1、第七节 解析函数与调和函数关系 一、调和函数定义二、解析函数与调和函数关系三、小结与思索1第1页一、调和函数定义一、调和函数定义定义定义 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很主要应用问题中有很主要应用.2第2页二、解析函数与调和函数关系二、解析函数与调和函数关系1.二者关系二者关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析函数内解析函数,它实部和虚它实部和虚部都是部都是 D 内调和函数内调和函数.证证3第3页依据解析函数高阶导数定理依据解析函数高阶导数定理,证毕证毕4第4页2.共轭调和函数定义共轭调和函数定义 区域区域D内解析函数虚部为实部共轭调和
2、函数内解析函数虚部为实部共轭调和函数.5第5页3.偏积分法偏积分法 假如已知一个调和函数假如已知一个调和函数 u,那末就能够利用那末就能够利用柯西黎曼方程求得它共轭调和函数柯西黎曼方程求得它共轭调和函数 v,从而组从而组成一个解析函数成一个解析函数u+vi.这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 6第6页7第7页得一个解析函数得一个解析函数这个函数能够化为这个函数能够化为8第8页4.不定积分法不定积分法不定积分法实施过程不定积分法实施过程:9第9页将上两式积分将上两式积分,得得10第10页用不定积分法求解例用不定积分法求解例1中解析函数中解析函数 例例2 2解解11第11页用曲线
3、积分法求解例用曲线积分法求解例1中解析函数中解析函数 例例4 4解解12第12页例例3 解解两边同时求导数两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得所以上面两式分别相加减可得13第13页14第14页三、小结与思索三、小结与思索 本节我们学习了调和函数概念、解析函数本节我们学习了调和函数概念、解析函数与调和函数关系以及共轭调和函数概念与调和函数关系以及共轭调和函数概念.应应注意注意是是:1.任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所组成函数所组成函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数.2.满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux=vy,vx=uy,v称为称为u共轭调和函数共轭调和函数,u与与v注意是地位不能颠倒注意是地位不能颠倒.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.15第15页
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