2022届高考数学一轮复习第九章统计统计案例课堂达标54几何概型文新人教版.doc

课堂达标(五十四) 几何概型
[A根底稳固练]
1．(2022·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(　　)
A.　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
[解析]　由题至少等15秒遇绿灯的概率为
P＝＝.应选B.
[答案]　B
2．(2022·贵阳市监测考试)在[－4,4]上随机取一个实数m，能使函数f(x)＝x3＋mx2＋3x在R上单调递增的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　由题意，得f′(x)＝3x2＋2mx＋3，要使函数f(x)在R上单调递增，那么3x2＋2mx＋3≥0在R上恒成立，即Δ＝4m2－36≤0，解得－3≤m≤3，所以所求概率为＝，应选D.
[答案]　D
3．在区间上随机取一个数x，那么sin x＋cos x∈[1，]的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　因为x∈，所以x＋∈，
由sin x＋cos x＝sin∈[1，]，得≤sin≤1，
所以x∈，故要求的概率为＝.
[答案]　B
4．(2022·石家庄模拟)O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2 km处，B地在O地正北方向2 km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O地为一磁场，距离其不超过 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．那么该测绘队员能够得到准确数据的概率是(　　)
A. B.
C．1－ D．1－
[解析]　由题意知在等腰直角三角形OAB中，以O为圆心，为半径的圆截AB所得的线段长为2，而|AB|＝2，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－＝1－.
[答案]　D
5．(2022·山西四校联考)在面积为S的△ABC内部任取一点P，那么△PBC的面积大于的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　设AB，AC上分别有点D，E满足AD＝AB且AE＝AC，
那么△ADE∽△ABC，DE∥BC且DE＝BC.
∵点A到DE的距离等于点A到BC的距离的，
∴DE到BC的距离等于△ABC高的.
当动点P在△ADE内时，P到BC的距离大于DE到BC的距离，
∴当P在△ADE内部运动时，△PBC的面积大于，
∴所求概率为＝2＝.
[答案]　D
6．(2022·佛山二模)函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4.记函数f(x)满足条件为事件A，那么事件A发生的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　由题意，得
即表示的区域如图阴影局部所示，可知阴影局部的面积为8，所以所求概率为，应选C.
[答案]　C
7．如图，正四棱锥S­ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，那么这点取自正四棱锥内的概率为______．
[解析]　设球的半径为R，那么所求的概率为P＝＝＝.
[答案]　
8．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，那么射线AP与线段BC有公共点的概率为______．
[解析]　当点P在BC上时，AP与BC有公共点，此时AP扫过△ABC，所以P＝＝＝.
[答案]　
9．在体积为V的三棱锥S­ABC的棱AB上任取一点P，那么三棱锥S­APC的体积大于的概率是______．
[解析]　由题意可知
>，三棱锥S­ABC的高与三棱锥S­APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，那么PM，BN分别为△APC与△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率为(即为长度之比)．
[答案]　
10．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.
(1)求四棱锥M­ABCD的体积小于的概率；
(2)求M落在三棱柱ABC­A1B1C1内的概率．
[解]　(1)正方体ABCD­A1B1C1D1中，设M­ABCD的高为h，令×S四边形ABCD×h＝，
∵S四边形ABCD＝1，∴h＝.
假设体积小于，那么h<，即点M在正方体的下半局部，
∴P＝＝.
(2)∵V三棱柱＝×12×1＝，
∴所求概率P1＝＝.
[B能力提升练]
1．(2022·重庆适应性测试)在区间[1,4]上任取两个实数，那么所取两个实数之和大于3的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x，y，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2＝9，不等式组表示的平面区域的面积为(4－1)2－×12＝，因此所求的概率为＝，选D.
[答案]　D
2．(2022·昆明三中、玉溪一中统考)P是△ABC所在平面内一点，＋＋2 ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，那么黄豆落在△PBC内的概率是(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，
那么＋＝，因为＋＋2 ＝0，
所以＋＝－2 ，得＝－2，
由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的，所以S△PBC＝S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为＝，应选D.
[答案]　D
3．如下图，图2中实线围成的局部是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．假设向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，那么此长方体的体积是______．
[解析]　设长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.
[答案]　3
4．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m和n，那么方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆的概率是__________．
[解析]　∵方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，∴m>n.如图，由题意知，在矩形ABCD内任取一点Q(m，n)，点Q落在阴影局部的概率即为所求的概率，易知直线m＝n恰好将矩形平分，∴所求的概率为P＝.
[答案]　
5．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
[解]　设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x与y，记事件A为“两船都不需要等待码头空出〞，那么0≤x≤24,0≤y≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h以上或乙比甲早到达2 h以上，即y－x≥1或x－y≥2.故所求事件构成集合A＝{(x，y)|y－x≥1或x－y≥2，x∈[0,24]，y∈[0,24]}．
A为图中阴影局部，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P(A)＝＝＝＝.
[C尖子生专练]
关于x的二次函数f(x)＝b2x2－(a＋1)x＋1.
(1)假设a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f(x)恰有一个零点的概率．
(2)假设a，b∈[1,6]，求满足y＝f(x)有零点的概率．
[解]　(1)设(a，b)表示一个根本领件，那么抛掷两次骰子的所有根本领件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
用A表示事件“y＝f(x)恰有一个零点〞，
即Δ＝|－(a＋1)|2－4b2＝0，
那么a＋1＝2b.
那么A包含的根本领件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，
所以P(A)＝＝.
即事件“y＝f(x)恰有一个零点〞的概率为.
(2)用B表示事件“y＝f(x)有零点〞，即a＋1≥2b.
试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6}，构成事件B的区域为{(a，b)|1≤a≤6,1≤b≤6，a－2b＋1≥0}，如下图：
所以所求的概率为P(B)＝＝.
即事件“y＝f(x)有零点〞的概率为.