复变函数哈尔滨工程大学省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

理学院理学院理学院理学院工科数学基地工科数学基地工科数学基地工科数学基地理学院理学院理学院理学院工科数学基地工科数学基地工科数学基地工科数学基地复变函数与积分变换复变函数与积分变换zPN第1页 复变函数与积分变换复变函数与积分变换主讲教师：赵景霞主讲教师：赵景霞第2页课程基本介绍课程基本介绍课程名称：课程名称：复变函数与积分变换复变函数与积分变换开课课时：开课课时：48 课时课时考评方式：考评方式：30分平时成绩（考勤分平时成绩（考勤+作业）作业）70分卷面成绩（期末考试）分卷面成绩（期末考试）答疑时间及地点：理学楼答疑时间及地点：理学楼425周四、周五到周四、周五到11号楼书库购置作业本，号楼书库购置作业本，价钱价钱3元，必买元，必买 第3页研究对象研究对象 复变函数（自变量为复数函数）复变函数（自变量为复数函数）主要任务主要任务研究复变数之间相互依赖关系，研究复变数之间相互依赖关系，详细地就是复数域上微积分。详细地就是复数域上微积分。主要内容主要内容复变函数积分、级数、留数、复变函数积分、级数、留数、保形映射，积分变换等。保形映射，积分变换等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、课程基本介绍课程基本介绍课程基本介绍课程基本介绍第4页学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内推广和发展，它们实变函数在复数域内推广和发展，它们之间有许多相同之处。但又有不一样之之间有许多相同之处。但又有不一样之处，在学习中要善于比较、区分、尤其处，在学习中要善于比较、区分、尤其要注意复数域上特有那些性质与结果。要注意复数域上特有那些性质与结果。第5页复变函数发展过程复变函数发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引复数是十六世纪人们在解代数方程时引进。为使负数开方有意义，需要再一次扩大进。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，因为对复数概念及性质了解得不清纪以前，因为对复数概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接收在历史上长时期人们把复数看作不能接收“虚数虚数”。第6页 直到十八世纪，直到十八世纪，J.DAlembert(1717-J.DAlembert(1717-1783)1783)与与L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步说明了等人逐步说明了复数几何意义和物理意义，澄清了复数概念，复数几何意义和物理意义，澄清了复数概念，而且应用复数和复变函数研究了流体力学等而且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面一些问题。复数才被人们广泛认可接收，方面一些问题。复数才被人们广泛认可接收，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数发展过程复变函数发展过程第7页复变函数论全方面发展是在十九世纪，复变函数论全方面发展是在十九世纪，就像微积分直接扩展统治了十八世纪数学那就像微积分直接扩展统治了十八世纪数学那样，复变函数这个新分支统治了十九世纪数样，复变函数这个新分支统治了十九世纪数学。当初数学家公认复变函数论是最丰饶数学。当初数学家公认复变函数论是最丰饶数学分支，而且称为这个世纪数学享受，也有学分支，而且称为这个世纪数学享受，也有些人称赞它是抽象科学中最友好理论之一。些人称赞它是抽象科学中最友好理论之一。复变函数发展过程复变函数发展过程第9页二十世纪以来，复变函数已被广泛地二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支联络也日益亲密。方面，与数学中其它分支联络也日益亲密。复变函数发展过程复变函数发展过程第10页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第一讲第一讲 复数及复平面复数及复平面学习关键学习关键点点掌握复数意义及代数运算掌握复数意义及代数运算掌握复平面与复数表示方法掌握复平面与复数表示方法掌握复数乘幂与方根掌握复数乘幂与方根第11页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1 复数及其代数运算复数及其代数运算1.复数概念复数概念 复数复数z 实部实部 Re(z)=x;虚部虚部 Im(z)=y.(real part)(imaginary part)第12页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换A 普通普通,任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。复数相等复数相等2.四则运算四则运算 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2和、差、积和商为：和、差、积和商为：z1z2=(x1x2)+i(y1y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第13页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换复数运算满足加法交换律、结合律；乘复数运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。法交换律、结合律和分配律。第14页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 共轭复数性质共轭复数性质定义定义 若若z=x+iy,称称 z=x-iy 为为z 共轭复数共轭复数.(conjugate)3.共轭复数共轭复数第15页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第16页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2 复数几何表示复数几何表示1.点表示点表示横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面普通称为复平面普通称为z-平面，平面，w-平面等。平面等。第19页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.向量表示法向量表示法oxy(z)P(x,y)xy A z=0z=0时，幅角无意义。时，幅角无意义。第20页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换幅角无穷多：幅角无穷多：Arg z=0+2k，kZ，第21页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换F 当当z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。F 当当z落于第二象限时，加落于第二象限时，加p p。F 当当z落于第三象限时，减落于第三象限时，减p p.第22页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换依据向量运算及几何知识，我们能够得到两依据向量运算及几何知识，我们能够得到两个主要不等式个主要不等式 oxy(z)z1z2 z1+z2oxy(z)z1z2z2-z1第23页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3.三角表示法三角表示法能够用复数模与辐角来表示非零复数能够用复数模与辐角来表示非零复数z4.指数表示法指数表示法yox第24页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例1例例2例例3第25页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3 复数乘幂与方根复数乘幂与方根1.复数乘积与商复数乘积与商利用复数三角表示，我们能够更简单表示利用复数三角表示，我们能够更简单表示复数乘法与除法复数乘法与除法集合相等集合相等定理：定理：第31页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换对除法，有对除法，有 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。oxy(z)z1z2z2乘法几何意义乘法几何意义第32页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例1解：解：第33页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第34页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2.复数乘幂复数乘幂则有：则有：德摩弗德摩弗(De Moivre)公式公式第35页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3.复数方根复数方根第36页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换而而k取其它整数时，这些根又会重复出现。取其它整数时，这些根又会重复出现。第37页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换例例2例例3第38页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换几何上几何上，n个值是个值是以原点为中心，以原点为中心，为半为半径圆周上径圆周上n个等分点，个等分点，即它们是内接于该圆周即它们是内接于该圆周正正n边形边形n个顶点。个顶点。xyo第42页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换ONzP4.复球面与无穷远点复球面与无穷远点球极平面射影法球极平面射影法取一个在原点取一个在原点O与与z平面相切球面，过平面相切球面，过O点作点作z平面垂线与球面交于平面垂线与球面交于N点（称为北极或者球点（称为北极或者球极）。极）。对于平面上任一点对于平面上任一点z，用一条空间直线把它用一条空间直线把它和球极连接起来，交和球极连接起来，交球面于球面于P。第43页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换从几何上能够看出：从几何上能够看出：z平面上每个以原点为圆心圆周对应于球面上某平面上每个以原点为圆心圆周对应于球面上某一个纬圈一个纬圈;N这个圆周以外点则对应于对应纬圈以北点，这个圆周以外点则对应于对应纬圈以北点，而且若点而且若点z模越大，球面上对应点则越靠近北模越大，球面上对应点则越靠近北极极N。第44页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换要求要求 无穷远点实部、虚部及幅角都没有意义无穷远点实部、虚部及幅角都没有意义第45页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换请预习第一章后面部分。请预习第一章后面部分。谢谢同学们，再见。谢谢同学们，再见。第46页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换欧拉公式欧拉公式复数项级数复数项级数第47页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换揭示了三角函数和复变数指数函数之间关系揭示了三角函数和复变数指数函数之间关系第48页 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第49页