复变函数全套.pptx

复变函数复变函数2 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚部它们的实部和虚部分别相等分别相等.复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小,如果不全是实数如果不全是实数,就不能比较大小就不能比较大小,也就也就是说是说,复数不能比较大小复数不能比较大小.第一讲 复数及其代数运算3辐角的主值辐角的主值4三角表示法利用欧拉公式利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式.指数表示法指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成5方根单连通域与多连通域单连通域与多连通域从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域的域.6复变函数的概念注意注意:复变函数的极限 极限计算的定理7复变函数的连续性 连续的充要条件8解解三、典型例题9解解10例例 解解例例5 5 求下列复数的辐角主值求下列复数的辐角主值:解解12例例 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为13指数表示式为指数表示式为故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为14故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为6、基本问题、基本问题(1)已知方程求图形已知方程求图形例例求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解16化简后得化简后得一般方法：一般方法：17解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为(2)已知图形求方程已知图形求方程例例18例10试用复数表示圆的方程:其中，a,b,c,d是实常数。解：解：一般方法：一般方法：20例例解解复数的运算21例例解解22即即23例例解解即即2425例例1 1解解三、典型例题26所以象的参数方程为所以象的参数方程为27例例 函数函数 将将 平面上的下列曲线变成平面上的下列曲线变成 平平面上的什么曲线？面上的什么曲线？解解又又于是于是表示表示 平面上的圆平面上的圆.(1)28解解表示表示 平面上以平面上以 为圆心，为圆心，为半径的圆为半径的圆.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.29例例2 2证证(一一)30根据定理一可知根据定理一可知,证证(二二)311 1）导数的定义）导数的定义1.复变函数的导数与微分2)复变函数的微分2.解析函数可微可微 可导可导 连续连续 有定义有定义极限存在极限存在 解析解析 第二章3.奇点4.可导与解析的判定5 5、解析函数的判定方法、解析函数的判定方法6.初等解析函数1)1)指数函数指数函数 2)三角函数3 3）对数函数）对数函数4)4)幂函数幂函数39例例 解解例例 判定判定 在何处可导在何处可导解解不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,41例例判定下列函数在何处可导判定下列函数在何处可导,在何处解析在何处解析:解解不满足柯西黎曼方程不满足柯西黎曼方程,42四个偏导数均连续四个偏导数均连续43例例 证证44例例 解解45例例解解46例例例例1 例例3 解解例例4解解注意注意:在实变函数中在实变函数中,负数无对数负数无对数,复变函数中复变函数中负负数有对数数有对数.例例5解解例例6 6解解答案答案课堂练习课堂练习例例7 7解解例例10 10 解方程解方程解解 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑(或按段光滑或按段光滑)曲线曲线,如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向(或正向或正向),),那末我们就把那末我们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线,称为称为有向曲线有向曲线.如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向,第三章第三章 1.有向曲线2.积分计算（1 1）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分3.柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理)由定理得由定理得4.原函数的定义(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)5.闭路变形原理 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末6.柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.7.高阶导数公式8.调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数调和函数.共轭调和函数解解:(1)例例1 直线直线OB的参数方程为的参数方程为积分都与路线积分都与路线C 无关无关(2)直线直线OA的参数方程为的参数方程为直线直线AB的参数方程为的参数方程为例例2 解解(1)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=x(2)积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为y=xy=x(3)积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为例例4 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.例例解解根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理,有有例例3 3解解根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得例1计算例2计算例3计算三、典型例题例例1 1解解依题意知依题意知,根据复合闭路定理根据复合闭路定理,例例2 2 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,例例3 3解解由复合闭路定理由复合闭路定理,此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不必是也不必是圆的圆心圆的圆心,只要只要a在简单闭曲线在简单闭曲线 内即可内即可.例例1 1解解由柯西积分公式由柯西积分公式三、典型例题例例2 2解解例例2 2解解由闭路复合定理由闭路复合定理,得得例例2 2解解例例 3 3解解根据柯西积分公式知根据柯西积分公式知,三、典型例题例例1 1解解根据复合闭路定理根据复合闭路定理3.偏积分法偏积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 得一个解析函数得一个解析函数这个函数可以化为这个函数可以化为例例1 解解:利用柯西利用柯西黎曼方程黎曼方程,因而得到解析函数因而得到解析函数 因而得到解析函数因而得到解析函数第四章第四章1.复数列记作记作表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.复数项级数1)定义定义2)复级数的收敛与发散充要条件充要条件必要条件必要条件非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面项的和项的和3.复变函数项级数其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作 4.幂级数 1)在复变函数项级数中在复变函数项级数中,形如形如的级数称为的级数称为幂级数幂级数.-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数在在收敛收敛,那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)收敛定理(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.此时,级数在复平面内除原点外处处发散.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2)对所有的正实数除对所有的正实数除外都发散外都发散.在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径方法方法1 1:比值法比值法方法方法2:根值法根值法4)收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径5)幂级数的运算与性质如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,(2)幂级数的代换(复合)运算复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为那末那末是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数.它的和函数它的和函数即即(1)(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,即即(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,即即或或5.泰勒级数其中其中泰勒级数泰勒级数 1)定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当2)常见函数的泰勒展开式 6.洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.1)函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的幂项的级数是唯一的,这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法直接展开法而而解解 例例解解 级数满足必要条件级数满足必要条件,但但例例 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.解解解解 由正项级数的比值判别法知由正项级数的比值判别法知绝对收敛绝对收敛.例例 判别级数的敛散性判别级数的敛散性.例例故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解故原级数收敛故原级数收敛.所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛.例例解解例例 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径解解说明说明:例例1 1解解例例2 2 解解例例3 3解解上式两边逐项求导上式两边逐项求导,例例4 4 解解三、典型例题例例1 1解解本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解oxy112oxy由由且仍有且仍有2oxy由由此时此时仍有仍有例例3 3解解 洛朗级数在积分上的应用1）定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析,但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析,则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.第五章1.孤立奇点的概念与分类孤立奇点孤立奇点奇点奇点2）孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点可去奇点;ii)极点极点;iii)本性奇点本性奇点.定义定义 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,那末那末孤立奇点孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.i)可去奇点ii)极点极点 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成极点的判定方法极点的判定方法在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.(a)由定义判别由定义判别(b)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(c)利用极限利用极限判断判断.如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,注意注意:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为iii)本性奇点综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项关于关于的最高幂的最高幂为为i)零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正整数,那末那末称为称为的的 m 级零点级零点.3)函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系零点与极点的关系如果如果是是的的 m 级极点级极点,那末那末就是就是的的 m 级零点级零点.反过来也成立反过来也成立.2.留数记作记作定义定义 如果如果的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以1)留数定理留数定理 设函数设函数在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那末那末立奇点立奇点留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数积分转化为求被积函数在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.(1)如果如果为为的可去奇点的可去奇点,则则如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末 a)(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,则需将则需将成洛朗级数求成洛朗级数求展开展开(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则2)留数的计算方法 c)设设及及在在如果如果那末那末为一级极点为一级极点,且有且有都解析，都解析，如果如果 为为 的的 级极点级极点,那末那末b)1.留数定理留数定理 设函数设函数在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,则则立奇点立奇点留数定理将沿封留数定理将沿封闭曲曲线C积分分转化化为求被求被积函数函数在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.留数的应用注注1 计算闭路积分计算闭路积分步骤步骤1 1 明确积分曲线及内部奇点明确积分曲线及内部奇点2 确定奇点类型确定奇点类型,计算留数计算留数3 应用留数定理应用留数定理,求积分求积分注注2 计算定积分计算定积分(不要求不要求)注注3 计算广义积分计算广义积分(不要求不要求)例例2 2 指出函数指出函数在点在点的奇点特性的奇点特性.解解即在即在的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点为函数的奇点为总有总有不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以如果补充定义如果补充定义:时时,那末那末在在解析解析.例例3 中不含负幂项中不含负幂项,是是的可去奇点的可去奇点.例例4 说明说明为为的可去奇点的可去奇点.解解 所以所以为为的可去奇点的可去奇点.无负幂项无负幂项另解另解 的可去奇点的可去奇点.为为课堂练习课堂练习求求的奇点的奇点,如果是极点如果是极点,指出它的指出它的级数级数.答案答案(1)由于由于知知是是的一级零点的一级零点.课堂练习课堂练习是五级零点是五级零点,是二级零点是二级零点.知知是是的一级零点的一级零点.解解(2)由于由于答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数的零点及级数.求求例例8 函数函数有些什么奇点有些什么奇点,如果是极点如果是极点,指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使的点的点,这些奇点是这些奇点是是孤立奇点是孤立奇点.的一级极点的一级极点.即即解解 解析且解析且所以所以不是二级极点不是二级极点,而是一级极点而是一级极点.例例9 问问是是的二级极点吗的二级极点吗?注意注意:不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论.例例 求下列各函数在有限奇点处的留数求下列各函数在有限奇点处的留数.解解(1)在在 内内,解解解解为奇点为奇点,当当 时时 为一级极点，为一级极点，1.计算闭路积分计算闭路积分