1、第二章第二章 解析函数解析函数1 解析函数概念2 函数解析充要条件3 初等函数1第1页1 解析函数概念解析函数概念1.复变函数导数与微分2.解析函数概念2第2页1.复变函数导数与微分复变函数导数与微分存在,则就说 f(z)在z0可导,此极限值就称为 f(z)在在 z0i)导数定义导数定义定义 设函数 w=f(z)定义于区域D,z0为D中一点,点导数导数,记作不出D范围。假如极限3第3页也就是说,对于任给时,有,存在,使得当应该注意,定义中任意,定义中极限值存在要求与无关,也就是说,当都趋于同一个数。若 f(z)在D内处处可导,就说 f(z)在在内可导内可导。(即)方式是方式在区域D内以任何方式
2、趋于z0时,比值4第4页所以例例1 求 f(z)=z2 导数。解解 因为5第5页例例2 问 f(z)=x+2yi 是否可导？解解设沿着平行于 x轴直线趋向于 z，因而这时极限6第6页设沿着平行于 x轴直线趋向于 z，因而这时极限所以 f(z)=x+2yi 导数不存在。设沿着平行于 y轴直线趋向于 z，因而这时极限7第7页ii)可导与连续可导与连续轻易证实,在z0点可导函数必定在z0点连续连续。实际上,由在z0点可导定义，对于任给对应地有一个令则,使得当时,有8第8页由此得所以即在连续连续。iii)求导法则求导法则 与实函数相同,复变函数也有类似求导公式与法则，罗列以下：,其中c为复常数。,其中
3、n为正整数。9第9页,其中c为复常数。,其中n为正整数。，其中，其中w=f(z)与是两个互为反函数单值函数，且。10第10页iv)微分概念微分概念小量,而设函数w=f(z)在z0可导,则有其中所以,假如函数在z0微分存在,则称函数函数 f(z)在在z0可微可微。是高阶无穷线性部是函数w=f(z)改变量分,称为函数w=f(z)在点在点z0微分微分,记作11第11页即由此可见,函数w=f(z)在z0可导与在z0可微是等价。尤其,当f(z)=z时,得。于是上式可变为若f(z)在区域D内处处可微,则称 f(z)在在D内可微内可微。12第12页2.解析函数概念解析函数概念定义定义 假如函数 f(z)在z
4、0及z0邻域内处处可导,则称 假如 f(z)在 z0不解析,则称 z0为 f(z)奇点奇点f(z)在z0解析解析,若 f(z)在区域D内每一点解析,则称 f(z)在D内解析,或称 f(z)是 D内一个解析函数解析函数(全纯函数全纯函数或由定义可知,函数在区域内解析与在区域内可导是等价。不过,函数在一点处解析和在一点处可导不等价。即,函数在一点处可导,不一定在该点处解析。函数在一正则函数正则函数)点处解析比在该点处可导要求要高得多。13第13页例例3 研究函数解解和解析性。由解析函数定义与前面例题可知，在复平面内是解析，而却是处处不解析。下面研究解析性。因为14第14页假如，那么当时，上式极限是
5、零。假如，令沿直线趋于，因为k 任意性，不趋于一个确定值。所以当极限不存在。时，所以，仅在 z=0 处可导，而在其它点都不可导，由定义，它在复平面内处处不解析。15第15页例例4 研究函数解解解析性。因为w在复平面内除点z=0外处处可导，且所以在除 z=0外复平面内，函数处处解析，而z=0是它奇点。16第16页全部多项式在复平面内是处处解析,任何一个和,差,积,商(除去分母为零点)在D内解析解析。2)设 h=g(z)在 z平面上区域 D内解析,w=f(h)在 h平面上区域 G 内解析。假如对D内每一个点 z,g(z)对应值 h 都属于G,则复合函数 w=f g(z)在D内有理分式函数 P(z)
6、/Q(z)在不含分母为零点区域内是解析函数,使分母为零点是它奇点。依据求导法则可知：定理定理 1)在区域D内解析两个函数 f(z)与g(z)解析。17第17页2 函数解析充要条件函数解析充要条件18第18页在工程中,往往是要用复变函数来处理实际问题。而实际问题中碰到复变函数,通常都是某个实变函数延拓而来。即,假如原来有一个实变函数 f(x)，自变量是实数,函数值也是实数,则将x用一个复数代替，就产生了一个自变量和函数值都是复数复变函数。实际上我们只关心这么复变函数。比如说实变函数经常就是实变函数中基本初等函数及组合组成初等函数延拓到复变函数。,则对应延拓复变函数就是19第19页件。设 f(z)
7、=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内,且在D内一点z=x+iy可导。，有判断一个函数是否解析，假如只依据解析函数定义，往往比较困难。所以，需要寻找判断函数解析简便方法。先考查函数在一点可导一点可导(或可微或可微)应该满足什么条其中则对于充分小20第20页令。由上式得从而有因为，所以。所以得知 u(x,y)和 v(x,y)在(x,y)可微，而且满足方程21第21页这就是函数 f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内一点z=x+iy可导必要条件必要条件。而且满足方程方程称为柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程。实际上，这个条件也
8、是充分。且也有下面定理：22第22页定理一定理一 设函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)定义在区域D内,而 f(z)在D内一点 z=x+iy可导充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,而且在该点满足柯西柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann)方程方程。证证 条件必要性上面已经证实,下面证充分性。充分性充分性因为23第23页这里充分性充分性因为又因为u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微，可知24第24页所以依据柯西-黎曼方程所以25第25页或最终两项都趋于零。所以这就是说,函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy处可导因为，故当趋
9、于零时，上式右端26第26页依据函数在区域内解析定义及定理一，就可得由定理一可得函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+i y 处导数公式：到判断函数在区域D内解析一个充要条件。定理二定理二 函数 f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在其定义域D内解析充要条件充要条件是 u(x,y)与 v(x,y)在D内可微,并满足柯西-黎曼方程。27第27页这两个定理是本章主要定理。不但提供了判断函数 f(z)在某点是否可导，在区域内是否解析惯用方法，而且给出了一个简练求导公式。是否满足柯西-黎曼方程是定理中主要条件。假如 f(z)在区域D内不满足柯西-黎曼方程，那么，f(z)在D内不解
10、析；假如在D内满足柯西-黎曼方程,且u和v含有一阶连续偏导数,那么,f(z)在D内解析。对于f(z)在一点z=x+iy可导性，也有类似结论。28第28页例例1 判断以下函数在何处可导,在何处解析：解解不可导,处处不解析。1)因为可知柯西-黎曼方程不满足,所以在复平面内处处29第29页2)因为柯西-黎曼方程成立,因为上面四个偏导数都是连续,所以 f(z)在复平面内处处可导,处处解析,且有从而解解例例1 判断以下函数在何处可导,在何处解析：30第30页3)由轻易看出，这四个偏导数处处连续，但仅当x=y=0时，,得,所以才满足柯西-黎曼方程，因而函数仅在z=0可导，但在复平面内任何地方都不解析。解解
11、例例1 判断以下函数在何处可导,在何处解析：31第31页1)因为时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数在直线从而仅当解解例例 判断以下函数在何处可导,在何处解析：上处处可导，而在复平面上处处不解析。32第32页2)因为时，柯西-黎曼方程才成立，故此函数在直线从而仅当解解例例 判断以下函数在何处可导,在何处解析：上处处可导，而在复平面上处处不解析。33第33页例例2 设函数 问常数a,b,c,d 取何值时,f(z)在复平面内处处解析?解解 因为 从而要使只需所以,当内处处解析,这时时,此函数在复平面34第34页例例 设函数 问常数a,b,c 取何值时,f(z)在复平面内处处解析?解解 先求 从而要使
12、只需，所以,所以，有35第35页例例 设解析函数 实部解解 因为 又函数解析，则有即对求v关于y偏导数，得积分得，那么求 f(z)。则即所以有36第36页例例3 假如所以u=常数,v=常数,因而 f(z)在D内是常数。证证 因为在区域D处处为零,则 f(z)在D内为故一常数。37第37页例例4 假如 f(z)=u+iv为一解析函数，且 f(z)0，则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必相互正交，其中c1,c2为证证 因为假如在曲线交点处 uy与 vy都不为零，由隐函数求导法则知曲线族中任一条曲线斜率分别为利用柯西-黎曼方程得和故 uy与 vy不全为零。常数。38第38页例例4 假
13、如 f(z)=u+iv为一解析函数，且 f(z)0，则曲线族 u(x,y)=c1和 v(x,y)=c2必相互正交，其中c1,c2为所以，二曲线族相互正交。假如uy与vy其中有一个为零，则另一个必不为零,此时易知交点切线一条是垂直,一条是水平,依然正交。常数。证证 利用柯西-黎曼方程得39第39页3 初等函数初等函数.指数函数.对数函数.乘幂与幂函数.三角函数与双曲函数.反三角函数与反双曲函数40第40页1.指数函数指数函数内也能定义一个函数 f(z)含有ex三个性质三个性质:i)f(z)在复平面内解析;前面例题中已经知道,函数是一个在复平面处处解析函数,且有时,f(z)=ex。f(z)称为指数
14、函数指数函数。记作实函数中指数函数是很特殊,希望能够在复平面ii)f(z)=f(z);iii)当Im(z)=0时,f(z)=ex,其中x=Re(z)。,当y=041第41页等价于关系式：为整数)由上式可知实际上,设z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定义有跟ex一样,exp z也服从加法定理：加法定理：42第42页鉴于exp z满足条件iii)，且加法定理也成立，为了方便，往往用ez代替exp z。但必须注意，这里ez 没有幂意义，仅仅作为代替exp z符号使用，所以就有由加法定理,能够推出exp z周期性。,即尤其,当x=0时,有其中k为任何整数。这个性质是实变指数函数没有。它周期是4
15、3第43页2.对数函数对数函数所以和实变函数一样，对数函数定义为指数函数反函数。将满足方程函数w=f(z)称为对数函数对数函数。令,则因为Arg z为多值函数，所以对数函数 w=f(z)为多所以值函数，而且每两个值相差整数倍,记作44第44页假如要求上式中Arg z取主值arg z，则Ln z为一单值函数，记作ln z,称为Ln z主值主值,所以有表示。对于每一个固定k，上式为一单值函数,称为Ln z一个分支分支。而其余各值可由尤其,当z=x 0时,Ln z主值ln z=ln x,就是实变数对数函数。45第45页例例1 求Ln 2,Ln(-1)以及它们对应主值。解解 因为,所以它主值就是ln2
16、。而(k为整数),所以它主值是。不再成立。而且正实数对数也是无穷多值。在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内利用幅角性质不难证实，复变数对函数函数保持了实变数对数函数基本性质：46第46页例例 求Ln(-i),Ln(-3+4i)以及它们对应主值。解解 因为所以它主值就是而(k为整数),所以它主值是,47第47页但应注意，与第一章中关于乘积和商辐角等式体是相同，还应注意是，等式：不再成立，其中n为大于1正整数。一样，这些等式也应了解为两端可能取函数值全对数函数解析性对数函数解析性 就主值ln z而言,其中ln|z|除原点外在其它点都是连续，而arg z在原点与负实轴上都不连续。48第48
17、页所以除去原点与负实轴，在复平面内其它点，lnz处处因为若设 z=x+iy,则当 z 0)时,因为ab含有q个值,即当k=0,1,.,(q-1)时对应各个值。除此而外,普通而论ab含有没有穷多个值。52第52页例例2 求和 值。解解由此可见,是正实数，它主值是53第53页例例 求和值。解解54第54页例例 求和值。解解55第55页时是与 an 次幂及an 次根定义是完全一致。应该指出，定义，当b为正整数n及分数i)当b 为正整数n 时，依据定义(指数n项)(因子n个)(因子n个)ii)当b为分数时，有因为56第56页ii)当b为分数时，有其中所以，假如 a=z为一复变数，就得到普通幂函数，当b
18、=n与 时，就分别得到通常幂函数及zn 在复平面内是单值解析函数,且(zn)=nzn-1.57第57页对数函数Ln z各个分支在除去原点和负实轴复平面内是解析,因而各个分支在除去原点和负实轴复平面内也是解析，且有幂函数是一个多值函数，含有n个分支，又值函数，当b为无理数或复数时，是无穷多值。一样道理，它各个分支在除去原点和负实轴复平面幂函数(除去b=n与 两种情况外)也是一个多内也是解析，而且有58第58页4.三角函数和双曲函数三角函数和双曲函数 现将其推广到自变数取复值情形,定义当z为实数时,显然这与上式完全一致。由欧拉公式欧拉公式有将这两式相加与相减,分别得到59第59页为周期周期函数,所
19、以cos z和sin z以因为ez是以也轻易推出cos z是偶函数,sin z是奇函数：又由指数函数导数公式能够求得从公式还易知普遍正确,即对于复数,欧拉公式依然成立。为周期,即60第60页由定义和指数函数加法定理，可知三角函数许多依然成立由此得但当z为纯虚数iy时,有61第61页但当z为纯虚数iy时,有所以这两个公式对于计算cos z与sin z值有用。62第62页当y时，|siniy|和|cosiy|都趋于无穷大，所以，|sinz|1和|cosz|1在复数范围内不再成立。其它复变数三角函数定义以下：分别称为双曲余弦双曲余弦,正弦和正切函数正弦和正切函数。与三角函数亲密相关是双曲函数双曲函数
20、,定义63第63页sh z为奇函数，它们都是复平面内解析函数，导数不难证实ch z和sh z都是以为周期函数，chz为偶函数,及分别为：64第64页例例 解方程：解解1 即或即所以65第65页例例 解方程：解解2 即则所以即66第66页5.反三角函数与反双曲函数反三角函数与反双曲函数则称w为z反余弦函数,记作反三角函数定义为三角函数反函数,设由得二次方程数数。两端取对数得它根为其中应了解为双值函双值函67第67页显然Arccos z是一个多值函数，它多值性正是cos w偶性和周期性反应。用一样方法能够定义反正弦和反正切函数,而且重复上述步骤,能够得到它们表示式：68第68页反双曲函数定义为双曲函数反函数。用与推导它们都是多值函数。反三角函数表示式完全类似步骤,能够得到各反双曲函数表示式：反双曲正弦反双曲正弦反双曲余弦反双曲余弦反双曲正切反双曲正切69第69页
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