1、1第1页第五章第五章 平面问题复变函数法平面问题复变函数法 直角坐标及极坐标求解平面问题，所包直角坐标及极坐标求解平面问题，所包括物体边界是直线或圆弧形。对于其它一些括物体边界是直线或圆弧形。对于其它一些边界，比如椭圆形、双曲形、非同心圆等就边界，比如椭圆形、双曲形、非同心圆等就要用不一样曲线坐标。应用复变函数可使该要用不一样曲线坐标。应用复变函数可使该类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数类问题得以简化。本章只限于介绍复变函数方法在弹性力学中简单应用。方法在弹性力学中简单应用。2第2页 5-4 5-4 多连通域内应力与位移单值条件多连通域内应力与位移单值条件5-3 5-3 边界条件复变函数表
2、示边界条件复变函数表示5-2 5-2 应力和位移复变函数表示应力和位移复变函数表示5-1 5-1 应力函数复变函数表示应力函数复变函数表示5-6 5-6 含孔口无限大板问题含孔口无限大板问题5-5 5-5 无限大多连体情形无限大多连体情形第五章第五章 平面问题复变函数法平面问题复变函数法3第3页 5-1 5-1 应力函数复变函数表示应力函数复变函数表示 在第二章中已经证实，在平面问题里，假如体力是常量，就一定存在一个应力函数，它是位置坐标重调和函数，即现在，引入复变数z=xiy和zxiy以代替实变数x 和y。注意4第4页 能够得到变换式进而5第5页令于是可将方程式变换成为由6第6页 可知，P是
3、调和函数可由解析函数实部得到。设f(z)为解析函数，可令由令得则7第7页 将上式对 积分，得到再对z积分，得到令即则8第8页 注意上式左边重调和函数是实函数，可见该式右边四项一定是两两共轭，前两项已经是共轭，后两项也应是共轭：令即得有名古萨公式也能够写成9第9页 于是可见，在常量体力平面问题中，应力函数总能够用复变数z两个解析函(z)和(z)来表示，称为K-M 函数。而求解各个详细平面问题，可归结为适当地选择这两个解析函数，并依据边界条件决定其中任意常数。10第10页 5-2 5-2 应力和位移复变函数表示应力和位移复变函数表示依据应力分量和应力函数关系一一 应力分量复变函数表示应力分量复变函
4、数表示11第11页 可得到应力分量复变函数表示由可得而由12第12页 可得或13第13页 只要已知(z)及(z)，就能够把上述公式右边虚部和实部分开，由虚部得出xy，由实部得出y-x。和就是应力分量复变函数表示。当然也能够建立公式，把x、y、xy三者分开用(z)和(z)来表示，但那些公式将比较冗长，用起来很不方便。14第14页 二二 位移分量复变函数表示位移分量复变函数表示 假定为平面应力问题。由几何方程及物理方程可得15第15页 因为并注意到同理可得16第16页将上两式分别对x及y积分，得其中f1及f2为任意函数。将上式代入式17第17页 因为18第18页 从而得到于是得到刚体位移 f1(y
5、)u0y，f2(x)v 0 x故有19第19页 若不计刚体位移，则有由式得到20第20页 这就是位移分量复变函数表示。若已知(z)及(z)，就能够将该式右边实部和虚部分开，从而得出u和v。将结果回代,并两边除以 得 上述公式是针对平面应力情况导出。对于平面应变情况，须将式中E改换为 ，改换为 。21第21页5-3 5-3 边界条件复变函数表示边界条件复变函数表示 为了求得边界上各结点处值，须要应用应力边界条件，即：而代入上式，即得：22第22页 由图可见，l=cos(N,x)=dy/ds,m=cos(N,y)=-dx/ds,于是，前式可改写为：由此得：23第23页 设A是边界上固定点,B为任意
6、一点，则从A到B边界上协力，可用上式从A点到B点对s积分得到：将式24第24页 代入，整理得：把应力函数加上一个复常数，并不影响应力。所以，可把应力函数A处值设为零，于是对于边界上有或这就是应力边界条件。25第25页 对于位移边界条件将其代入下式即得平面应力情况下位移边界条件复变函数表示 对于平面应变，须将式中E改换为 ，改换为 。26第26页 5-4 5-4 多连通域内应力与位移单值条件多连通域内应力与位移单值条件 应力确定后，应力函数仍可差一个任意线性函数，这时K-M函数并未完全确定。对于单连通区域，能够经过选取适当坐标系等方法，使得K-M函数完全确定；但对于多连通区域仍不能完全确定。本节
7、讨论K-M函数在多连通区域内满足单值条件。设有多连通区域，有一内边界C，设在边界C上外力矢量已给定。通常多值函数是对数函数，我们设27第27页 DC这里zk为内部边界内任意一点，f和f为单值解析函数（全纯函数），而Ak，Bk为常数：28第28页 前面函数导数是单值，但他们本身是多值，当z绕周围一周时，函数值ln(zk)产生一个增量2i,于是(z)和(z)增量分别是2i Ak和2iBk,这时应力主矢量按照公式左边将得到应力主矢量(沿整个边界），右边得到一增量：29第29页 这时位移按照公式也将得到增量，依据单值性这个增量应为零：结合可得到30第30页 于是当有m个内边界时，取31第31页 5-5
8、 5-5 无限大多连体情形无限大多连体情形 当多连体外边界趋于无限远时，该多连体成为无限大多连体，除上述条件外，还需考虑无限远极限情况。以坐标原点为圆心，作充分大圆周sR，将全部内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内任意一点，可得到 在在s sR R之外解析函数之外解析函数32第32页 于是可写为其中Px,Py为m个边界上沿x,y方向面力之和。33第33页 于是 因为在无穷远处应力分量应该是有限，级数中n2系数应为零。将多连通区域内全纯函数 和 展开为罗郎级数：34第34页 一样从中，因为在无穷远处应力分量应该是有限，故有其中略去了和应力无关常数项。35第35页 于是其中与应力计算无关，可
9、取为零，而36第36页 这时当z时，可得一样当z时，由可得从中可求得对应系数，并能够看到在无限远处，应力分布是均匀。37第37页 系数则38第38页5-6 5-6 含孔口无限大板问题含孔口无限大板问题 以坐标原点为圆心，作充分大圆周sR，将全部内边界包围在其内，对于sR之外，弹性体之内任意一点，可得到39第39页40第40页 改写为其中41第41页 对于孔边上点42第42页 将上列各式代入就得到极坐标下圆周围界上级数形式应力边界条件。设周围上外力为已知，并将其展开为傅氏级数43第43页 比较两边eik和e-ik系数，可得44第44页 由无限远处应力条件，可得45第45页由位移单值条件有及可求得
10、再由46第46页 可求得至此，全部系数均已求出。例例 设孔周围为均匀压力p，无限远处应力为零。47第47页 则有于是可求得48第48页 最终得到依据上述方法，圆孔口无限大板普通问题都能够得到处理。49第49页练习5.1 试考查以下复变函数所处理问题(1)(2)解:基本公式为(1)将分别代入(a)、(b)式50第50页得联立求解以上两式,得 所给函数能够处理矩形薄板在x方向受均布拉力q问题.如图5.1(a)所表示(2)将代入(a),(b)两式,得xyqq图5.1(a)51第51页联立求解以上两式,得 所给函数能够处理矩形薄板受纯剪切问题.如图5.1(b)示.qqxy图5.1(b)练习5.2 如图
11、所表示.试证矩形截面梁纯弯曲问题可用以下复变函数求解.其中I为梁截面惯矩,M为作用弯矩.Myxzy解:基本公式为52第52页将代入(1)、(2)式由(1)式得即53第53页或由(2)式得即将(4)、(5)式联立求得54第54页验证边界条件(3)在侧面:所以由得55第55页由得故即(3)式恒成立.由解答 所表示是一个纯弯时,梁横截面上应力状态.56第56页练习5.3 试导出用复变函数 及 表示极坐标中应力分量公式解:因为在平面问题中所以又因为在平面问题中,有57第57页则58第58页因为所以练习5.4 试用公式由 导出半平面体在边界上受集中力作用时应力分量公式.59第59页ryroP解：由得因为60第60页而所以61第61页即由（1）、（2）、（3）式得62第62页63第63页
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