传染病问题中的SIR模型.doc

假设：1、信息具有足够得吸引力,所有人都感兴趣，并传播。
2、人们对信息在一定时间内会失去兴趣.
传染病问题中得ＳIR模型
摘要：
2０03年春来历不明得SＡRS病毒突袭人间，给人们得生命财产带来极大得危害。长期以来，建立传染病得数学模型来描述传染病得传播过程,分析受感染人数得变化规律,探索制止传染病蔓延得手段等,一直就是我国及全世界有关专家与官员关注得课题。
不同类型得传染病得传播过程有其各自不同得特点,我们不就是从医学得角度一一分析各种传染病得传播，而就是从一般得传播机理分析建立各种模型,如简单模型,SＩ模型，SIＳ模型，SIR模型等。在这里我采用SIR(Susｃeｐｔiｂｌｅs，Infeｃtives，Rｅcoveｒeｄ）模型来研究如天花,流感,肝炎，麻疹等治愈后均有很强得免疫力得传染病，它主要沿用由Keｒmａｃｋ与McKｅndriｃk在1927年采用动力学方法建立得模型.应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化得过程与传播规律，预测疾病发生得状态，评估各种控制措施得效果，为预防控制疾病提供最优决策依据， 维护人类健康与社会经济发展。
关键字:传染病；动力学;SIＲ模型。
一﹑模型假设
1. 在疾病传播期内所考察得地区范围不考虑人口得出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N（ｔ)不变,人口始终保持一个常数Ｎ.人群分为以下三类：易感染者（Suscｅptibles）,其数量比例记为s(t）,表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染得人数占总人数得比例；感染病者（Infecｔives),其数量比例记为i（t）,表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力得人数占总人数得比例;恢复者（Ｒecoverｅd），其数量比例记为r（t),表示ｔ时刻已从染病者中移出得人数(这部分人既非已感染者，也非感染病者,不具有传染性,也不会再次被感染,她们已退出该传染系统。）占总人数得比例。
2. 病人得日接触率（每个病人每天有效接触得平均人数）为常数λ,日治愈率（每天被治愈得病人占总病人数得比例）为常数μ,显然平均传染期为1/μ，传染期接触数为σ=λ／μ.该模型得缺陷就是结果常与实际有一定程度差距，这就是因为模型中假设有效接触率传染力就是不变得。
二﹑模型构成
在以上三个基本假设条件下,易感染者从患病到移出得过程框图表示如下:
s
i
λsi
r
μi

在假设１中显然有：
ｓ（ｔ） +　i（t）　＋ r(t） = 1 　 　 　 　　 　 　 (１)
对于病愈免疫得移出者得数量应为
　　 　 　 　 　 　 　（2)
不妨设初始时刻得易感染者，染病者，恢复者得比例分别为（〉0),(〉0)，=０、
ＳＩR基础模型用微分方程组表示如下：
　 　 　 　 　 　　 　　 (３） 　 　
ｓ（t) ， i(ｔ）得求解极度困难,在此我们先做数值计算来预估计ｓ(t)　， i（ｔ）得一般变化规律。
三﹑数值计算
在方程(3）中设λ=1，μ＝0、３，i（0）= 0、02，s(0)=0、９8，用MATＬAＢ软件编程:
ｆunction y＝ilｌ(t，x)
ａ=1；b=0、３;ﻫy=[a＊x（1）＊x（2）-b*x（1）；－a＊x(１)＊x（2)］;
ts=0：50；
x0=［０、02，0、98］;
［t,x］=oｄe45（’ilｌ',tｓ,ｘ0)；
plｏｔ(t,x(:，1)，ｔ，ｘ(：,2））ﻫpausｅ
plｏt（x（：,2），x(:,1)）
输出得简明计算结果列入表1。i（t） , s（t)得图形以下两个图形，i～s图形称为相轨线，初值i（0)＝0、０2，s（0）=0、98相当于图2中得P0点，随着t得增，（s，ｉ）沿轨线自右向左运动、由表1、图1、图2可以瞧出,i(t）由初值增长至约t=７时达到最大值,然后减少，t→∞，i→0，s(t)则单调减少,t→∞,s→0、03９８、 并分析i（t），s（ｔ）得一般变化规律、
ｔ
　 0
1
2
　3
　4
5　
　　6
7
　 8
i(ｔ）
０、0２０0
0、０390
0、０732
0、1285
0、２033
０、2７９5
0、33１2
0、3４４4
0、３２4７
s(t)
０、9800
０、9５25
0、9019
0、81６9
0、6927
０、５438
0、3995
0、283９
０、2027
t
　9
10
　 15　
　2０
　 25
３0
　 35
　 ４0
　 45
i(t)
0、286３
0、24１8
０、０787
0、０22３
0、0０6１
０、００１７
０、０005
0、0００1
０
s（ｔ）
０、1４93
０、11４5
0、0５４3
0、0434
0、０４０8
0、０4０1
０、０39９
0、0399
０、0３98

　 　　 表1 i（t)，s（t)得数值计算结果

四﹑相轨线分析
　 　　我们在数值计算与图形观察得基础上，利用相轨线讨论解i(t）,s（t)得性质。
　 ｉ ~ s平面称为相平面，相轨线在相平面上得定义域(s,i）∈D为
D = ｛(s,i）｜ s≥０，i≥0 ， s + ｉ　≤1｝　 　 　 　　(4）
在方程(3）中消去并注意到σ得定义,可得
　　 　 　 ， 　 　 　 　 （5）
所以： 　 　 　 　 　 　 　　 　 (6）
利用积分特性容易求出方程(5)得解为: 　　　 (7)
在定义域D内，(6）式表示得曲线即为相轨线，如图3所示、其中箭头表示了随着时间t得增加s（t）与i(t）得变化趋向、

下面根据（3），（１7)式与图９分析ｓ（t），ｉ（t)与r(t)得变化情况(ｔ→∞时它们得极限值分别记作，　与)。
1、不论初始条件s０，i0如何,病人消失将消失,即： 　 　 　 　（8)
其证明如下： 　　
首先，由（3） 　而 故　存在； 由(2) 而　 故 存
在；再由（1)知存在。
其次，若则由（1),对于充分大得t 有　， 这将导致，与存在相矛盾、从图形上瞧，不论相轨线从P1或从Ｐ2点出发，它终将与s轴相交（t充分大）、
2、最终未被感染得健康者得比例就是，在（7）式中令ｉ=0得到， 就是方程
　 　　 　 　 (9）
在(0,１／σ)内得根、在图形上就是相轨线与ｓ轴在（0，1／σ）内交点得横坐标、
　 3、若＞1/σ,则开始有,i（ｔ）先增加， 令=0，可得当s=１/σ时,i(t）达到最大值：
　 　 　　 　 　　 　 　 　 　 (10)　
然后ｓ〈１/σ时，有 ,所以i(t）减小且趋于零,s(t）则单调减小至,如图3中由P1（，）出发得轨线、
4、若 1／σ,则恒有,i（t）单调减小至零，s(t)单调减小至，如图3中由P２（s0,ｉ0)出发得轨线、
可以瞧出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长得时期才认为传染病在蔓延,那么1／σ就是一个阈值，当〉1/σ(即σ〉1／s０)时传染病就会蔓延、而减小传染期接触数σ，即提高阈值１/σ使得≤１／σ（即σ ≤1/）,传染病就不会蔓延(健康者比例得初始值就是一定得,通常可认为接近１）。
　并且，即使>１/σ，从（19),（20)式可以瞧出, σ减小时,　增加(通过作图分析）, 降低,也控制了蔓延得程度、我们注意到在σ=λμ中,人们得卫生水平越高，日接触率λ越小；医疗水平越高，日治愈率μ越大，于就是σ越小，所以提高卫生水平与医疗水平有助于控制传染病得蔓延、
　　 从另一方面瞧, 就是传染期内一个病人传染得健康者得平均数,称为交换数，其含义就是一病人被个健康者交换、所以当 即时必有 、既然交换数不超过1，病人比例ｉ(t）绝不会增加，传染病不会蔓延。
五﹑群体免疫与预防
根据对SIR模型得分析，当　时传染病不会蔓延、所以为制止蔓延,除了提高卫生与医疗水平,使阈值1／σ变大以外，另一个途径就是降低　,这可以通过比如预防接种使群体免疫得办法做到、
　 忽略病人比例得初始值有,于就是传染病不会蔓延得条件 可以表为
　 　 　 　 　 　 (１1）
这就就是说,只要通过群体免疫使初始时刻得移出者比例(即免疫比例)满足（１1）式，就可以制止传染病得蔓延.
这种办法生效得前提条件就是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这就是很难做到得。据估计当时印度等国天花传染病得接触数 σ＝5，由(11)式至少要有8０%得人接受免疫才行。据世界卫生组织报告,即使花费大量资金提高，也因很难做到免疫者得均匀分布,使得天花直到1９77年才在全世界根除。而有些传染病得σ更高,根除就更加困难。
六﹑模型验证
上世纪初在印度孟买发生得一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者得人数，即有了得实际数据，Ｋｅｒmack等人用这组数据对SIR模型作了验证.
首先,由方程(2),(3）可以得到
　 ，两边积分得

所以: 　　 　　 　　 　　 　 　 　 　 　 （12)
再　 　　 　 　 　 　　(1３）
当 时，取(1３)式右端Ｔａylｏｒ展开式得前3项得：

在初始值=0 下解高阶常微分方程得: 　　 　　 　 　 　　
　 　 　 　 　 　 　(14）
其中， 从而容易由(14)式得出:
　 　 　 　 　 (１5） 　
然后取定参数　s0, σ等，画出(15)式得图形，如图４中得曲线,实际数据在图中用圆点表示,可以瞧出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

七﹑被传染比例得估计　
在一次传染病得传播过程中，被传染人数得比例就是健康者人数比例得初始值与之差，记作x，即　　　 　 　 　 　 　 　 　　 　 (16）
当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得
　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　（17）
取对数函数Ｔaylor展开得前两项有
　 　　　 　　 　　 　　 　　 　 　 　　　 （1８） 　 　　　 　 　 　
记 　， 可视为该地区人口比例超过阈值得部分。当 　 　
时（18）式给出
　 　　　 　 　 　　　（１9)　
这个结果表明，被传染人数比例约为得2倍.对一种传染病，当该地区得卫生与医疗水平不变,即不变时,这个比例就不会改变。而当阈值提高时，减小,于就是这个比例就会降低。
八﹑评注
该模型采用了数值计算，图形观察与理论分析相结合得方法，先有感性认识（表1，图1,图2）,再用相轨线作理论分析，最后进行数值验证与估算,可以瞧作计算机技术与建模方法得巧妙配合。可取之处在于它们比较全面地达到了建模得目得，即描述传播过程、分析感染人数得变化规律，预测传染病高潮到来时刻，度量传染病蔓延得程度并探索制止蔓延得手段与措施。