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曲线运动与万有引力
一、单项选择题
1．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后释放两颗炸弹，分别击中山坡上的M点和N点．释放两颗炸弹的时间间隔为Δt1，击中M、N的时间间隔为Δt2，不计空气阻力，则( )
A．Δt2＝0 B.Δt2<Δt1
C．Δt2＝Δt1 D.Δt2>Δt1
解析：选B.根据y＝gt2，由于击中山坡上M点的炸弹竖直位移y较大，可知击中山坡上M点的炸弹在空中运动时间较长，所以Δt2<Δt1，选项B正确．
2．(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )
A．周期为 B.动能为
C．角速度为 D.向心加速度为
解析：选A.探测器绕月运动由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝ ，A对．由G＝m知，动能Ek＝mv2＝，B错．由G＝mrω2得，角速度ω＝ ，C错．由G＝ma得，向心加速度a＝，D错．
3．图中给出了某一通关游戏的示意图，安装在轨道AB上可上下移动的弹射器，能水平射出速度大小可调节的弹丸，弹丸射出口在B点的正上方．竖直面内的半圆弧BCD的半径R＝2.0 m，直径BD水平且与轨道AB处在同一竖直面内，小孔P和圆心O连线与水平方向夹角为37°.游戏要求弹丸垂直于P点圆弧切线方向射入小孔P就能进入下一关．为了能通关，弹射器离B点的高度和弹丸射出的初速度分别是(不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)( )
A．0.15 m,4 m/s B.1.50 m,4 m/s
C．0.15 m,2 m/s D.1.50 m,2 m/s
解析：选A.由h＋Rsin 37°＝gt2和R＋Rcos 37°＝v0t，＝tan 37°，代入数据解得h＝0.15 m，v0＝4 m/s，故选项A正确．
4．(2019·高考江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则( )
A．v1>v2，v1＝ B.v1>v2，v1>
C．v1<v2，v1＝ D.v1<v2，v1>
解析：选B.卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2.若卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星在近地点做离心运动，则v1>v近，即v1> ，选项B正确．
5．(2019·高考北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)．该卫星( )
A．入轨后可以位于北京正上方
B．入轨后的速度大于第一宇宙速度
C．发射速度大于第二宇宙速度
D．若发射到近地圆轨道所需能量较少
解析：选D.同步卫星只能位于赤道正上方，A错．由＝知，卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度)，B错．同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度，C错．若该卫星发射到近地圆轨道，所需发射速度较小，所需能量较少，D对．
6．(2019·陕西第四次模拟)假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星，自转原来可以忽略．现若该星球自转加快，角速度为ω时，该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的.已知引力常量G，则该星球密度ρ为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.忽略该星球自转的影响时：G＝mg；该星球自转加快，角速度为ω时：G＝mg＋mω2R，星球密度ρ＝，解得ρ＝，故D正确，A、B、C错误；故选D.
二、多项选择题
7．如图甲所示，半径为R、内壁光滑的圆形细管竖直放置，一可看作质点的小球在圆管内做圆周运动，当其运动到最高点A时，小球受到的弹力F与其在A点速度平方(即v2)的关系如图乙所示．设细管内径可忽略不计，则下列说法正确的是( )
A．当地的重力加速度大小为
B．该小球的质量为R
C．当v2＝2b时，小球在圆管的最低点受到的弹力大小为7a
D．当0≤v2<b时，小球在A点对圆管的弹力方向竖直向上
解析：选BC.由图乙可知，当v2＝b时，小球与圆管内壁之间恰好没有力的作用，此时由重力提供小球做圆周运动的向心力，即mg＝m，故g＝，选项A错误；当v2＝0时，有mg＝a，又因为g＝，所以小球的质量m＝R，选项B正确；当v2＝2b时，设小球运动到最低点时的速度大小为v′，则由机械能守恒定律可得mg·2R＝mv′2－m·2b，设小球在最低点时受到的弹力大小为F′，则由向心力公式可得F′－mg＝m，联立解得F′＝7a，选项C正确；当0≤v2<b时，小球在最高点时需要的向心力小于小球的重力，所以圆管对小球的弹力方向竖直向上，由牛顿第三定律可知，小球对圆管的弹力方向竖直向下，选项D错误．
8．(2019·山东省临沂市高三三模)如图所示，不可伸长的轻质细绳一端固定在光滑竖直杆上，轻质弹簧用光滑轻环套在杆上，细绳和弹簧的另一端固定在质量为m的小球上，开始时处于静止状态，现使该装置绕杆旋转且角速度缓慢增大，则下列说法正确的是( )
A．轻绳上的弹力保持不变
B．轻绳上的弹力逐渐变大
C．弹簧上的弹力逐渐变大
D．弹簧上的弹力先变小后变大
解析：选BD.小球随杆做匀速圆周运动，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，当角速度较小时，弹簧处于压缩状态，对小球受力分析有：Tcos θ＝mg，Tsin θ－F＝mω2r，由于小球在竖直方向处于静止，所以T＝，随角速度增大，θ增大，所以T增大，随角速度增大，θ增大，弹簧弹力减小，当角速度较大时，小球做圆周运动的半径增大，弹簧弹力增大，由以上分析可知，B、D正确．
9．(2019·吉林一中高三第三次调研)如图所示，ABCD是一个边长为L的正方形木块，将一个可视为质点的小球从P点以初速度v0斜向上抛出，小球到达A点时速度方向恰好与AB平面相切．已知重力加速度为g，P、D之间的距离为2L.下列说法正确的是( )
A．小球到达A点时的速度为v0
B．小球在P点时，速度方向与水平夹角为45°
C．小球在由P向A运动的过程中，重力的瞬时功率逐渐减小
D．仅减小初速度v0，小球仍有可能运动到AB平面上
解析：选BC.根据逆向思维，小球从A到P做平抛运动；设小球做平抛运动的初速度为v，根据平抛运动的规律，小球在P点时，＝＝＝1，所以vy＝v，而＝v0，所以vy＝v＝v0，小球在P点时，速度方向与水平夹角为45°，选项A错误，选项B正确；小球在由P向A运动的过程中，重力的瞬时功率P＝mgvy，随着vy的变小而逐渐减小，选项C正确；仅减小初速度v0，小球不可能运动到AB平面上，选项D错误．
10．如图所示，一质量为m的小球(可视为质点)从离地面高H处水平抛出，第一次落地时的水平位移为H，反弹的高度为H.已知小球与地面接触的时间为t，重力加速度为g，不计摩擦和空气阻力．下列说法正确的是( )
A．第一次与地面接触的过程中，小球受到的平均作用力为
B．第一次与地面接触的过程中，小球受到的平均作用力为＋mg
C．小球第一次落地点到第二次落地点的水平距离为2H
D．小球第一次落地点到第二次落地点的水平距离为H
解析：选AC.以竖直向上为正方向小球第一次落地时竖直方向的速度为v1＝－，小球第一次反弹起竖直方向的速度为v2＝ ＝ ，在小球第一次与地面接触的过程中应用动量定理有：t＝mv2－mv1，代入数据解得：＝，故A正确，B错误；小球第一次下落的时间为t1＝ ，水平初速度v0＝＝ ，第一次反弹到最高点所用的时间为t2＝ ，所以第一次落地点到第二次落地点的水平距离为2v0t2＝2 × ＝2H，故C正确，D错误．
三、非选择题
11．(2019·广西桂林市、崇左市高三联合调研考试)如图所示为竖直放置的四分之一光滑圆弧轨道，O点是其圆心，半径R＝0.8 m，OA水平、OB竖直．轨道底端距水平地面的高度h＝0.8 m．从轨道顶端A由静止释放一个质量m1＝0.1 kg的小球，小球到达轨道底端B时，恰好与静止在B点的另一个小球m2发生碰撞，碰后它们粘在一起水平飞出，落地点C与B点之间的水平距离x＝0.4 m．忽略空气阻力，重力加速度g＝10 m/s2.求：
(1)碰撞前瞬间入射小球的速度大小v1；
(2)两球从B点飞出时的速度大小v2；
(3)碰后瞬间两小球对轨道压力的大小．
解析：(1)从A点运动的小球向下运动的过程中机械能守恒，得：
mgR＝mv，代入数据得：v1＝4 m/s.
(2)两球做平抛运动，根据平抛运动规律得：
竖直方向上有：h＝gt2，代入数据解得：t＝0.4 s.
水平方向上有：x＝v2t，代入数据解得：v2＝1 m/s.
(3)两球碰撞，规定向左为正方向，根据动量守恒定律得：
m1v1＝(m1＋m2)v2
解得：m2＝3m1＝3×0.1＝0.3 kg
碰撞后两个小球受到的合外力提供向心力，
则：FN－(m1＋m2)g＝(m1＋m2)
代入数据得：FN＝4.5 N
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力也是4.5 N，方向竖直向下．
答案：(1)4 m/s (2)1 m/s (3)4.5 N
12．如图所示，“蜗牛”状轨道OAB竖直固定在水平地面上，与地面在B处平滑连接．其中“蜗牛”状轨道由内壁光滑的半圆轨道OA和AB平滑连接而成，半圆轨道OA的半径R1＝0.6 m，半圆轨道AB的半径R2＝1.2 m，水平地面BC长为xBC＝11 m，C处是一个开口较大的深坑．一质量m＝0.1 kg的小滑块，从O点沿切线方向以某一初速度进入轨道OA后，沿OAB轨道运动至水平地面，已知小滑块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2.
(1)为使小滑块不脱离OAB轨道，小滑块在O点的初速度v0至少为多大？
(2)若小滑块在O点的初速度v0＝6 m/s，小滑块运动到B点时对半圆轨道的压力为多大？
(3)若使小滑块能落入深坑，则小滑块在O点的初速度v0至少为多大？
解析：(1)小滑块通过最高点A的临界条件是
mg＝
解得小滑块经A点的最小速度为vA＝＝ m/s
小滑块由O到A过程中，由机械能守恒定律得
mg·2R1＋mv＝mv
解得v0＝ m/s.
(2)小滑块由O到B过程中，机械能守恒，
则mgR2＋mv＝mv
解得vB＝2 m/s
在B点由牛顿第二定律得FN－mg＝m
解得FN＝6 N
由牛顿第三定律得滑块在B点对半圆轨道的压力
FN′＝FN＝6 N.
(3)小滑块由O到C过程中，由动能定理得
mgR2－μmgxBC＝0－mv
解得v0＝8 m/s，所以小滑块的初速度至少为8 m/s.
答案：(1) m/s (2)6 N (3)8 m/s
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