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第二节 两直线的位置关系
A级·根底过关|固根基|
1.直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，假设l∥x轴，但不重合，那么以下结论正确的选项是( )
A．a≠1，c≠0，b≠2
B．a≠1，b＝－2，c≠0
C．a＝1，b≠－2，c≠0
D．其他
解析：选C ∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥x轴，但不重合，
∴解得a＝1，b≠－2，c≠0.应选C.
2．(2023届石家庄模拟)点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0
解析：选A 由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.
3．过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.假设l1∥l2，l2⊥l3，那么实数m＋n的值为( )
A．－10 B．－2
C．0 D．8
解析：选A 因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.
解得m＝－8.
又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，
解得n＝－2，所以m＋n＝－10.
4．点A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，假设△ABC为直角三角形且AC边最长，那么整数m的值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：选D 由题意得∠B＝90°，即AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，所以·＝－1，解得m＝1或m＝，故整数m的值为1，应选D.
5．对于任意的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过一定点，那么该定点的坐标为( )
A．(9，－4) B．(－9，－4)
C．(9，4) D．(－9，4)
解析：选A (m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，由得定点的坐标为(9，－4)．应选A.
6．假设三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，那么m的值为________．
解析：由得
∴点(1，2)在直线mx＋2y＋5＝0上，
即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.
答案：－9
7．点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，那么a的值为________．
解析：由点到直线的距离公式可得，＝，解得a＝或a＝－4.
答案：或－4
8．如果直线l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直线l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直线l3：x－2y＋3＝0，那么l1，l2之间的距离为________．
解析：因为l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0 ①，因为l2∥l3，所以－2(1＋a)＋1＝0 ②，由①②解得a＝－，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，所以d＝＝2.
答案：2
9．两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足以下条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l1⊥l2，
所以a(a－1)－b＝0. ①
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0. ②
由①②可得a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，且l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以＝1－a. ③
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.④
联立③④可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
10．直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.
(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；
(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．
解：(1)因为经过两直线交点的直线系方程为
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
所以＝3，解得λ＝或λ＝2，
所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由
解得即交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，那么d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．所以dmax＝|PA|＝.
B级·素养提升|练能力|
11.(2023届山东省实验中学模拟)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，那么直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：选C 由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，直线bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，由正弦定理可得，k1k2＝－·＝－1，所以直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，应选C.
12．直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，假设点M同时满足以下条件：
①点M是第一象限的点；
②点M到l1的距离是到l2的距离的；
③点M到l1的距离与到l3的距离之比是∶.
那么点M的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 设点M(x0，y0)，由点M满足②，得＝×，故2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0，由点M(x0，y0)满足③，根据点到直线的距离公式，得＝×，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，由于点M(x0，y0)在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题意，联立方程得
解得不符合题意；
联立方程得
解得即点M的坐标为.应选D.
13．直线l：x－y＋3＝0.
(1)求点A(2，1)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点A′；
(2)求直线l1：x－2y－6＝0关于直线l的对称直线l2的方程．
解：(1)设点A′(x′，y′)，
由题知解得
所以A′(－2，5)．
(2)在直线l1上取一点，如M(6，0)，那么M(6，0)关于直线l的对称点M′必在l2上．设对称点为M′(a，b)，那么解得M′(－3，9)．设l1与l的交点为N，那么由得N(－12，－9)．又因为l2经过点N(－12，－9)，所以直线l2方程为y－9＝(x＋3)，即2x－y＋15＝0.
14．△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．
解：依题意知，kAC＝－2，A(5，1)，
所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，
联立得C(4，3)．
设B(x0，y0)，那么AB的中点M，
代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，
联立得B(－1，－3)，
所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.
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