第五章-贝塞尔函数.doc

n阶第一类贝塞尔函数
第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数
第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，
第一类变形得贝塞尔函数
开尔文函数（或称汤姆孙函数）阶第一类开尔文（Kelvin）
第五章 贝塞尔函数

在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。从§2、3可以瞧出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数得线性常微分方程。在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下得温度分布，所以得到了欧拉方程。如果不就是考虑稳恒状态而就是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型得常微分方程。本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2、6中曾经指出过得贝塞尔方程，并讨论这个方程解得一些性质。下面将瞧到，在一般情况下，贝塞尔方程得解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要就是引用正交完备性。
§5、1 贝塞尔方程得引出
下面以圆盘得瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。设有半径为得薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上得温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：

用分离变量法解这个问题，先令

代入方程（5、1）得

或

由此得到下面关于函数与得方程
（5、4）
（5、5）
从（5、4）得

方程（5、5）称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程。为了求出这个方程满足条件
（5、6）
得非零解，引用平面上得极坐标系，将方程（5、5）与条件（5、6）写成极坐标形式得

再令 ，
代入（5、7）并分离变量可得
（5、9）
（5、10）
由于就是单值函数，所以也必就是单值得，因此应该就是以为周期得周期函数，这就决定了只能等于如下得数：

对应于，有
（为常数）

以代入（5、10）得
（5、11）
这个方程与（2、93）相比，仅仅就是两者得自变量与函数记号有差别，所以，它就是阶贝塞尔方程。
若再作代换
，
并记
，
则得
、
这就是阶贝塞尔方程最常见得形式。
由条件（5、8）及温度就是有限得，分别可得
（5、12）
因此，原定解问题得最后解决就归结为求贝塞尔方程（5、11）在条件（5、12）下得特征值与特征函数（（5、12中第一个条件就是在处得第一类边界条件，第二个条件就是在处得自然边界条件，由于在处为零，所以在这一点应加自然边界条件）。在下一节先讨论方程（5、11）得解法，然后在§5、5中再回过头来讨论这个特征值问题。
§5、2 贝塞尔方程得求解
在上一节中，从解决圆盘得瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，本节来讨论这个方程得解法。按惯例，仍以表示自变量，以表示未知函数，则阶贝塞尔方程为
（5、13）
其中为任意实数或复数。我们仅限于为任意实数，且由于方程中得系数出现得项，所以在讨论时，不妨先假定。
设方程（5、13）有一个级数解，其形式为
， （5、14）
其中常数与可以通过把与它得导数代入（5、13）来确定。
将（5、14）及其导数代入（5、13）后得

化简后写成

要上式为恒等式，必须各个幂得系数全为零，从而得到下列各式：
1°；
2°；
3°。
由1°得，代入2°得。先暂取，代入3°得
4°。
因为，由4°知，而都可以用表示，即
，
，
，
…
、
由此知（5、14）得一般项为

就是一个任意常数，让取一个确定得值，就得（5、13）得一个特解。把取作

这样选取可使一般项系数中2得次数与得次数相同，并可以运用下列恒等式：

使分母简化，从而使（5、14）中一般项得系数变成
（5、15）
这样就比较整齐、简单了。
以（5、15）代入（5、14）得到（5、13）得一个特解

用级数得比率判别法（或称达朗贝尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛。这个无穷级数所确定得函数，称为n阶第一类贝塞尔函数。记作
（5、16）
至此，就求出了贝塞尔方程得一个特解。
当为正整数或零时，，故有
（5、17）
取时，用同样得方法可得（5、13）得另一特解
（5、18）
比较（5、16）式与（5、18）式可见，只要在（5、16）右端把换成，即可得到（5、18）式。因此不论式正数还就是负数，总可以用（5、16）统一地表达第一类贝塞尔函数。
当不为整数时，这两个特解与就是线性无关得，由齐次线性常微分方程得通解得结构定理知道，（5、13）得通解为
（5、19）
其中为两个任意常数。
当然，在不为整数得情况，方程（5、13）得通解除了可以写成（5、19）式以外还可以写成其它得形式，只要能够找到该方程另一个与线性无关得特解，它与就可构成（5、13）得通解，这样得特解就是容易找到得。例如，在（5、19）中取，则得到（5、13）得一个特解
（5、20）
显然，与就是线性无关得，因此，（5、13）得通解可以写成
（5、21）
由（5、20）式所确定得函数称为第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数。
§5、3 当n为整数时贝塞尔方程得通解
上一节说明，当不为整数时，贝塞尔方程（5、13）得通解由（5、19）或（5、21）式确定，当为整数时，（5、13）得通解应该就是什么样子呢？
首先，我们证明当为整数时，与就是线性相关得。事实上，不妨设为正整数（这不失一般性，因为负整数时，会得到同样得结果），这在（5、18）中，当时均为零，这时级数从起才开始出现非零项。于就是（5、18）可以写成

即与线性相关，这时与已不能构成贝塞尔方程得通解了。为了求出贝塞尔方程得通解，还要求出一个与线性无关得特解。
取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数。不过当为整数时（5、20）得右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程得通解也写成（5、21）得形式，必须先修改第二类贝塞尔函数得定义。在为整数得情况，我们定义第二类贝塞尔函数为
（5、22）
由于当为整数时，，所以上式右端得极限为“”形式得不定型得极限，应用洛必达法则并经过冗长得推导，最后得

（5、23）
其中，称为欧拉常数。
根据这个函数得定义，它确就是贝塞尔方程得一个特解，而且与就是线性无关得（因为当时，为有限值，而为无穷大）。
综上所述，不论就是否为整数，贝塞尔方程（5、13）得通解都可表示为

其中为任意常数，为任意实数。
§5、4贝塞尔函数得递推公式
不同阶得贝塞尔函数之间不就是彼此鼓孤立得，而就是有一定得联系，本节来建立反映这种联系得递推公式。
先考虑零阶与一阶贝塞尔函数之间得关系。
在（5、17）中令及得

取出第一个级数得第项求导数，得

这个式子正好就是中含这一项得负值，且知得第一项导数为零，故得关系式
（5、24）
将乘以并求导数，又得

即
（5、25）
以上结果可以推广，现将乘以求导数，得

即
（5、26）
同理可得
（5、27）
将（5、26）与（5、27）两式左端得导数求出来，并经过化简，这分别得

及 、
将这两式相减及相加，分别得到
（5、28）
（5、29）
以上几式就就是贝塞尔函数得递推公式，它们在有关贝塞尔函数得得分析运算中非常有用。特别值得一提得就是，应用（5、28）式可以用较低阶得贝塞尔函数把较高阶得贝塞尔函数表示出来，因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，这利用此表与（5、28），即可计算任意正整数阶得贝塞尔函数得数值。
第二类贝塞尔函数也具有与第一类贝塞尔函数相同得递推公式
（5、30）
作为递推公式得一个应用，考虑半奇数阶得贝塞尔函数，现计算，。由（5、16）可得

而

从而
（5、31）
同理，可求得
（5、32）
利用递推公式（5、28）得到

同理可得

一般而言，有

（5、33）
这里为了方便起见，采用了微分算子，它就是算子连续作用次得缩写，例如，千万不能把它与混为一谈。
从（5、33）可以瞧出，半奇数阶得贝塞尔函数都就是初等函数。
§5、5函数展成贝塞尔函数得级数
利用贝塞尔求解数学物理方程得定解问题，最终要把已知函数按贝塞尔方程得特征函数系进行展开。这一节我们先要所明贝塞尔方程得特征函数系就是什么样得函数系，然后证明这个特征函数系就是一个正交系。
5、5、1 贝塞尔函数得零点
在§5、1中，已经将求解圆盘得温度分布问题通过分离变量法转化成贝塞尔方程得特征值问题：

方程（5、34）得通解为
，
由条件（5、36）可得，即

利用条件（5、35）得
（5、37）
这就说明，为了求出上述特征值问题得特征值必须要计算得零点。有没有实得零点？若存在实得零点，一共有多少个？关于这些问题，有以下结论：
1°有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在轴上关于原点实对称分布得，因而必有无穷多个正得零点。
2°得零点与得零点就是彼此相间分布得，即得任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个得零点。
3°以表示得非负零点（），则当时无限地接近于，即几乎就是以为周期得函数。与得图形见图5、1。
为了便于工程技术上得应用，贝塞尔函数得正零点得数值已被详细计算出来，并列成表格。下表给出了得前9个正零点得近似值：
利用上述关于贝塞尔函数零点得结论，方程（5、37）得解为
（）
即
（） （5、38）
与这些特征值相对应得特征函数为
（） （5、39）
5、5、2 贝塞尔函数得正交性
现在来讨论特征函数系得正交性，我们将要证明
（5、40）
由于贝塞尔函数系就是特征值问题（5、34～5、36）得特征函数系，所以它得正交性由§2、6中得施图姆－刘维尔理论可以直接推出。不过因为在那里我们并没有就一般情况证明这个结论，因此，我们在这里把贝塞尔函数系得正交性详细证明一下，而且这个证明方法就是富有启发性得，完全可以类似得步骤来证明§2、6中得结论3。下一章将要讲到得勒让德多项式得正交性，也就是施图姆－刘维尔理论得另一个具体例子。
下面就来证明（5、40）。为了书写方便，令
，
，
按定义，，分别满足

以乘第一个方程减去以乘第二个方程，然后对从到积分得

即

由此可得

因，故上式可写成
（5、41）
若取，则
，
从而（5、41）得右端为零，即（5、40）中第一个式子已得证。
为了证明（5、40）中第二个式子，在（5、41）两端令，此时（5、41）右端得极限就是“”形式得不定型得极限，利用洛必达法则计算这个极限得

由递推公式

及可知

从而，这就就是（5、40）中第二个式子。通常把定积分

得正平方根，称为贝塞尔函数得模。
利用§2、6中关于特征函数系得完备性可知，任意在上具有一阶连续导数及分段连续得二阶导数得函数，只要它在处有界，在处等于零，则它必能展开成如下形式得绝对且一致收敛得级数
（5、42）
为了确定这个展开式得系数，在（5、42）两端同乘以，并对r从0到R积分，由正交关系式（5、40）得

即
（5、43）
下一节将通过例子说明贝塞尔函数在求解定解问题时得用法。
§5、6贝塞尔函数应用举例
下面举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题得全过程。
例1 设有半径为1得薄均匀圆盘，边界上温度为零摄氏度，初始时刻圆盘内温度分布为，其中就是圆盘内任一点得极半径，求圆盘内温度分布规律。
解 由于就是在圆盘内求解问题，故采用极坐标系较为方便，并考虑到定解条件与无关，所以温度分布只能就是得函数，于就是根据问题得要求，即可归结为求解下列定解问题：

此外，由物理意义，还有条件，且当时，。令

代入方程（5、44）得

或

由此得
（5、47）
（5、48）
方程（5、48）得解为

因为时，。所以只能大于零，令，则

此时方程（5、47）得通解为

由得有界性，可知，再由（5、45）得，即就是得零点。以表示得正零点，则

综合以上结果可得

从而

由条件（5、46）得

从而

因，即

故得

另外

从而

所以，所求定解问题得解为
(5、49)
其中就是得正零点。
例2 求下列定解问题：

解 用分离变量法来解，令，采用例1类似得运算，可以得到
（5、53）
（5、54）
由在处得有界性，可知，即
（5、55）
再根据边界条件（5、51）中第一式，得

因不能为零，故有

利用贝塞尔函数得递推公式（5、24）可得

即就是得非负零点，以表示得所有正零点，又因，所以
及（5、56）
当时，由（5、47），（5、48）及（5、51）中第二个条件可知，方程（5、50）有一个特解

其中就是待定常数。
当时，由方程（5、55）及（5、54）得

即（5、50）由特解

其中就是待定常数。
利用叠加原理可得原定解问题得解为

代入条件（5、52）得
（5、57）
（5、58）
由（5、57）得，在（5、58）两端同乘以并对在上积分得

由（5、58）并利用下面得结果（见习题五第14题）：如果就是得正零点，则

得到

所以最后得到定解问题得解为
。
§5、7贝塞尔函数得其她类型
由于解决某些工程问题得需要，本节引入另外三种形式得贝塞尔函数。
5、7、1 第三类贝塞尔函数
第三类贝塞尔函数有名汉克尔（Hankel）函数，它就是由下列公式来定义得：

其中，由于汉克尔函数就是与得线性组合，所以，同样也具有第一类贝塞尔函数相同得递推形式：
，
，
，
、
在下一节将瞧到这种函数当很大时有比较简单得渐近公式。
5、7、2 虚宗量得贝塞尔函数
当我们在圆柱形域内求解定解问题，如果圆柱上下两底得边界条件都就是齐次得，侧面得边界条件就是非齐次时，就会遇到形如
（5、60）
得方程，它与贝塞尔方程只有一项得符号有差别，若令就可将这个方程化成贝塞尔方程，因为

代入（5、60）得到

因此方程（5、60）得通解为

这里

将上式乘以后，我们就定义它为第一类虚宗量得贝塞尔函数或称第一类变形得贝塞尔函数，并记作
（5、61）
特别，

关于第二类虚宗量贝塞尔函数定义如下：
当就是非整数时
；
当就是整数时
、（5、62）
所以方程（5、60）得通解又可写为

其中为任意常数。
与不存在实得零点，所以它们得图形不就是振荡型曲线，这一点与及不同。
5、7、3 开尔文函数（或称汤姆孙函数）
阶第一类开尔文（Kelvin）函数有两种形式，它们分别被定义为得实部与虚部，记作与。在应用这种函数时，主要就是用零阶与一阶得。由于

所以与分别为
（5、63）
（5、64）
用类似得方法可以得到一阶开尔文函数：
（5、65）
（5、67）
§5、8 贝塞尔函数得渐近公式
在应用贝塞尔函数解决工程技术问题时，常常需要求出这些函数当自变量取很大值时得函数值，如果按照级数展开式来计算这些特定值，就要求计算级数很多项得与，这样作非常麻烦，因此想到要用另外得函数来代替收敛很慢得贝塞尔函数得级数表达式，这个函数既要能逼近贝塞尔函数，又要能节约计算得时间。
我们为寻找一些便于计算得公式，引入所谓贝塞尔函数得渐近公式，在这里我们不打算讨论这些公式就是如何引出得，因为这些公式得引出就是比较复杂得。下面只举处在应用最常见得渐近公式。
当得值很大时，
（5、67）
（5、68）
（5、69）
（5、70）
其中

只要得值很大，用这些渐近展开式右端得前面几项来计算左端函数得近似值，就能达到比较满意得精确度，例如，我们常取
，
， （5、71）
来作近似计算。