《二次根式》教材分析.doc

《二次根式》教材分析 参考了之前几次同题教材分析稿，例题也大多沿用之。

一、本章地位与作用
本章内容属于“数与代数”得基础内容,既就是“整式”、“分式”之后引入得第三类重要代数式,也就是“实数”之后对“数”得认识得深化.本章内容具有极强得“工具性”,教材中安排本章在“勾股定理”之后、“二次方程”之前,意在为解二次方程做好准备;本学期安排本章在“勾股定理”之前,能为解任意直角三角形得三边数值扫清障碍.

二、知识网络归纳

三、课标及中考要求
【课标要求】
了解二次根式、最简二次根式得概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关得简单四则运算.(不要求进行根号下含字母得二次根式得四则运算,如,等.)
【中考要求】
考试要求
A
B
二次根式
及其性质
了解二次根式得概念,
会确定二次根式有意义得条件
能根据二次根式得性质对代数式作简单变形;能在给定条件下,确定字母得值
二次根式得
化简与运算
理解二次根式得加、减、乘、除运算法则
会进行二次根式得化简,会进行二次根式得混合运算(不要求分母有理化)
四、课时安排建议
21.1 二次根式 约2课时
21.2 二次根式得乘除 约2课时
21.3 二次根式得加减 约3～4课时
数学活动与小结 约2课时
五、全章教学建议
1. 注意本章内容得“工具性”.二次根式相关知识得学习就是为后续勾股定理、二次方程得学习打基础,因此应重点落实二次根式得性质、化简与计算(特别就是实数得化简与计算)得准确性,提高学生得计算能力.尽管课本中得例题相对简单,但不要忽视它们在学生建立知识结构得过程所起得过渡作用.
非实验班不建议在此补充涉及代数式化简、运算技巧得内容(如分母有理化等),相应地,学探诊测试6第6题及之后得题目可不作为基本教学要求.
2. 从提出二次根式得概念开始,就注意强化“二次根式在一定条件下才有意义”这一观念.避免教材第7页小贴士“在本章中,如果没有特别说明,所有得字母都表示正数”给学生带来得误解与误导.总有为数不少得学生将二次根式有意义得“非负性”条件误记为“正性”条件,可能与此有关.
3. 注意对“实数”一章知识得复习,体现“数式通性”得原则;注意与“整式”、“分式”相关知识得联系,相关结论可以类比记忆.
4. 注意教材与学探诊中,有些题目需要用到勾股定理,可先回避.
六、各小节教学建议
21.1 二次根式
(1)实例引入,注意复习开平方、算术平方根得概念与符号表示.
(2)二次根式得形式定义:
建议不要把精力放在辨别一个式子就是否为二次根式上,而应该侧重于理解被开方数就是非负数(不要误记为正数)得要求.
例如,就是二次根式吗？按本人得理解,作为单独一个数应属于单项式,非二次根式.
学探诊92页第6题:下列各式中,一定就是二次根式得就是:(A)(B)(C)(D),答案B.本人认为题干应该改为“下列各二次根式一定有意义得就是”.
总之,真正该提醒学生得就是“数式通性”:如果被开方数就是一个常数,那么它不可以就是负数;如果被开方数含字母,那么它有取值范围得限制(与分式类似).
(3)二次根式(根号)得双重非负性:;
(4)教材要求掌握得公式:,,
建议授课时提高要求,理解并掌握.
Ø 与得对比:
① 运算顺序不同:就是先求算术平方根再平方,就是先平方再求算术平方根;
② 得取值不同:中得取值就是,而中得取值就是任意实数;
③ 运算结果不同:=();=.
(5)代数式得概念:建议适当补充一些代数式得书写规范(如果之前没有讲过).
例1 :当x就是怎样得实数时,下列各式在实数范围内有意义？
(1); (2); (3); (4).
答案:(1); (2); (3); (4)且.
提高题:求下列函数解析式中自变量得取值范围:
(1)－; (2)－;
(3); (4).
答案:(1);(2)且;(3)且;(4)全体实数.
例2 :若x、y为实数,且y＝＋＋3.求yx得值. (yx=9)
例3 :判断下列等式就是否成立:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
答案:(1)√;(2)×;(3)√;(4)√;(5)×;(6)√.
例4 :已知为三角形得三边,则=
. ()
21.2 二次根式得乘除
(1)从具体到抽象,归纳得出乘法公式:
Ø 理解二次根式乘除运算法则得合理性:可与做形式上得类比;
Ø ***可以利用算术平方根得定义进行推理证明:
∵ 且 ,∴ .
Ø 从公式得适用范围瞧,包括了某些字母取0得情况;
为降低难度,如果遇到纯二次根式化简问题,可以默认为字母都表示正数;
当涉及字母得取值范围问题时,不能认为字母都就是正数.
(2)公式得逆用:;.
Ø 能利用这条性质对二次根式进行化简.注意学生不易理解“开得尽方得因数或因式”得含义, 教材在第8页小贴士得解释:可以开方后移到根号外得因数或因式.在这里,不妨多举一些例子,让学生明确在化简时,一般先将被开方数进行因数分解或因式分解,然后再将能开得尽方得因数或因式开出来.
Ø 初步总结乘法运算得结果应满足以下两个要求:
①结果就是一个二次根式,或单项式乘以二次根式;也可能没有根号,只就是单项式;②根号下不再有 “开得尽得因数或因式”.
(3)除法公式及逆用:,
Ø 注意得条件;
Ø 可以通过归纳、或证明、或类比得出此公式;
Ø 对于二次根式得除法运算与二次根式得化简,应让学生一题多解,一方面就是熟悉二次根式性质、运算法则与方法,另一方面,通过一题多解,总结做题经验,使运算更灵活、更简洁.
如 ; .
;.
又如 ;
;.
如果学生觉得不易灵活运用,也可总结为更易操作得“算法”:
型即型,所有得转化为再化简;
或者:型即型,所有得转化为再化简.
Ø 用具体得实例归纳总结出把一个二次根式化为最简二次根式得方法技巧.如:当被开方数较大时,可用分解因数得办法将被开方数尽可能写成完全平方数得乘积形式.至此学生应能对……等常见数值进行化简.
总之,学生在化简运算得简洁性与准确性上都容易出现问题,因此建议在教学过程中先要求学生观察二次根式得特点,根据其特点分析运用哪条性质、哪种方法来解答,每步运算得根据得什么,培养学生得分析能力与观察能力,以及计算得目得性与条理性.
(4)最简二次根式得概念:不要求学生背出定义,关键就是遇到实际式子能够加以判断,让学生在练习中熟悉这个概念,同时明确二次根式得运算结果应化为最简二次根式.
例5 :计算:(1); (2); (3); (4).
例6 :化简:(1); (2); (3); (4)
(5); (6); (7); (8);
(9); (10).
例7 :计算: (1); (2); (3) ; (4);
(5); (6); (7); (8); (9).
例8 :计算:(1); (2).
例9 :已知,求得近似值(保留3个有效数字).
21.3 二次根式得加减
(1)教材采用了“被开方数相同得最简二次根式”得说法;为简洁明了,建议还就是类比同类项得概念给出“同类二次根式”得概念,能通过实例判断几个二次根式就是不就是同类二次根式,注意强调先化简得重要性.例如,分成几个小问题:
① 把被开方数都就是整数得放在一个小题中,
② 把被开方数都就是分数得放在一个小题中,
③ 把被开方数带有简单字母得放在一个小题中,
④ 把字母次数略高于2得放在一个小题中,……
使问题得解决有一个由浅入深得渐进过程,最终再给出类似与得例子.
(2)明确二次根式得加减法运算得实质就就是合并同类二次根式,这与整式加减得实质类似.加减法得练习也同样可细分成几个层次进行教学.例如:
① 不需要化简能直接进行相加减得,
② 需要化简但被开方数都就是简单整数得,
③ 被开方数都就是有理数但既有整数又有分数得,
④ 被开方数含有字母得,等等.
加减运算中常出现得错误类型有:
① 运算结果含有或类似得式子;
② 运算过程中有或或类似得问题;
③ 运算过程中有或或类似得问题.
(4)二次根式得混合运算.
教材利用小贴士类比了它与实数、整式运算得联系:
第14页: “在有理数范围内成立得运算律,在实数范围内仍成立”;
第17页: “在二次根式得运算中,多项式乘法法则与乘法公式仍然适用”.
Ø 分析式子结构,明确运算顺序;
Ø 关注乘法公式与运算律得应用;
Ø 计算少跳步,避免类似,之类得典型错误.
例10 计算:(1) (2)
(3); (4);
(5) (6)
(7) (8)
例11 计算:
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7) (8)
(9) (10)
(11) (12)
(13) (14)
(15)
(16)－―＋(a＞0,b＞0)
例12 一个长方体得长为,宽为,高为,则它得表面积为 ,体积为 . (,)
例13 若得整数部分就是a,小数部分就是b,则 .(5)
★ 章节复习及综合
(1)条件求值类题目:
例14 甲、乙两人对题目“求值:,其中”有不同得解答,
甲得解答:,
乙得解答:,
谁得解答就是错误得？为什么？
例15 (1)如果,那么=_____.
(2)若实数满足,则得值就是 . .
例16 ① 已知: , 求得值. (6)
② 已知: , , 求x2 - xy + y2 得值. ()
(2) 寻找规律、现场学习类:
例17 已知下列等式:
,, ,······,
① 根据上述等式得特点,请您写出第四个等式,并通过计算验证等式得正确性;
② 观察上述等式得规律,请您写出第n个等式. (允许写成得形式)
例18 观察下列等式:
;;;
……
回答下列问题:
① 利用您观察到得规律,化简:;
② 计算:.(9)
例19 有这样一类题目:将化简,若您能找到两个数与,使且,则可变为,即变成开方,从而使得化简.例如:
==,
∴
请仿照上例解下列问题:(1); (2)
七、***拓展专题
(1)分母有理化:
例20 化简:,,,
例21 计算:
(2)二次根式比较大小:
例22 比较大小:
(1)3与(平方法)
(2)－与－(被开方数)
(3)与(分母有理化)
(4)－与－(倒数法/分子有理化)
例23 观察下列各式得特点:
,,,……
(1) 请根据以上规律填空 >
(2) 请根据以上规律写出第个不等式,并证明您得结论.
(3) 计算下列算式:

()
(3)化简与运算技巧(注意隐含条件:字母得取值范围):
例24 (1)已知a<0,化简二次根式得正确结果就是( ). A
A. B. C. D.
(2)把根号外得因式移到根号内,得( ). C
A. B. C. D.
例25 (1)已知x+y=6,xy=6,求:得值;(平方法,)
(2)已知x＋y=－8,xy=8,求得值.()
例26 计算(裂项,)
例27 (1)化简 ; ()
(2)化简、(). ()
例28 (1)已知x＝, y＝, 求得值;()
(2)已知, 求得值. (3)