复数与复变函数省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

复变函数复数变量函数主要研究对象主要研究对象-复变量函数，尤其是复变量函数，尤其是解析函数解析函数主要内容主要内容-Cauchy 积分理论积分理论 Weierstrass 级数理论级数理论 Riemann 保形变换理论保形变换理论 介绍介绍第1页1.1.昨夜西风凋碧树昨夜西风凋碧树,独上高楼望尽天涯路独上高楼望尽天涯路.:.:晏殊晏殊2.2.衣带渐宽终不悔衣带渐宽终不悔,为伊消得人憔悴为伊消得人憔悴.-.-柳永柳永3.3.众里寻她千众里寻她千baidubaidu,蓦然回首蓦然回首,那人却在那人却在灯火阑灯火阑珊处珊处.-辛弃疾辛弃疾-国学大师国学大师:王国维王国维 拾掇 纸上得来总觉浅,绝知此事要躬行.陆游数学是科学大门和钥匙数学是科学大门和钥匙.-Roger Bacon-第2页物理几何是一家，共同携手到天涯。黑洞单极穷奥秘，纤维连络织锦霞。进化方程孤立异，对偶曲率瞬息差。筹算竟有天人用，拈花一笑欲无言。陈省身天依其无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。杨振宁物理数学-陈同气连枝 同胞共哺第3页第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一、二、三节第一、二、三节 复数及其代数运算复数及其代数运算第四、五、六节第四、五、六节 复复变函数变函数（概念、极限、连续）（概念、极限、连续）复数是为了解三次方程而引进复数是为了解三次方程而引进!复复变函数论被誉为变函数论被誉为1919世纪最独特世纪最独特创造创造,是抽象数学中最友好理论之一是抽象数学中最友好理论之一.第4页1-3 复数及其代数运算复数及其代数运算一、复数概念一、复数概念注意注意：复数不能比较大小.第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第5页二、二、复数几个表示方法复数几个表示方法1.代数法代数法2.几何法几何法Wessel.韦塞尔韦塞尔Argand.阿尔冈阿尔冈高斯高斯【Gauss】第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算r使复数运算直观自然使复数运算直观自然.这也是其这也是其在数理中得到广泛应用原因之一在数理中得到广泛应用原因之一!第6页3.向量法向量法复数模三角不等式第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第7页复数辐角：第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算rr第8页4.三角法三角法5.指数法指数法第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第9页三、复数运算规则复数运算规则（指集合相等）第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第10页几何意义几何意义:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第11页（指集合相等指集合相等）第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第12页4.共轭复数运算第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第13页4.幂与根幂与根幂棣摩弗(De Moivre)公式第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第14页第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第15页四、曲线复数方程四、曲线复数方程第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第16页例例1 指出以下方程表示曲线解解 法法 1.法法 2.第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第17页解解第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算解解第18页解：解：由向量性质第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第19页解解由几何意义，圆方程为第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第20页例4 指出满足以下条件点 z 全体所组成图形.第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第21页第22页解解第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第23页解解如图:第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第24页另解另解第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第25页第26页第27页设任意时刻设任意时刻A A坐标为（坐标为（x,yx,y）,B,B坐标为坐标为由对称性及复变函数知识有由对称性及复变函数知识有,A,A点向量旋转点向量旋转再平移再平移a a即得即得B B点向量点向量,因而因而三犬依次追击问题：三犬依次追击问题：解此方程即得轨迹方程！解此方程即得轨迹方程！N犬类似犬类似 CBA第28页五、复球面五、复球面作一球面与复平面在坐标原点相切作一球面与复平面在坐标原点相切第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第29页要求：要求：称球面为复球面复球面第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第30页第第一一节节复复数数及及其其代代数数运运算算第31页uNxsoyA第32页第33页第34页4-6 复变函数（极限、概念、连续）复变函数（极限、概念、连续）一、区域一、区域1.邻域邻域第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第35页2.内点内点第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第36页3.开集开集!若G内每一点都是内点，称G是开集4.区域区域连通开集称为开区域，简称区域（连通集是指集合内任何两点可用完全属于5.边界点边界点第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）集合折线连接起来）点，也有不属于D中点，称P为D边界点。有属于D第37页6.闭区域闭区域7.有界区域有界区域称D为有界区域，不然，为无界区域.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第38页二、单连通与复连通域二、单连通与复连通域1.平面曲线几个概念平面曲线几个概念（1）连续曲线）连续曲线第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）称为复变量实参数曲线方程。第39页（2）光滑曲线）光滑曲线（3）简单曲线）简单曲线(直观上为无重点曲线);第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）则称曲线为简单闭曲线.第40页第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第41页2.单连通区域：单连通区域：若区域B内任何一条简单闭曲线，在B内能够经过连续变形而缩成一点，则称B为单连通区域.多连通区域：多连通区域：不是单连通连通区域.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）单连通域（无洞）多连通域（有洞）B第42页三、复变函数三、复变函数1.定义定义则称复变数w是复变数z函数.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第43页2.复变函数与实变函数关系复变函数与实变函数关系第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）比如：第44页第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）称函数 为映射第45页解解第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第46页解解第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第47页第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）4第48页比如比如注：注：Z平面与W平面重合！第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第49页解解法法 1.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第50页第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）Z解解法法 2 第51页四、复变函数极限和连续性四、复变函数极限和连续性1.极限定义极限定义第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第52页几何意义几何意义说明：说明：第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第53页定理定理1第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）注：注：此定理意义在于，复变量函数极限问题，可转化为求实变量二元函数极限问题.证实26页第54页证实证实 方方法法 1 第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第55页k取不一样值时，极限值不相等.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第56页方方法法 2第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第57页定理定理2（四则运算法则）（四则运算法则）第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第58页2.连续定义连续定义连续等价定义连续等价定义第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第59页定理定理 3第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第60页定理定理4 （1）连续函数和、差、积、商(分母不为零)仍连续.第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）比如：比如：第61页尤其指出尤其指出第第 二二 节节 复复 变变 函函 数数（概（概 念、极念、极 限、连限、连 续）续）第62页第63页第64页O证证:第65页第66页第67页