空间点直线平面之间的位置关系练习题(高考总复习).doc

第三节 空间点、直线、平面之间得位置关系
时间：45分钟　分值：７5分
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2013·安徽卷)在下列命题中,不就是公理得就是(　 ）
A．平行于同一个平面得两个平面相互平行
B。过不在同一条直线上得三点,有且只有一个平面
C。如果一条直线上得两点在一个平面内,那么这条直线上所有得点都在此平面内
D.如果两个不重合得平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点得公共直线
解析　Ｂ就是公理2，C就是公理1，Ｄ就是公理3，只有A不就是公理．
答案 A
２.已知平面外一点P与平面内不共线三点A,B,C，Ａ′，Ｂ′,C′分别在PA，ＰB,PC上,若延长Ａ′B′，B′C′，A′C′与平面分别交于D,E,F三点,则D，E，Ｆ三点（　　)
A。成钝角三角形　 ﻩB。成锐角三角形
C.成直角三角形　 ﻩＤ。在一条直线上
解析　D,E,F为已知平面与平面Ａ′B′Ｃ′得公共点，Ｄ,E，F共线.
答案　D
3。已知空间中有不共线得三条线段AB、BＣ与ＣD，且∠ＡBC＝∠BCD,那么直线AB与CD得位置关系就是（　 )
Ａ．ＡB∥CD　 B．ＡB与ＣＤ异面
C.ＡB与CＤ相交 Ｄ.以上情况均有可能
解析　若三条线段共面，则直线AB与CD相交或平行；若不共面,则直线ＡB与CD就是异面直线，故选D、
答案　D
４。若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　 )
A.α内得所有直线与l异面
B。α内不存在与l平行得直线
Ｃ。α内存在唯一得直线与l平行
Ｄ．α内得直线与l都相交

解析　依题意，直线ｌ∩α＝A(如图）.α内得直线若经过点A,则与直线l相交；若不经过点Ａ,则与直线l就是异面直线,故选B、
答案　Ｂ
５.（2０1４·桂林中学上学期期中）下列四个图就是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别就是所在棱得中点,这四个点不共面得图得个数为（　 )

A.1 ﻩB．2 　
C.3 　　　 D.4
解析 只有第四个图中得四点不共面.
答案 A
６。(2０13·江西卷)如下图,正方体得底面与正四面体得底面在同一平面α上，且ＡB∥CD,正方体得六个面所在得平面与直线CE，ＥF相交得平面个数分别记为m，ｎ,那么ｍ＋n＝（　 ）

A.8 　　 B.9 　　　
Ｃ。10 　 ﻩD．１1
解析 如下图，∵ＣE⊂平面ABPＱ,CＥ∥平面Ａ１Ｂ１P１Q1,∴CE与正方体得其余四个面所在平面均相交,m＝４；∵EF∥平面BPＰ１B1,且EF∥平面AQQ1A１，∴EF与正方体得其余四个面所在平面均相交，ｎ＝4，故m＋n=8，选A、

答案 A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分,共15分)
７.设P表示一个点,ａ，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题,其中正确命题得序号就是_＿＿_____．
①P∈a，P∈α⇒ａ⊂α
②ａ∩b＝P,b⊂β⇒a⊂β
③ａ∥b,a⊂α，P∈b,P∈α⇒b⊂α
④α∩β=b,P∈α，Ｐ∈β⇒P∈b

解析 当a∩α＝P时,P∈a,P∈α，但a⊄α,∴①错;a∩β＝P时,②错;如图，∵a∥b，P∈ｂ，∴Ｐ∉a,∴由直线ａ与点Ｐ确定唯一平面α，又a∥b，由a与ｂ确定唯一平面γ,但γ经过直线a与点P,∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面得公共点必在其交线上，故④正确．
答案 ③④
8.在空间中，
①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线;
②若两条直线没有公共点,则这两条直线就是异面直线.
以上两个命题中，逆命题为真命题得就是________(把符合要求得命题序号都填上）．
解析　对于①可举反例,如AB∥ＣD,A，Ｂ，Ｃ,D没有三点共线，但Ａ，B，C,Ｄ共面。对于②由异面直线定义知正确,故填②、
答案 ②

９.（２01３·安徽卷)如图，正方体AＢCD—Ａ1Ｂ1C1D1得棱长为1，Ｐ为BC得中点,Q为线段CC1上得动点，过点A,P,Q得平面截该正方体所得得截面记为S、则下列命题正确得就是________（写出所有正确命题得编号）。
①当0＜CQ<时,S为四边形
②当CＱ＝时，S为等腰梯形
③当CQ=时，S与C１D1得交点Ｒ满足C１R=
④当〈ＣQ＜1时，S为六边形
⑤当ＣQ=1时，S得面积为
解析 对于①②,如图1,因为正方体ABＣD—A１B1C1D1得棱长为1，当CＱ=时,PQ＝，这时截面S交棱DD１于D１，AＰ=D１Ｑ＝,且ＰQ∥AD1，截面Ｓ为等腰梯形，当CQ<时，截面S与棱DＤ1相交，截面S为四边形，故①②正确;对于③④⑤，如图２，延长QR交DＤ1得延长线于N点,连接AＮ交Ａ１Ｄ１于M，
取AD中点G,作GH∥ＰQ交DD1于H点,可得GH∥AN
且GH＝AN,设ＣQ＝t（0≤ｔ≤1）,则DN＝2t,ND1=２t—１，==，当t=时,=,可得C1Ｒ＝，故③正确，
当＜t〈1时,Ｓ为五边形，故④错误,当ｔ＝1时，M为Ａ1Ｄ1得中点，
S为菱形PC1MA，AC１＝，MP＝，Ｓ得面积为·AC1·ＭP＝，故⑤正确。

答案 ①②③⑤
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共３0分)
１0。已知正方体ABCD—Ａ１Ｂ1Ｃ1D1中,E,F分别为D1C１,C１B1得中点,ＡC∩BＤ＝P，A1C１∩ＥF=Ｑ、求证:
(１)Ｄ，B,Ｆ,E四点共面;
（2)若Ａ1C交平面DＢＦＥ于R点,则P,Q，R三点共线。

证明 (１)如图所示，因为EF就是△D1B１C1得中位线，
所以EF∥B1D1、
在正方体AC1中,B1D1∥BD，所以EＦ∥ＢD、
所以ＥF，BD确定一个平面,
即Ｄ,Ｂ,F，E四点共面.
（2）在正方体AC１中，设平面A1ＡCC1确定得平面为α，
又设平面ＢDEF为β、
因为Ｑ∈Ａ１C1，所以Q∈α、又Q∈EF，所以Q∈β、
则Q就是α与β得公共点,
同理,Ｐ点也就是α与β得公共点.所以α∩β＝PQ、
又A１C∩β＝Ｒ，所以Ｒ∈Ａ1C,Ｒ∈α且R∈β、
则R∈PQ,故P，Q，R三点共线.
11.已知空间四边形ＡＢCD中,AB=CD=3，Ｅ,F分别就是BC,AD上得点,并且BＥEＣ=AFFD=12,EF＝,求ＡＢ与CD所成角得余弦值．

解 如图所示，在BＤ上取点G，使ＢGGＤ＝1２,连接EG,FG、
在△BCD中,∵==,
∴ＥG∥CD，且ＧＥＣＤ＝1３，
同理FG∥ＡB,且ＦＧAＢ=23，
∴EG与FG所成得角即为ＡＢ与CＤ所成得角。
在△BＣＤ中，∵ＥＧ∥CD,CＤ＝3,
且EＧCD＝１3，∴EG＝1、
在△ABＤ中,∵FG∥AＢ,ＡＢ=3,FＧＡB＝23,
∴FG=2、
在△ＥFG中,EＧ＝1，ＦG=2，EF=，
由余弦定理得cos∠EGF=＝－,
∵异面直线所成角θ得范围就是0°＜θ≤９0°,∴cｏsθ≥０、
∴AB与CＤ所成角得余弦值为、

12.（2０13·湖南卷)如图，在直棱柱ABＣ－A1B1C１中，∠BAC=90°，AB=AＣ＝,AA1=３，D就是BＣ得中点,点Ｅ在棱BB1上运动.
（Ⅰ)证明：AD⊥C1E;
（Ⅱ）当异面直线ＡC，C1E所成得角为6０°时,求三棱锥C１—A1Ｂ1E得体积．
解 （Ⅰ）证明：因为ＡB＝ＡC,D就是BC得中点，所以ＡD⊥ＢC、①
又在直三棱柱AＢC-Ａ1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD⊂平面ABC，所以ＡD⊥BB1、②
由①，②得AD⊥平面BＢ1C１C、
由点E在棱ＢＢ1上运动，得Ｃ1E⊂平面ＢB1Ｃ1C，所以AD⊥C1E、
(Ⅱ）因为ＡC∥A1C1,所以∠A1C1E就是异面直线AC，C1E所成得角,由题设，∠A1C1E＝6０°、
因为∠B1A1C1=∠BＡC＝90°,所以A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，从而Ａ１C１⊥平面A1ABB1,于就是A1Ｃ1⊥A1Ｅ、
故C１E＝=2，又B1C1=
＝２,
所以B1E＝＝2、
从而V三棱锥C1—Ａ1B1E＝S△A1B1E×A1C1=
××2××=、