2017年高考浙江数学试题及答案(word解析版).pdf

12017 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2017 年浙江，1，4 分】已知|11Pxx，20Qx，则PQ（）（A）(2,1)（B）(1,0)（C）(0,1)（D）(2,1)【答案】A【解析】取,P Q所有元素，得PQ(2,1)，故选 A【点评】本题考查集合的基本运算，并集的求法，考查计算能力（2）【2017 年浙江，2，4 分】椭圆22194xy的离心率是（）（A）133（B）53（C）23（D）59【答案】B【解析】94533e，故选 B【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力（3）【2017 年浙江，3，4 分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）（A）12（B）32（C）312（D）332【答案】A【解析】由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2 的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为21113(21)13222V，故选 A【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征，是基础题目（4）【2017 年浙江，4，4 分】若x，y满足约束条件03020 xxyxy，则2zxy 的取值范围是（）（A）0,6（B）0,4（C）6,（D）4,【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点2,1 时取最小值4，无最大值，故选D【点评】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键（5）【2017 年浙江，5，4 分】若函数2fxxaxb在区间01，上的最大值是M，最小值是m，则Mm（）（A）与 a 有关，且与b 有关（B）与 a 有关，但与b 无关（C）与 a 无关，且与b 无关（D）与 a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】解法一：因为最值在2(0),(1)1,()24aafb fab fb中取，所以最值之差一定与b 无关，故选 B解法二：函数2f xxaxb的图象是开口朝上且以直线2ax为对称轴的抛物线，当12a或202a，即2a，或0a时，函数 fx 在区间0,1 上单调，此时10Mmffa，故Mm的值与a有关，与b无关；当1122a，即21a时，函数 fx 在区间0,2a上递减，在,12a上递增，且01ff，此时2024aaMmff，故Mm的值与a有关，与b无关；当1022a，即10a时，函数fx 在区间0,2a上递减，在,12a上递增，且01ff，此时2024aaMmffa，故Mm的值与a有关，与b无关综上可得：Mm的值与a有关，与b无关，故选B【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键（6）【2017 年浙江，6，4 分】已知等差数列na的公差为d，前n项和为nS，则“0d”是“4652SSS”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212 510SSSadadd，可知当0d时，有46520SSS，即4652SSS，反之，若4652SSS，则0d，所以“0d”是“4652SSS”的充要条件，故选C【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件，属于基础题（7）【2017 年浙江，7，4 分】函数 yfx 的导函数()yfx 的图像如图所示，则函数yfx 的图像可能是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】解法一：由当0fx时，函数 fx（）单调递减，当0fx时，函数 fx（）单调递增，则由导函数yfx的图象可知：fx 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x 轴上的右侧，排除B，故选 D解法二：原函数先减再增，再减再增，且0 x位于增区间内，故选D【点评】本题考查导数的应用，考查导数与函数单调性的关系，考查函数极值的判断，考查数形结合思想，属于基础题（8）【2017 年浙江，8，4 分】已知随机变量1满足11iPp，101iPp，1,2i 若12102pp，则（）（A）12E()E()，12D()D()（B）12E()E()，12D()D()（C）12E()E()，12D()D()（D）12E()E()，12D()D()【答案】A【解析】112212(),(),()()Ep EpEE111222()(1),()(1)DppDpp，121212()()()(1)0DDpppp，故选 A【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题（9）【2017 年浙江，9，4 分】如图，已知正四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥），PQR分别为AB，BC，CA上的点，APPB，2BQCRQCRA，分别记二面角DPRQ，DPQR，DQRP 的平面较为，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】B 3【解析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系设底面ABC的中心为O不妨设3OP则0,0,0O，0,3,0P，0,6,0C，0,0,62D，3,2,0Q，2 3,0,0R，2 3,3,0PR，0,3,62PD，3,5,0PQ，3 3,2,0QR，3,2,62QD设平面PDR的法向量为,nx y z，则00n PRn PD，可得2 33036 20 xyyz，可得6,2 2,1n，取平面ABC的法向量0,0,1m则1cos,15m nm nm n，取1arccos15同理可得：3arccos6812arccos951231595681解法二：如图所示，连接ODOQOR，过点O发布作垂线：OEDR，OFDQ，OGQR，垂足分别为EFG，连接PEPFPG，设OPh则cosODRPDRSOESPE22OEOEh同理可得：22cosOFOFPFOFhc，22cosOGOGPGOGh由已知可得：OEOGOF coscoscos，为锐角 ，故选 B【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题（10）【2017 年浙江，10，4 分】如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，2ABBCAD，3CD，AC与BD交于点 O，记1IOAOB，2IOB OC，3IOC OD，则（）（A）123III（B）132III（C）312III（D）223III【答案】C【解析】ABBC，2ABBCAD，3CD，2 2AC，90AOBCOD，由图象知OAOC，OBOD，0OA OBOC OD，0OB OC，即312III，故选 C【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用，根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键第卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分（11）【2017 年浙江，11，4 分】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度。祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S内，S内【答案】3 32【解析】如图所示，单位圆的半径为1，则其内接正六边形ABCDEF中，AOB是边长为1 的正三角形，所以正六边形ABCDEF 的面积为13 3=61 1sin6022S内【点评】本题考查了已知圆的半径求其内接正六边形面积的应用问题，是基础题（12）【2017 年浙江，12，6 分】已知abR，2i34iab（）（i是虚数单位）则22ab，ab【答案】5；2【解析】由题意可得222i34iabab，则2232abab，解得2241ab，则225,2abab【点评】本题考查了复数的运算法则、复数的相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题（13）【2017 年浙江，13，6 分】已知多项式12543211234512xxxa xa xa xa xa，则4a，45a【答案】16；4【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32rrmmC x C x，分别取0,1rm和1,0rm可得441216a，令0 x可得325124a【点评】本题考查二项式定理的应用，考查计算能力，是基础题（14）【2017 年浙江，14，6 分】已知ABC，4ABAC，2BC点D为AB延长线上一点，2BD，连结CD，则BDC的面积是；cosBDC【答案】152；104【解析】取BC中点E，DC中点F，由题意：,AEBC BFCD，ABE中，1cos4BEABCAB，1115cos,sin14164DBCDBC，BC115sin22DSBDBCDBC又2110cos12sin,sin44DBCDBFDBF，10cossin4BDCDBF，综上可得，BCD面积为152，10cos4BDC【点评】本题考查了解三角形的有关知识，关键是转化，属于基础题（15）【2017 年浙江，15，6 分】已知向量a，b满足1,2,ab则 abab 的最小值是_；最大值是_【答案】4；2 5【解析】解法一：设向量a和 b 的夹角为，由余弦定理有2212212cos54cosab，22122 12cos54cosab，则54cos54cosabab，令54cos54cosy，则22102 2516cos16,20y，据此可得：maxabab202 5，min164abab，即abab的最小值为4，最大值为2 5 解法二记AOB，则0，如图，由余弦定理可得：54cosab，54cosab，令54cosx，54cosy，则2210,1xyx y，其图象为一段圆弧MN，如图，令zxy，则yxz，则直线yxz过M、N时 z 最小为13314minz，当直线yxz与圆弧MN相切时 z 最大，由平面几何知识易知maxz即为原点到切线的距离的2 倍，也就是圆弧MN所在圆的半径的2 倍，所以2102 5maxz综上所述，abab的最小值为4，最大值为2 5【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查数形结合能力，考查运算求解能力，涉及余弦定理、线性规划等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题（16）【2017 年浙江，16，4 分】从 6 男 2女共 8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成 4 人服务队，要求服务队中至少有1 名女生，共有中不同的选法（用数字作答）【答案】660【解析】解法一：由题意可得：“从 8 名学生中选出队长1 人，副队长1 人，普通队员2 人组成 4人服务队”中的选择方法为：411843CCC 种方法，其中“服务队中没有女生”的选法有411643CCC 种方法，则满足题意的选法有：411411843643660CCCCCC种解法二：第一类，先选1 女 3 男，有316240C C种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有2412A种，故有4012480种，第二类，先选 2 女 2 男，有226215C C种，这 4 人选 2 人作为队长和副队有2412A种，故有1512180种，根据分类计数原理共有480180660种，故答案为：660【点评】本题考查了分类计数原理和分步计数原理，属于中档题5（17）【2017 年浙江，17，4 分】已知R，函数4fxxaax在区间 1,4 上的最大值是5，则a的取值范围是【答案】9(,2【解析】41,4,4,5xxx，分类讨论：当5a时，442fxaxaaxxx，函数的最大值245a，92a，舍去；当4a时，445fxxaaxxx，此时命题成立；当45a时，ma xmax4,5fxaaaa，则：4545aaaaaa或：4555aaaaaa，解得：92a或92a，综上可得，实数a的取值范围是9,2【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题三、解答题：本大题共5 题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（18）【2017 年浙江，18，14 分】已知函数22sincos2 3sincosfxxxxx xR（）（1）求23f的值；（2）求 fx 的最小正周期及单调递增区间解：（1）22sincos2 3sincoscos23sin 22sin26fxxxxxxxx，4sin232236f（2）由2sin26fxx，fx 的最小正周期为令2 22 262kxk，kZ，得36kxk，kZ，函数 fx 的单调递增区间为.36kkkZ，【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中档（19）【2017 年浙江，19，15 分】如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，/BCAD，CDAD，22PCADDCCB，E为PD的中点（1）证明：/CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值解：解法一：（1）取AD的中点F，连接EF，CF，E为PD的重点，/EFPA，在四边形ABCD中，/BCAD，22ADDCCB，F为中点易得/CFAB，平面/EFC平面ABP，EC平面EFC，/EC平面PAB（2）连结BF，过F作FMPB与M，连结PF，因为PAPD，所以PFAD，易知四边形BCDF为矩形，所以BFAD，所以AD平面PBF，又/ADBC，所以BC平面PBF，所以BCPB，设1DCCB，则2A DP C，所以2PB，1BFPF，所以12MF，又BC平面PBF，所以BCMF，所以MF平面PBC，即点F到平面PBC的距离为12，也即点D到平面PBC的距离为12，因为E为PD的中点，所以点E到平面PBC的距离为14，在PCD中，2PC，1CD，2PD，由余弦定理可得2CE，设直线CE与平面PBC所成的角为，则124sin=8CE解法二：（1）略；构造平行四边形（2）过P作PHCD，交CD的延长线于点H在Rt PDH中，设DHx，则易知62222(2)(1)2xx（RtPCH），解得12DH，过H作BC的平行线，取1DHBC，由题易得3,0,02B，1,1,02D，3,1,02C，30,0,2P，1 13,4 24E，则513(,)424CE，33(,0,)22PB，(0,1,0)BC，设平面PBC的法向量为(,)nx y z，则330220n PBxzn BCy，令1x，则3t，故(1,0,3)n，设直线CE与平面PBC所成的角为，则531|3|2442sin=|cos,n|=825132 2216416CE故直线CE与平面PBC所成角的正弦值为28【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题（20）【2017 年浙江，20，15 分】已知函数1212xfxxxex（1）求 fx 的导函数；（2）求 fx 在区间1+)2，上的取值范围解：（1）11212112111212121xxxxfxexxexxexexxx（2）令21g xxx，则1121gxx，当112x时，0gx，当1x时，0gx，则 g x在1x处取得最小值，既最小值为0，又0 xe，则 fx 在区间1,2上的最小值为0当x变化时，fx，fx 的变化如下表：x 1,121 51,2525,2fx-0+0-fx又121122fe，10f，525122fe，则 fx 在区间1,2上的最大值为1212e综上，fx 在区间1,2上的取值范围是1210,2e【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题（21）【2017 年浙江，21，15 分】如图，已知抛物线2xy，点1 1,2 4A，3 9,2 4B，抛物线上的点1124P xyx，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（1）求直线AP斜率的取值范围；7（2）求APPQ的最大值解：（1）由题易得2,P x x，1322x，故21141,1122APxKxx，故直线AP斜率的取值范围为1,1（2）由（1）知2,Pxx，1322x，所以211,24PAxx，设直线AP的斜率为k，则11:24APykxk，139:24BP yxkk，联立直线AP、BP方程可知222234981,2244kkkkQkk，故23432221,11kkkkkkkPQkk，又因为21,PAkkk，故33232211111111kkkkkPAPQPA PQkkkk，所以311PAPQkk，令311fxxx，11x，则221242 121fxxxxx，由于当112x时0fx，当112x时0fx，故max127216fxf，即 PAPQ 的最大值为2716【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题，考查运算求解能力，考查函数思想，注意解题方法的积累，属于中档题（22）【2017 年浙江，22，15 分】已知数列nx满足：11x，11ln 1*nnnxxxnN证明：当*nN时，（1）10nnxx；（2）1122nnnnxxxx；（3）121122nnnx解：（1）令函数()ln(1)f xxx，则易得()f x 在 0,)上为增函数 又1()nnxf x，若0nx1()(0)0nf xf恒成立10nx，又由11ln(1)nnnxxx可知0nx，由111111ln(1)ln(1)0nnnnnnnnxxxxxxxx所以10nnxx（2）令22ln 1ln 1ln 1222xxxg xxxxxxx，0 x，则121111ln 11ln 1ln 122 122 122 12xxgxxxxxxxxxx，令111ln 122 12h xxxx，则22211252102 12 12 1xxhxxxx，所以 h x 单调递增所以00h xh，即0gx，g x 单调递增所以00g xgln 1ln 12xxxxx，所以11111112ln 1ln 122nnnnnnnnnxx xxxxxxx，1122nnnnx xxx（3）11112111212222nnnnnnnnx xxxxxxx，即121111222nnnnnxx递推得12+11111(1)11111182122224212nnnknknxx2211(2)1222nnnxn8由11x知21(N*)2nnxn，又由()ln(1)0h xxx可知112()()0nnnxxh xh x即11111112(N*)222nnnnnnnnxxxxxxn综上可知，121122nnnx【点评】本题考查了数列的概念，递推关系，数列的函数的特征，导数和函数的单调性的关系，不等式的证明，考查了推理论证能力，分析解决问题的能力，运算能力，放缩能力，运算能力，属于难题