复变函数期末复习提纲-习题详解.pptx

1一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：1.复数运算和各种表示法复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念复变函数以及映射的概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念映射的概念第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数2 1.1.复数的概念复数的概念 2.复数的代数运算复数的代数运算1)两复数的和两复数的和2)两复数的积两复数的积 3)两两复数的商复数的商34)共轭复数共轭复数 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数.共轭复数的性质共轭复数的性质课后习题课后习题4 3.3.复数的其它表示法复数的其它表示法（1 1）几何表示法）几何表示法复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)（2 2）向量表示法）向量表示法 模的性质模的性质三角不等式三角不等式5复数的辐角复数的辐角6辐角的主值辐角的主值7（3）三角表示法）三角表示法利用欧拉公式利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成称为复数称为复数 z 的指数表示式的指数表示式.（4）指数表示法）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成课后习题课后习题8 4.复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根 1)乘积与商乘积与商 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.则有则有9 几何意义几何意义复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘,辐角相加辐角相加.从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为10 两个复数的商的模等于它们的模的商两个复数的商的模等于它们的模的商;两个两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有则有11 2)幂与根幂与根(a)n次幂次幂:(b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式课后习题课后习题12 5.曲线与区域曲线与区域(1)(1)邻域邻域(2)(2)内点内点(4)(4)区域区域(3)(3)开集开集 如果平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件,则称它则称它为一个区域为一个区域.(a)D是一个是一个开集开集；(b)D是是连通的连通的,即即D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全属于属于D的一条折线连结起来的一条折线连结起来.13(5)(5)边界点、边界边界点、边界(7)(7)有界区域和无界区域有界区域和无界区域(6)闭区域闭区域(8)(8)简单曲线简单曲线(9)(9)光滑曲线光滑曲线 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成三个互不相交的点集三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质(10)(10)单连通域与多连通域单连通域与多连通域从从几何上看，单连通域就是无洞、无割几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的痕的域域.14例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的.解解无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).15是角形域是角形域,无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).无界的多连通域无界的多连通域.16表示到表示到1,1的距离之和的距离之和为定值为定值4的点的轨迹的点的轨迹,是椭圆是椭圆,有界的单连通域有界的单连通域.17 7.复变函数的概念复变函数的概念(1)(1)复变函数的定义复变函数的定义(2)(2)映射的定义映射的定义函数极限的定义函数极限的定义 8.8.复变函数的极限复变函数的极限注意注意:18（1 1）连续的定义）连续的定义 9.9.复变函数的连续性复变函数的连续性 连续的充要条件连续的充要条件19一、重点与难点一、重点与难点第二第二章章 解析函数解析函数重点：重点：难点：难点：1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.函数解析性的判别函数解析性的判别1.解析函数的概念；解析函数的概念；2.初等函数中的多值函数及主值的概念初等函数中的多值函数及主值的概念201 1）导数的定义）导数的定义1.复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分212)2)可导与连续可导与连续 函数函数 f(z)在在 z0 处可导则在处可导则在 z0 处一定连续处一定连续,但但函数函数 f(z)在在 z0 处连续不一定在处连续不一定在 z0 处可导处可导.3)3)求导公式与法则求导公式与法则22231)1)定义定义 2.解析函数解析函数24(c)所有所有多项式在多项式在复平面内处处解析复平面内处处解析.2)性质性质253)可导与解析的判定可导与解析的判定26274)4)解析函数的判定方法解析函数的判定方法课后习题课后习题283.3.初等解析函数初等解析函数1)1)指数函数指数函数指数函数的定义等价于关系式指数函数的定义等价于关系式:课后习题课后习题291.若若 ，则，则().练习题：练习题：30 2)2)三角函数三角函数314 4）对数函数）对数函数因此因此课后习题课后习题325)5)幂函数幂函数33一、重点与难点一、重点与难点第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分重点：重点：难点：难点：1.复积分的基本定理；复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算341.1.有向曲线有向曲线2.2.积分的定义积分的定义3.3.积分存在的条件及计算积分存在的条件及计算（1 1）化成线积分）化成线积分（2 2）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分35练习题练习题364.积分的性质积分的性质375.柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理(柯西积分定理柯西积分定理)386.6.原函数的定义原函数的定义(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)397.7.闭路变形原理闭路变形原理 复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末40418.柯西积分公式柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.42 9.高阶导数公式高阶导数公式4310.调和函数和共轭调和函数调和函数和共轭调和函数 任何在任何在 D 内解析的函数内解析的函数,它的实部和虚部它的实部和虚部都是都是 D 内的调和函数内的调和函数.44定理定理 区域区域D D内的解析函数的虚部为实部的共轭内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数调和函数.共轭调和函数共轭调和函数课后习题课后习题45一、重点与难点一、重点与难点第四章第四章 级级 数数重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数461.1.复数复数列的极限列的极限记作记作47表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.2.复数项级数复数项级数1)定义定义482)复级数的收敛与发散复级数的收敛与发散充要条件充要条件必要条件必要条件49非绝对收敛的收敛级数称为非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛课后习题课后习题50称为这级数的称为这级数的部分和部分和.级数最前面级数最前面项的和项的和3.复变函数项级数复变函数项级数其中各项在区域其中各项在区域 D内有定义内有定义.表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数,记作记作 514.幂级数幂级数 1)在复变函数项级数中在复变函数项级数中,形如形如的级数称为的级数称为幂级数幂级数.52-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数在在收敛收敛,那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛,如果如果在在级数发散级数发散,那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)2)收敛定理收敛定理53(3)既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数,也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.此时此时,级数在复平面内除原点外处处发散级数在复平面内除原点外处处发散.对于一个幂级数对于一个幂级数,其收敛半径的情况有三种其收敛半径的情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2)对所有的正实数除对所有的正实数除外都发散外都发散.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径54在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散,不能作出不能作出一般的结论一般的结论,要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径55方法方法1 1:比值法比值法方法方法2:根值法根值法4)4)收敛半径的求法收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径565)5)幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质57如果当如果当时时,又设在又设在内内解析且满足解析且满足那末当那末当时时,(2)(2)幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为那末那末是收敛圆是收敛圆内的解析函数内的解析函数.它的和函数它的和函数即即(1)58(2)在收敛圆在收敛圆内的导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到,即即(3)在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分,即即或或595.泰勒级数泰勒级数其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式1)定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当602)常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式6162 6.洛朗级数洛朗级数定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.1)63函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的幂项的级数是唯一的,这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.64根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法直接展开法65一、重点与难点一、重点与难点第五章第五章 留数留数重点：重点：难点：难点：1.孤立奇点类别的判定孤立奇点类别的判定留数定理在定积分计算上的应用留数定理在定积分计算上的应用2.留数的计算与留数定理留数的计算与留数定理661.孤立奇点的概念与分类孤立奇点的概念与分类1）定义定义 如果如果函数函数在在 不解析不解析,但但在在的某一去心邻域的某一去心邻域内处处解析内处处解析,则称则称为为的孤立奇点的孤立奇点.孤立奇点孤立奇点奇点奇点2）孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据在其孤立奇点在其孤立奇点的去心邻域的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:i)可去奇点可去奇点;ii)极点极点;iii)本性奇点本性奇点.67定义定义 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,那末那末孤立奇点孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.i)可去奇点可去奇点68ii)极点极点 定义定义 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成69极点的判定方法极点的判定方法在点在点 的某去心邻域内的某去心邻域内其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 的负幂项为有的负幂项为有的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.(a)由定义判别由定义判别(b)由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别(c)利用极限利用极限判断判断.70如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点那末孤立奇点称为称为的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,注意注意:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内不存在且不不存在且不为为iii)本性奇点本性奇点71i)零点的定义零点的定义 不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数如果如果能表示成能表示成其中其中在在解析且解析且m为某一正整数为某一正整数,那末那末称为称为的的 m 级零点级零点.3)函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系ii)零点与极点的关系零点与极点的关系如果如果是是的的 m 级极点级极点,那末那末就是就是的的 m 级零点级零点.反过来也成立反过来也成立.72解解 解析且解析且所以所以不是二级极点不是二级极点,而是一级极点而是一级极点.是是的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问是是的二级极点吗的二级极点吗?注意注意:不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论.73 2.留数留数记作记作定义定义 如果如果的一个孤立奇点的一个孤立奇点,则沿则沿内包含内包含的的任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C 的积分的积分的值除的值除后所得的数称为后所得的数称为以以741)留数定理留数定理 设函数设函数在区域在区域 D内除有限个孤内除有限个孤外处处解析外处处解析,C 是是 D内包围诸奇内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线点的一条正向简单闭曲线,那末那末立奇点立奇点留数定理将沿封闭曲线留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数积分转化为求被积函数在在C内各孤立奇点处的留数内各孤立奇点处的留数.75(1)如果如果为为的可去奇点的可去奇点,则则(2)如果如果为为的本性奇点的本性奇点,则需将则需将成洛朗级数求成洛朗级数求展开展开(3)如果如果为为的极点的极点,则有如下计算规则则有如下计算规则2)留数的计算方法留数的计算方法如果如果 为为 的一级极点的一级极点,那末那末规则规则1 176如果如果 为为 的的 级极点级极点,规则规则2 2那末那末规则规则3 3 如果如果设设及及在在都解析，都解析，那末那末为为的一级极点的一级极点,且有且有课后习题课后习题773.留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用1）三角函数有理式的积分）三角函数有理式的积分当当历经变程历经变程时时,z 沿单位圆周沿单位圆周的的正方向绕行一周正方向绕行一周.78课后习题课后习题792）无穷积分）无穷积分其中其中有理函数有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次的分母至少比分子高两次,并且并且分母在实轴上无孤立奇点分母在实轴上无孤立奇点.803）混合型无穷积分）混合型无穷积分其中其中 R(x)是是x的有理函数而分母的的有理函数而分母的次数至少比分子次数至少比分子的的次数高一次次数高一次,并且并且R(z)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.课后习题课后习题81 特别地特别地82一、重点与难点一、重点与难点第六章第六章 共形映射共形映射重点：重点：难点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换及其映射特点解析函数导数的几何意义解析函数导数的几何意义831.解析函数导数的几何意义解析函数导数的几何意义说明说明:转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状无关的形状无关.映射映射 w=f(z)具有转动角的不变性具有转动角的不变性.结论结论:方向不变的性质方向不变的性质,此此性质称性质称为为保角性保角性.84结论结论:方向无关方向无关.所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.85质质:(1):(1)保角性保角性;(2);(2)伸缩率不变性伸缩率不变性.定理一定理一862.共形映射共形映射 定义定义定理二定理二87称为称为分式线性映射分式线性映射.3.分式线性映射分式线性映射说明说明:2)分式分式线性映射的线性映射的逆映射逆映射,也是分式线性映射也是分式线性映射.3)两分式两分式线性映射的复合仍为分式线性映射线性映射的复合仍为分式线性映射.4)分式分式线性映射由三种简单映射复合而成线性映射由三种简单映射复合而成:88 分式线性映射的性质分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.若若规定规定:两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处两条伸向无穷远的曲线在无穷远点处的交角的交角,等于它们在映射等于它们在映射 下所映成的通过下所映成的通过原点的两条象曲线的交角原点的两条象曲线的交角.课后习题课后习题89 2.如果给定的圆周或直线上没有点映射成无如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点穷远点,那末它就映射成半径为有限的圆周那末它就映射成半径为有限的圆周;如果如果有一个点映射成无穷远点有一个点映射成无穷远点,那末它就映射成直线那末它就映射成直线.分式线性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周,即具有保圆性即具有保圆性.3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：注意：1.此时把直线看作是经过无穷远点的圆周此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.90 4）分式线性映射具有保对称性）分式线性映射具有保对称性.这一性质称为这一性质称为保对称性保对称性.