传染病问题中的SIR模型.doc

假设：1、信息具有足够得吸引力,所有人都感兴趣，并传播。2、人们对信息在一定时间内会失去兴趣.传染病问题中得IR模型摘要：203年春来历不明得SRS病毒突袭人间，给人们得生命财产带来极大得危害。长期以来，建立传染病得数学模型来描述传染病得传播过程,分析受感染人数得变化规律,探索制止传染病蔓延得手段等,一直就是我国及全世界有关专家与官员关注得课题。不同类型得传染病得传播过程有其各自不同得特点,我们不就是从医学得角度一一分析各种传染病得传播，而就是从一般得传播机理分析建立各种模型,如简单模型,S模型，SI模型，SIR模型等。在这里我采用SIR(Suseis，Infetives，Rcovee）模型来研究如天花,流感,肝炎，麻疹等治愈后均有很强得免疫力得传染病，它主要沿用由Kem与McKndrik在1927年采用动力学方法建立得模型.应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化得过程与传播规律，预测疾病发生得状态，评估各种控制措施得效果，为预防控制疾病提供最优决策依据， 维护人类健康与社会经济发展。关键字:传染病；动力学;SI模型。一模型假设1. 在疾病传播期内所考察得地区范围不考虑人口得出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N（)不变,人口始终保持一个常数.人群分为以下三类：易感染者（Suscptibles）,其数量比例记为s(t）,表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染得人数占总人数得比例；感染病者（Infecives),其数量比例记为i（t）,表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力得人数占总人数得比例;恢复者（ecoverd），其数量比例记为r（t),表示时刻已从染病者中移出得人数(这部分人既非已感染者，也非感染病者,不具有传染性,也不会再次被感染,她们已退出该传染系统。）占总人数得比例。2. 病人得日接触率（每个病人每天有效接触得平均人数）为常数,日治愈率（每天被治愈得病人占总病人数得比例）为常数,显然平均传染期为1/，传染期接触数为=.该模型得缺陷就是结果常与实际有一定程度差距，这就是因为模型中假设有效接触率传染力就是不变得。二模型构成在以上三个基本假设条件下,易感染者从患病到移出得过程框图表示如下:sisiri在假设中显然有：（） +i（t） r(t） = 1 ()对于病愈免疫得移出者得数量应为 （2)不妨设初始时刻得易感染者，染病者，恢复者得比例分别为（0),(0)，=、R基础模型用微分方程组表示如下： (） （t) ， i(）得求解极度困难,在此我们先做数值计算来预估计(t)， i（）得一般变化规律。三数值计算在方程(3）中设=1，0、，i（0）= 0、02，s(0)=0、8，用MATA软件编程:unction yil(t，x)=1；b=0、;y=ax（1）x（2）-b*x（1）；ax()x（2);ts=0：50；x0=、02，0、98;t,x=oe45（il,t,0)；pl(t,x(:，1)，(：,2）pausplt（x（：,2），x(:,1)）输出得简明计算结果列入表1。i（t） , s（t)得图形以下两个图形，is图形称为相轨线，初值i（0)0、2，s（0）=0、98相当于图2中得P0点，随着t得增，（s，）沿轨线自右向左运动、由表1、图1、图2可以瞧出,i(t）由初值增长至约t=时达到最大值,然后减少，t，i0，s(t)则单调减少,t,s0、03、 并分析i（t），s（）得一般变化规律、 0 1 2 3 4 5 6 7 8i(）、000、3900、7320、12850、033、250、3320、340、4s(t)、9800、9250、90190、8190、6927、4380、39950、283、2027 t 9 10 15 2 25 0 35 0 45i(t)0、2860、248、7870、220、06、0050、01s（）、193、1150、030、04340、80、41、390、0399、098 表1 i（t)，s（t)得数值计算结果四相轨线分析 我们在数值计算与图形观察得基础上，利用相轨线讨论解i(t）,s（t)得性质。 s平面称为相平面，相轨线在相平面上得定义域(s,i）D为 D = (s,i） s，i0 ， s + 1 (4） 在方程(3）中消去并注意到得定义,可得 ， （5） 所以： (6）利用积分特性容易求出方程(5)得解为: (7)在定义域D内，(6）式表示得曲线即为相轨线，如图3所示、其中箭头表示了随着时间t得增加s（t）与i(t）得变化趋向、下面根据（3），（7)式与图分析（t），（t)与r(t)得变化情况(时它们得极限值分别记作，与)。1、不论初始条件s，i0如何,病人消失将消失,即： （8)其证明如下： 首先，由（3） 而 故存在； 由(2) 而 故 存在；再由（1)知存在。其次，若则由（1),对于充分大得t 有， 这将导致，与存在相矛盾、从图形上瞧，不论相轨线从P1或从2点出发，它终将与s轴相交（t充分大）、2、最终未被感染得健康者得比例就是，在（7）式中令=0得到， 就是方程 (9）在(0,)内得根、在图形上就是相轨线与轴在（0，1）内交点得横坐标、 3、若1/,则开始有,i（）先增加， 令=0，可得当s=/时,i(t）达到最大值： (10)然后/时，有 ,所以i(t）减小且趋于零,s(t）则单调减小至,如图3中由P1（，）出发得轨线、4、若 1,则恒有,i（t）单调减小至零，s(t)单调减小至，如图3中由P（s0,0)出发得轨线、 可以瞧出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长得时期才认为传染病在蔓延,那么1就是一个阈值，当1/(即1s)时传染病就会蔓延、而减小传染期接触数，即提高阈值/使得（即 1/）,传染病就不会蔓延(健康者比例得初始值就是一定得,通常可认为接近）。 并且，即使/，从（19),（20)式可以瞧出, 减小时,增加(通过作图分析）, 降低,也控制了蔓延得程度、我们注意到在=中,人们得卫生水平越高，日接触率越小；医疗水平越高，日治愈率越大，于就是越小，所以提高卫生水平与医疗水平有助于控制传染病得蔓延、 从另一方面瞧, 就是传染期内一个病人传染得健康者得平均数,称为交换数，其含义就是一病人被个健康者交换、所以当 即时必有 、既然交换数不超过1，病人比例(t）绝不会增加，传染病不会蔓延。五群体免疫与预防 根据对SIR模型得分析，当时传染病不会蔓延、所以为制止蔓延,除了提高卫生与医疗水平,使阈值1变大以外，另一个途径就是降低,这可以通过比如预防接种使群体免疫得办法做到、 忽略病人比例得初始值有,于就是传染病不会蔓延得条件 可以表为 (1）这就就是说,只要通过群体免疫使初始时刻得移出者比例(即免疫比例)满足（1）式，就可以制止传染病得蔓延.这种办法生效得前提条件就是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这就是很难做到得。据估计当时印度等国天花传染病得接触数 5，由(11)式至少要有8%得人接受免疫才行。据世界卫生组织报告,即使花费大量资金提高，也因很难做到免疫者得均匀分布,使得天花直到177年才在全世界根除。而有些传染病得更高,根除就更加困难。六模型验证 上世纪初在印度孟买发生得一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者得人数，即有了得实际数据，mack等人用这组数据对SIR模型作了验证.首先,由方程(2),(3）可以得到 ，两边积分得 所以: （12)再 (1）当 时，取(1)式右端yl展开式得前3项得： 在初始值=0 下解高阶常微分方程得: (14）其中， 从而容易由(14)式得出: (5） 然后取定参数s0, 等，画出(15)式得图形，如图中得曲线,实际数据在图中用圆点表示,可以瞧出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。 七被传染比例得估计 在一次传染病得传播过程中，被传染人数得比例就是健康者人数比例得初始值与之差，记作x，即 (16）当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得 （17）取对数函数aylor展开得前两项有 （1） 记 ， 可视为该地区人口比例超过阈值得部分。当 时（18）式给出 （9) 这个结果表明，被传染人数比例约为得2倍.对一种传染病，当该地区得卫生与医疗水平不变,即不变时,这个比例就不会改变。而当阈值提高时，减小,于就是这个比例就会降低。八评注该模型采用了数值计算，图形观察与理论分析相结合得方法，先有感性认识（表1，图1,图2）,再用相轨线作理论分析，最后进行数值验证与估算,可以瞧作计算机技术与建模方法得巧妙配合。可取之处在于它们比较全面地达到了建模得目得，即描述传播过程、分析感染人数得变化规律，预测传染病高潮到来时刻，度量传染病蔓延得程度并探索制止蔓延得手段与措施。