮复习 课时规范练60 古典概型与几何概型北师大版

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课时规范练60　古典概型与几何概型
基础巩固组
1.(2020广东佛山综合能力测试)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,深受人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是(　　)

A.37 B.47 C.57 D.67
2.(2020四川巴中高三模拟)2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数(素数即质数)猜想的一个弱化形式.素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述:存在无穷个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.则从不超过15的素数中任取两个素数,这两个素数组成孪生素数对的概率为(　　)
A.115 B.215 C.15 D.415
3.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图,若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为(　　)

A.1213 B.1314 C.2129 D.1415
4.(2020宁夏吴忠高三模拟)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个?”现有这样的一个正方体木料,其表面均已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为(　　)
A.125216 B.827 C.49 D.14
5.(2018全国1,理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(　　)

A.p1=p2 B.p1=p3
C.p2=p3 D.p1=p2+p3
6.算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如:在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠,个位档拨上一颗上珠,则表示数字65.若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗上珠,再在这4个档中随机选择两个档位各拨一颗下珠,则所拨数字大于200的概率为(　　)

A.38 B.12
C.23 D.34
7.已知圆柱OO'的底面半径为1,高为6,若区域M表示圆柱OO'及其内部,区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,若向区域M中随机投一点,则所投的点落入区域N中的概率为(　　)
A.13 B.23 C.56 D.16
8.在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,记向量OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB≥4π2的概率为(　　)
A.1-π8 B.1-π4
C.1-π2 D.1-3π4
9.(2020重庆八中月考)如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分(均为整数),其中一个数字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为　　　　　. 

10.

某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.若指针恰好停在各区域的分界线上,则这次转动作废,重新转动转盘.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.

综合提升组
11.

(2020湖南常德高三一模)河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案,与自己的观察,画出的“八卦”,而龙马身上的图案就叫作“河图”.把一到十分成五组,如图,其口诀:一六共宗,为水居北;二七同道,为火居南;三八为朋,为木居东;四九为友,为金居西;五十同途,为土居中.“河图”将一到十分成五行属性分别为金,木,水,火,土的五组,在五行的五种属性中,五行相克的规律为:金克木,木克土,土克水,水克火,火克金;五行相生的规律为:木生火,火生土,土生金,金生水,水生木.现从这十个数中随机抽取3个数,在这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率为(　　)
A.110 B.15 C.25 D.12
12.(2020河北衡水高三质检)圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示.我们也可以通过如下随机模拟试验来估计π的值:在区间(0,1)内随机取2m个数,构成m个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有n对,则通过随机模拟的方法得到的π的近似值为(　　)
A.m+2nm B.m+2nn
C.2m+4nm D.m+2n2n
13.已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是(　　)

A.1-22 B.22
C.1-32 D.12
14.已知数列{an}满足a1=2,an+1=-2an(n∈N+).若从数列{an}的前10项中随机抽取一项,则该项不小于8的概率是　　　　　. 
15.已知某几何体的三视图如图所示,则在该几何体内随机取一点,则此点到线段AB的中点的距离不大于1的概率是　　　　　. 

16.记[m]表示不超过m的最大整数.若在x∈18,12上随机取1个实数,则使得[log2x]为偶数的概率为　　　　　. 
创新应用组
17.(2020江西宜春高三检测)生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人,这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系,具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化,某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座,每艺安排一节,连排六节,则满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为(　　)
A.710 B.760 C.2760 D.4760
18.已知实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,则函数y=13ax3+ax2+b有三个零点的概率为　　　　　. 

参考答案

课时规范练60　古典概型与几何概型
1.D　窗花的面积为122-4×1=140,其中小正方形的面积为5×4×12=20,所以所求概率140-20140=67.
2.C　不超过15的素数有2,3,5,7,11,13,共6个,则从不超过15的素数中任取两个素数共有C62=15种取法,根据孪生素数的定义,由不超过15的素数组成的孪生素数为(3,5),(5,7),(11,13),共有3对,则所求概率为315=15.
3.C　由题意知BC=2,B'C=5,设AC=x,则AB=AB'=x+2,在Rt△ACB'中,列勾股方程得52+x2=(x+2)2,解得x=214,所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为P=xx+2=214214+2=2129,故选C.
4.C　有一块棱长为3尺的正方体木料,要把它做成边长为5寸的正方体枕头,可作216个,由正方体的结构及锯木块的方法,可知一面带有油漆的木块是每个面的中间那16块,共有6×16=96(块),所以从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的概率为96216=49.
5.A　设AB=b,AC=a,BC=c,则a2+b2=c2.所以以BC为直径的圆面积为πc22,以AB为直径的圆面积为πb22,以AC为直径的圆面积为πa22.所以SⅠ=12ab,SⅡ=12×πb24+12×πa24-12×πc24-12ab=12×π(b2+a2-c2)4+12ab=12ab,SⅢ=12×πc24-12ab,所以SⅠ=SⅡ,由几何概型,知p1=p2.故选A.
6.D　依题意得所拨数字共有C41C42=24种可能.要使所拨数字大于200,则:若上珠拨的是千位档或百位档,则所拨数字一定大于200,有C21C42=12种;若上珠拨的是个位档或十位档,则下珠一定要拨千位,再从个、十、百里选一个下珠,有C21C31=6种.则所拨数字大于200的概率为12+624=34.
7.C　由题意,易知圆柱OO'的体积为V=π×12×6=6π.因为区域N表示圆柱OO'内到下底面的距离大于1的点组成的集合,所以区域N表示圆柱OO'内的一个小圆柱(与圆柱OO'共上底面),且小圆柱的体积为V1=π×12×(6-1)=5π.根据几何概型,得所投入的点落在区域N中的概率为P=V1V=5π6π=56,故选C.
8.B　在区间[-π,π]上随机取两个实数a,b,则点(a,b)在以2π为边长的正方形内,因为OA=(a,4b),OB=(4a,b),则OA·OB=4a2+4b2.因为OA·OB≥4π2,所以a2+b2≥π2,点(a,b)在以原点为圆心,以π为半径的圆外,且在以2π为边长的正方形内,所以OA·OB≥4π2的概率为P=4π2-π34π2=1-π4,故选B.
9.15　由茎叶图可得甲的5场得分分别为18,19,20,21,22,
则甲的平均得分为15×(18+19+20+21+22)=20,设污损数字为x,
则乙的5场得分分别为15,16,18,28,(20+x),
则乙的平均成绩为15×(15+16+18+28+20+x)=19.4+x5,
∵0≤x≤9,x∈Z,当x=1或x=2时,甲的平均得分高于乙的平均得分,
∴甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为210=15.
10.解(1)用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则基本事件构成的集合是S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}.
因为S中元素的个数是4×4=16,所以基本事件总数n=16.记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的基本事件共5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3<xy<8”为事件C.
则事件B包含的基本事件共6个,即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).
所以P(B)=616=38.
事件C包含的基本事件共5个,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).
所以P(C)=516.
因为38>516,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
11.C　由题意得数字4,9属性为金,3,8属性为木,1,6属性为水,2,7属性为火,5,10属性为土,从这十个数中随机抽取3个数,这3个数字的属性互不相克,包含的基本事件个数n=C51(C21C22+C22C21)=20,在这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字包含的基本事件个数为m=C21(C21C22+C22C21)=8,∴这3个数字的属性互不相克的条件下,取到属性为土的数字的概率mn=820=25.
12.

C　依题有0<x<1,0<y<1,试验的全部结果构成以1为边长的正方形,其面积为1.因为x,y能与1构成钝角三角形,由余弦定理及三角形知识得x2+y2<1,x+y>1,构成如图阴影部分,其面积为π4-12,由几何概型概率计算公式得nm=π4-121,解得π=2m+4nm.
13.A　

由题意,△AOB是直角三角形,OA=OB=2,所以AB=22,O地为一磁场,距离其不超过3km的范围为14个圆,与AB相交于C,D两点,作OE⊥AB,则OE=2,所以CD=2,所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-CDAB=1-222=1-22.故选A.
14.25　由题意可知an=2·(-2)n-1,故前10项中,不小于8的只有8,32,128,512,共4项,故所求概率是410=25.
15.13　根据几何体的三视图可知,该几何体是底面半径为1,高为2的圆柱,其体积为2π,线段AB是底面的直径,线段AB的中点是底面圆的圆心,几何体内到线段AB的中点的距离不大于1的点构成了以底面圆心为球心,半径为1的半球,其体积为12×43π×13=23π,所以所求的概率是23π2π=13.
16.23　若x∈18,12,则log2x∈(-3,-1).要使得[log2x]为偶数,则log2x∈[-2,-1).所以x∈14,12,故所求概率P=12-1412-18=23.
17.B　由题意知基本事件总数n=A66=720,“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻可以分两类安排:①“数”排在第一位,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则礼、乐相邻的位置有4个,考虑两者的顺序,有2种情况,剩下的3个全排列,安排在其他三个位置,有A33=6种情况,故有4×2×6=48种情况;②“数”排第二位,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则礼,乐相邻的位置有3个,考虑两者的顺序,有2种情况,剩下的3个全排列,安排在其他三个位置,有A33=6种情况,则有3×2×6=36种情况,由分类加法原理知满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排共有48+36=84种情况,所以满足“数”必须排在前两节,“礼”和“乐”必须相邻安排的概率为84720=760.
18.516　对y=13ax3+ax2+b求导可得y'=ax2+2ax,0<a<1,令ax2+2ax=0,可得x=0或x=-2,x=-2是极大值点,x=0是极小值点,由函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,可得-83a+4a+b>0,b<0,即4a+3b>0,b<0.画出可行域如图,满足函数y=13ax3+ax2+b有三个零点,如图深色区域,实数a,b满足0<a<1,-1<b<1,为长方形区域,所以长方形的面积为2,深色区域的面积为12×1+14=58,所以所求概率为P=582=516,故答案为516.