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课后作业(五十九) 几何概型
一、选择题
1．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率是( )
A. B. C. D.
2．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是( )
A. B. C. D.
3．(2012·辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为( )
A. B. C. D.
4．(2013·中山模拟)在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为( )
A. B. C. D.
5．已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP—ABC＜VS－ABC的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．已知函数f(x)＝log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上任取一点x0，使f(x0)≥0的概率为________．
7．点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为________．
8．(2013·深圳质检)如图10－3－4所示，图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点．它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．
图10－3－4
三、解答题
图10－3－5
9．如图10－3－5所示，在单位圆O的某一直径上随机地取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
10．在区域内任取一点P，求点P落在单位圆x2＋y2＝1内的概率．
11．将长为3 m的木棍随机截成3段，求这三段能构成三角形的概率．
解析及答案
一、选择题
1．【解析】 试验的全部结果构成的区域是[－2，3]，所求事件构成的区域为(1，3]，故所求概率为P＝＝.
【答案】 B
2．
【解析】 如图，要使S△PBC＞S△ABC，只需PB＞AB.
故所求概率为P＝＝.
【答案】 C
3．【解析】 设AC＝x，则BC＝12－x，所以x(12－x)＝20，解得x＝2或x＝10.
故P＝＝.
【答案】 C
4．【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为矩形ABCD及其内部．
要使函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝＝＝.
【答案】 B
5．【解析】 当点P到底面ABC的距离小于时，
VP—ABC＜VS－ABC.
由几何概型知，所求概率为P＝1－()3＝.
【答案】 A
二、填空题
6．【解析】 由f(x0)≥0，得log2x0≥0，∴x0≥1，
因此使f(x0)≥0的区域为[1，2]，
故所求概率为P＝＝.
【答案】
7．
【解析】 满足|PA|＜1的点P位于以A为圆心，半径为1的圆在正方形ABCD内部(如图)，又S扇形ABD＝，
∴P(|PA|＜1)＝＝.
【答案】
8．【解析】 设长方体的高为h，由几何概型的概率，
∴质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)．
故长方体的体积为1×1×3＝3.
【答案】 3
三、解答题
9．【解】 弦长不超过1，即|OQ|≥.
因Q点在直径AB上是随机的，记事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
10．【解】 如图所示，不等式
表示的平面区域是△ABC的内部及其边界．
又圆x2＋y2＝1的圆心(0，0)到x＋y－＝0与x－y＋＝0的距离均为1，
∴直线x＋y－＝0与x－y＋＝0均与单位圆x2＋y2＝1相切，
记“点P落在x2＋y2＝1内”为事件A，
∵事件A发生时，所含区域面积S＝π，且S△ABC＝×2×＝2，
故所求事件的概率P(A)＝＝.
11．
【解】 设随机截得的三段木棍长分别为x m，y m，(3－x－y)m，则x，y应满足：
满足条件的x，y形成的区域如图中△OAB所示，其面积S＝.
三段木棍能构成三角形，x，y还应满足：
它构成的区域如图中阴影部分所示，其面积S阴＝.
故能构成三角形的概率P＝＝.
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