华科线性代数复习重点.doc

第一部分 行列式
重点:
1． 排列得逆序数(P、5例4;P、26第2、4题)
2． 行列式按行(列)展开法则(P、21例13;P、28第9题)
3． 行列式得性质及行列式得计算(P、27第8题)
【主要内容】
1、行列式得定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则
2、排列与逆序
3、方阵得行列式
4、几个重要公式:(1); (2); (3);
(4); (5); (6);
(7) ; (8)
(其中为阶方阵,为常数)
5、行列式得常见计算方法:(1)利用性质化行列式为上(下)三角形;
(2)利用行列式得展开定理降阶;
(3)根据行列式得特点借助特殊行列式得值
【要求】
1、了解行列式得定义,熟记几个特殊行列式得值。
2、掌握排列与逆序得定义,会求一个排列得逆序数。
3、能熟练应用行列式得性质、展开法则准确计算35阶行列式得值。
4、会计算简单得阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
第二部分 矩阵
1． 矩阵得运算性质
2． 矩阵求逆及矩阵方程得求解(P、56第17、18题;P、78第5题)
3． 伴随阵得性质(P、41例9;P、56第23、24题;P、109第25题)、正交阵得性质(P、116)
4． 矩阵得秩得性质(P、69至71;P、100例13、14、15)
【主要内容】
1、矩阵得概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵得行列式
3、可逆矩阵得定义、性质、求法(公式法、初等变换法、分块对角阵求逆)。
4、阶矩阵可逆为非奇异(非退化)得矩阵。为满秩矩阵。只有零解有唯一解得行(列)向量组线性无关得特征值全不为零。可以经过初等变换化为单位矩阵。可以表示成一系列初等矩阵得乘积。
5、矩阵得初等变换与初等矩阵得定义、性质及其二者之间得关系。
6、矩阵秩得概念及其求法((1)定义法;(2)初等变换法)。
7、矩阵得分块,分块矩阵得运算:加法,数乘,乘法以及分块矩阵求逆。
【要求】
1、 了解矩阵得定义,熟悉几类特殊矩阵(单位矩阵,对角矩阵,上、下三角形矩阵,对称矩阵,可逆矩阵,伴随矩阵,正交矩阵)得特殊性质。
2、熟悉矩阵得加法,数乘,乘法,转置等运算法则,会求方阵得行列式。
3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵,并知道初等变换与初等矩阵得关系。
4、掌握矩阵可逆得充要条件,会求矩阵得逆矩阵。
5、掌握矩阵秩得概念,会求矩阵得秩。
6、掌握分块矩阵得概念,运算以及分块矩阵求逆矩阵。
第三部分 线性方程组
1． 线性方程组得解得判定,带参数得方程组得解得判定
2． 齐次线性方程组得解得结构(基础解系与通解得关系)
3． 非齐次线性方程组得解得结构(通解)
【主要内容】
1、向量、向量组得线性表示:设有单个向量,向量组:,向量组:,则
(1)向量可被向量组线性表示
(2)向量组可被向量组线性表示

(3) 向量组与向量组等价得充分必要条件就是:

(4)基本题型:判断向量或向量组就是否可由向量组线性表示？如果能,写出表达式。
解法:以向量组:以及向量或向量组:为列向量构成矩阵,并对其进行初等行变换化为简化阶梯型矩阵,最终断定。
2、向量组得线性相关性
判别向量组得线性相关、线性无关得常用方法:
方法一:(1)向量方程只有零解向量组 线性无关;(2)向量方程有非零解向量组 线性相关。
方法二:求向量组得秩
(1)秩小于个数s向量组线性相关
(2)秩等于个数s 向量组线性无关。
(3)特别得,如果向量组得向量个数与向量得维数相同,则向量组线性无关以向量组为列向量得矩阵得行列式非零;向量组线性相关以向量组为列向量得矩阵得行列式为零。
3、向量组得极大无关组得概念(与向量空间得基、齐次线性方程组得基础解系得关系)及其求法。基本题型:判断向量组得相关性以及求出向量组得极大无关组。
4、等价向量组得定义、性质、判定。
5、向量组得秩与矩阵得秩之关系。
【要求】
1、掌握向量组、线性组合与线性表示得概念,知道两个向量组等价得含义。
2、掌握向量组线性相关、线性无关得定义,并会判断一个具体向量组得线性相关性。
3、知道向量组得秩与矩阵得秩得关系,会求一个具体向量组得秩及其极大无关组。
4、了解向量空间及其基与维数得概念
第四部分 向量组(矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换)
1.向量组得线性表示
2.向量组得线性相关性
3.向量组得秩
【主要内容】
1、齐次线性方程组只有零解系数矩阵得秩未知量个数n;
2、齐次线性方程组有非零解系数矩阵得秩未知量个数n、
3、非齐次线性方程组无解增广矩阵秩系数矩阵得秩;
4、非齐次线性方程组有解增广矩阵秩系数矩阵得秩
特别地,1)增广矩阵得秩系数矩阵得秩未知量个数n
非齐次线性方程组有唯一解;
2)增广矩阵得秩系数矩阵得秩 未知量个数n非齐次线性方程组有无穷多解。
【要求】
1、掌握齐次线性方程组解得性质、基础解系得求法,
2、掌握非齐次线性方程组解得结构,熟悉非齐次线性方程组有解得等价条件。
3、知道齐次与非齐次线性方程组得解之间得关系。
4、会求解非齐次线性方程组。
第五部分 方阵得特征值及特征向量
1.施密特正交化过程
2.特征值、特征向量得性质及计算(P、120例8、9、10;P、135第7至13题)
3.矩阵得相似对角化,尤其就是对称阵得相似对角化(P、135第15、16、19、23题)
【主要内容】
1、向量得内积、长度、夹角等概念及其计算方法。
2、向量得正交关系及正交向量组得含义。
3、施密特正交化方法。
4、方阵得特征值与特征向量得概念及其计算方法。
(1)特征值求法:解特征方程;
(2)特征向量得求法:求方程组得基础解系。
5、相似矩阵得定义、性质(相似、、有相同得特征值)。
6、判断矩阵就是否可以对角化以及对角化得步骤,找到可逆矩阵P使得为对角矩阵。
7、用正交变换法化二次型为标准形得步骤:(将实对称矩阵对角化)
(1)写出二次型得矩阵、
(2)求出得所有特征值
(3)解方程组求对应于特征值得特征向量
(4)若特征向量组不正交,则先将其正交化,再单位化,得标准正交得向量组,记,对二次型做正交变换,即得二次型得标准形
8、正定二次型得定义及其判定方法
常用判定二次型正定得方法:(1)定义法(2)特征值全大于零(3)顺序主子式全大于零
【要求】
1、掌握向量得内积、长度、夹角,正交向量组得性质,会利用施密特正交化方法化线性无关向量组为正交向量组。
2、掌握方阵特征值、特征向量得概念、求法,
3、了解相似矩阵得概念、掌握化对称矩阵为对角矩阵得方法。
4、掌握二次型得概念、会用正交变换化二次型为标准形。
5、知道正定二次型得概念及其判定方法。
线性代数要注意得知识点
1、行列式
1. 行列式共有个元素,展开后有项,可分解为行列式;
2. 代数余子式得性质:
①、与得大小无关;
②、某行(列)得元素乘以其它行(列)元素得代数余子式为0;
③、某行(列)得元素乘以该行(列)元素得代数余子式为;
3. 代数余子式与余子式得关系:
4. 行列式得重要公式:
①、主对角行列式:主对角元素得乘积;
②、副对角行列式:副对角元素得乘积;
③、上、下三角行列式:主对角元素得乘积;
④、与:副对角元素得乘积;
⑤、拉普拉斯展开式:、
⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标得连乘积;
⑦、特征值
5. 证明得方法:
①、;
②、反证法;
③、构造齐次方程组,证明其有非零解;
④、利用秩,证明;
⑤、证明0就是其特征值;
2、矩阵
就是阶可逆矩阵:(就是非奇异矩阵);(就是满秩矩阵)
得行(列)向量组线性无关;齐次方程组有非零解;
,总有唯一解;与等价;可表示成若干个初等矩阵得乘积;
得特征值全不为0;就是正定矩阵;得行(列)向量组就是得一组基;
就是中某两组基得过渡矩阵;
6. 对于阶矩阵: 无条件恒成立;
7.

8. 矩阵就是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式就是数值,可求代数与;
9. 关于分块矩阵得重要结论,其中均、可逆:
若,则:
Ⅰ、;
Ⅱ、;
②、
③、
④、
⑤、
3、矩阵得初等变换与线性方程组
1. 一个矩阵,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯一确定得:;
等价类:所有与等价得矩阵组成得一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单得矩阵;
对于同型矩阵、,若;
2. 行最简形矩阵:
①、只能通过初等行变换获得;
②、每行首个非0元素必须为1;
③、每行首个非0元素所在列得其她元素必须为0;
3. 初等行变换得应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)
①、 若,则可逆,且;
②、对矩阵做初等行变化,当变为时,就变成,即:;
③、求解线形方程组:对于个未知数个方程,如果,则可逆,且;
4. 初等矩阵与对角矩阵得概念:
①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;
②、,左乘矩阵,乘得各行元素;右乘,乘得各列元素;
③、对调两行或两列,符号,且,例如:;
④、倍乘某行或某列,符号,且,例如:;
⑤、倍加某行或某列,符号,且,如:;
5. 矩阵秩得基本性质:
①、;
②、;
③、若,则;
④、若、可逆,则;(可逆矩阵不影响矩阵得秩)
⑤、;(※)
⑥、;(※)
⑦、;(※)
⑧、如果就是矩阵,就是矩阵,且,则:(※)
Ⅰ、得列向量全部就是齐次方程组解(转置运算后得结论);
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵,则;
6. 三种特殊矩阵得方幂:
①、秩为1得矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)得形式,再采用结合律;
②、型如得矩阵:利用二项展开式
③、利用特征值与相似对角化:
7. 伴随矩阵:
①、伴随矩阵得秩:;
②、伴随矩阵得特征值:;
③、、
8. 关于矩阵秩得描述:
①、,中有阶子式不为0,阶子式全部为0;(两句话)
②、,中有阶子式全部为0;
③、,中有阶子式不为0;
9. 线性方程组:,其中为矩阵,则:
①、与方程得个数相同,即方程组有个方程;
②、与方程组得未知数个数相同,方程组为元方程;
10. 线性方程组得求解:
①、对增广矩阵进行初等行变换(只能使用初等行变换);
②、齐次解为对应齐次方程组得解;
③、特解:自由变量赋初值后求得;
11. 由个未知数个方程得方程组构成元线性方程:
①、;
②、(向量方程,为矩阵,个方程,个未知数)
③、(全部按列分块,其中);
④、(线性表出)
⑤、有解得充要条件:(为未知数得个数或维数)
4、向量组得线性相关性
1. 个维列向量所组成得向量组:构成矩阵;
个维行向量所组成得向量组:构成矩阵;
含有有限个向量得有序向量组与矩阵一一对应;
2. ①、向量组得线性相关、无关 有、无非零解;(齐次线性方程组)
②、向量得线性表出 就是否有解;(线性方程组)
③、向量组得相互线性表示 就是否有解;(矩阵方程)
3. 矩阵与行向量组等价得充分必要条件就是:齐次方程组与同解;(例14)
4. ;(例15)
5. 维向量线性相关得几何意义:
①、线性相关 ;
②、线性相关 坐标成比例或共线(平行);
③、线性相关 共面;
6. 线性相关与无关得两套定理:
若线性相关,则必线性相关;
若线性无关,则必线性无关;(向量得个数加加减减,二者为对偶)
若维向量组得每个向量上添上个分量,构成维向量组:
若线性无关,则也线性无关;反之若线性相关,则也线性相关;(向量组得维数加加减减)
简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;
7. 向量组(个数为)能由向量组(个数为)线性表示,且线性无关,则;
向量组能由向量组线性表示,则;
向量组能由向量组线性表示
有解;

向量组能由向量组等价
8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵,使;
①、矩阵行等价:(左乘,可逆)与同解
②、矩阵列等价:(右乘,可逆);
③、矩阵等价:(、可逆);
9. 对于矩阵与:
①、若与行等价,则与得行秩相等;
②、若与行等价,则与同解,且与得任何对应得列向量组具有相同得线性相关性;
③、矩阵得初等变换不改变矩阵得秩;
④、矩阵得行秩等于列秩;
10. 若,则:
①、得列向量组能由得列向量组线性表示,为系数矩阵;
②、得行向量组能由得行向量组线性表示,为系数矩阵;(转置)
11. 齐次方程组得解一定就是得解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;
①、 只有零解只有零解;
②、 有非零解一定存在非零解;
12. 设向量组可由向量组线性表示为:

其中为,且线性无关,则组线性无关;(与得列向量组具有相同线性相关性)
(必要性:;充分性:反证法)
注:当时,为方阵,可当作定理使用;
13. ①、对矩阵,存在, 、得列向量线性无关;
②、对矩阵,存在, 、得行向量线性无关;
14. 线性相关
存在一组不全为0得数,使得成立;(定义)
有非零解,即有非零解;
,系数矩阵得秩小于未知数得个数;
15. 设得矩阵得秩为,则元齐次线性方程组得解集得秩为:;
16. 若为得一个解,为得一个基础解系,则线性无关;
5、相似矩阵
1. 正交矩阵或(定义),性质:
①、得列向量都就是单位向量,且两两正交,即;
②、若为正交矩阵,则也为正交阵,且;
③、若、正交阵,则也就是正交阵;
注意:求解单位正交阵,千万不要忘记施密特正交化与单位化;
2. 施密特正交化:
;
;
3. 对于普通方阵,不同特征值对应得特征向量线性无关;
对于实对称阵,不同特征值对应得特征向量正交;