【江苏省南通市】2017年高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(八)-答案.pdf

1/11 江苏省南通市江苏省南通市 2017 年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（八）年高考（数学学科基地命题）模拟数学试卷（八）答答 案案 一、填空题 10 21 345 4600 5(1,3)66 737 81 008 973 1022143xy 11102m 1232 135 141a 二、解答题 15解：（1）3131sin()cossincoscossincossin()622226CCCCCCCC 1sin()62C，因为(0,)C，所以 5(,)666C ，所以66C 或56，即3C 或（舍去）（2）因为2sincRC，所以24R，要使三角形周长最大，即要求ab最大 所以，312(sinsin)4(sinsin()4(sincossin)4 3sin()3226abRABAAAAAA 因为2(0,)3A，所以，当3A时，ab有最大值 此时，ABC为等边三角形，2 3c，2/11 所以132 32 33 322ABCS 16解：（1）连 AC 交 BD 于 O，连 CO；因为ABCD，2ABDC，所以2AOCO，又因为2EMCM，所以，AEMO，又因为AE 面BDM，MO面BDM，所以AEBDM面（2）设1DC，因为DCBC，1BC，所以2BD，在梯形ABCD中，ABCD，所以45ABDBDC，因为2ABDC，所以在ABD中，由余弦定理知222cos2ADABBDAB BDABD，因为2AB，所以222ADBDAB，所以90ADB，所以，ADBD，因为ADEFABCD平面平面，BDAD，ADEFABCDAD平面平面，BD面ABCD，所以BDADEF平面，因为BDBDM平面，所以BDMADEF平面平面 17解：（1）过 O 作直线OEAB于 E，则10OE，设EOA，则3,()442EOB，故10tanAE，310tan()4BE，33sin()10sin3sin4410tantan()10()334coscos()coscos()44AB，又32212coscos()cos(cossin)sin(2)422244，由42，得 32(,)444，故max322coscos()44，当且仅当242，38时取等号 此时，AB 有最小值为20(21)即两出入口之间距离的最小值为20(21)（2）由题意可知直线 AB 是以 O 为圆心，10 为半径的圆 O 的切线，根据题意，直线 AB 与圆 C 要相离，其临界位置为直线 AB 与圆 C 相切，设切点为 F，此时直线 AB 为圆 C 与圆 O 的公切线 因为，出入口 A 在古建筑群和市中心 O 之间，如图，以 O 为坐标原点，以 CO 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系xOy，由5CF，10OE，3/11 因为圆 O 的方程为22100 xy，圆 C 的方程为22(30)25xy，设直线 AB 的方程为(0)ykxt k，则2210,(1)1305,(2)1tkktk，所以，（1）/（2）得|2|30|tkt，所以20tk或60tk，所以此时(20,0)A 或(60,0)A（舍去），此时20OA，又由（1）知当ABON时，10 2OA，综上，(10 2,20)(60,)OA 即设计出入口 A 离市中心 O 的距离在10 2 km到 20 km 之间时，才能使高架道路及其延伸段不经过保护区 18解：（1）设点,()P x y，224xy，22()(2)PAxay，22()(1)PBxmy，因为PAkPB，所以22222 2()()()()1 xaykxmy，又224xy，化简得222248 22)5(axzakmxym，因为 P 为圆 O 上任意一点，所以2222222428(5)amkkakm，又0m，0k，解得221kam，所以常数2k （2）法一：设00(),M x y，M 是线段 NE 的中点，0022,()2Nxyt，又 MN 在圆 C 上，即关于 x，y 的方程组220022001(22)2()1xyxyt有解，化简得220020018470 xyxtyt有解，4/11 即直线 n：28470 xtyt与圆 C：221xy有交点，则22|7|16416otdnt，化简得：422150tt，解得5,5t 法二：设过 E 的切线与圆 C 交于切点 F，2EFEM EN，又 M 是线段 NE 的中点，所以2ENMN，EMMN，所以222EFMN，又22222221 3EFEOOFtt，所以2MN，238t ，所以5,5t 19解：（1）由已知，得1()221fxxax ，据题意，(1)0f，得到1a 所以2()lnf xxxx，(21)(1)1()21xxfxxxx 由0 x，令()0fx，得01x，令()0fx，得1x，所以函数()f x在1x 处取得极值，所以1a，()f x的单调增区间为(0,1)，()f x的单调减区间为(1,+)(2)257()()ln22xxg xf xbxxb，(0,2016)x 则71()22g xxx，令()0g x，得2x，负舍 当02x时，()0g x，()g x在(0,2)上递增，当22016x时，()0g x，()g x在(2,2016)上递减，所以函数5()()2g xf xbx在区间(0,2016)上只有一个零点，等价于(2)0g，解得ln23b（3）由条件可得2ln()xkh xxxx，因为12()()0h xh x，所以2211222ln2lnxxxx，令2()2lnxxx，所以222(1)()2xxxxx，当01x时，()0 x，当1x 时，()0 x，所以()x在(0,1)上递增，在(1,)上递减，5/11 所以()x在1x 处有极大值，所以1201xx，令()()(2)s xxx，(0,1)x，242()4402(2)()2s xxxxx，()s x在(0,1)上单调递增，()(1)0s xs，有211()()(2)xxx，因为，()x在(1,)上递减，且21x，121x，所以211222xxxx 20解：（1）因为211112aaaa，322114aaaa，且na为等比数列 所以2213aa a，即211111()()24aa a，解得113a 当113a 时，当2n 时，1111111()1()11122()13321()2nnnnaaaa 1n 适合上式，所以na为等比数列，即113a 因为111()1()21122.()()13221()2mn mnmnmnmaaaa ，所以2112114 1|()()|()()()32232232nmnmmnmaa，令41()32mt，则24log3mt，故可取 k 不小于24log3t的正整数，则对任意,nmk nmNN，4 1|()32mnmaat（2）因为12211113(1 3).2(1)1 3nnnaaaana，123131222222nnnana 6/11 由2320nna知na递增，所以4naa对nN恒成立当且仅当满足23234300aaaaaa，即22070aa，解得270a 所以2a的取值范围是 7,0 21A因为，PA 是圆 O 的切线，所以，PABACB，又P是公共角，所以，ABPCAP，所以，2ACAPABPB，所以，2ACAB，又因为，AD 是BAC的平分线 所以，2ACCDABDB，所以，2CDDB B因为13 02AAa11 01 0 0320 1+13ab ab 所以1,20.3aab解得1a=，23b 所以，3 02 1A，23 03 09 02 12 18 1A C由3143xtyt（t 为参数），可得直线 l 的普通方程为4350 xy，由2 cos(0)aa得22cosa 所以，圆 C 的标准方程为222()xaya，若直线 l 与圆 C 恒有公共点，所以，22|45|4(3)aa 7/11 所以，实数 a 的取值范围59a 或5a D因为0 x，0y，0z，所以由柯西不等式得 2222(2)(2)(2)()()222xyzyzzxxyxyzyzzxxy 又因为1xyz，所以2222()1222(2)(2)(2)3xyzxyzyzzxxyyzzxxy 当且仅当222yzzxxyxyz时取等号 22（1）因为，AB 是圆 O 的直径，所以，ACCB 以 C 为原点，CB 为 x 轴正方向，CA 为 y 轴正方向，CD 为 z 轴正方向，建立如图所示的直角坐标系 因为，2ACBCBE，所以，()0,0,0C，()2,0,0B，()0,2,0A，()1,1,0O，()2,0,2E，()0,0,2D，所以，(0,2,2)AD 设 BE 边上是否存在一点 M，设(2,0,),0,2M 所以，(2,0,)CM，所以，221cos,|22 2 4AD CM，解得2，所以，当点 M 取点 E 时，AD 和 CM 的夹角为60（2）平面 BCE 的法向量(0,1,0)m，设平面 OCE 的法向量000(,)nx y z 由(2,0,2)CE，(1,1,0)CO，所以，00n CEn CO，则0000220,0,xzxy，故0000,zxyx 令01,(1,1,1)xn，因为，二面角 O-CE-B 是锐二面角，记为，则|3|cos,|3|m nm nmn 8/11 23（1）当3n 时，1,2,3P，其非空子集为：1，2，3，1,2，1,3，2,3，1,2,3，则所有满足题意的集合对(),A B为：(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,31,),(,2 3)共 5 对，所以35a；（2）设 A 中的最大数为 k，其中11kn，整数3n，则 A 中必含元素 k，另元素 1，2，1k 可在 A 中，故 A 的个数为：0111111CCC2kkkkk，B 中必不含元素 1，2，k，另元素1k，2k，k 可在 B 中，但不能 都不在 B 中，故 B 的个数为：12CCC21n kn kn kn kn k，从而集合对(),A B的个数为1112(21)22kn knk，所以，111111112(22)(1)2(2)2112nnnknknnann 9/11 江苏省南通市江苏省南通市 2017 年高考年高考（数学学科基地命题（数学学科基地命题）模拟模拟数学数学试卷试卷（八八）解解 析析 一、填空题 1由0,1AB，可得21x，所以，0 x 2法一：由(1 i)1i(1)(1)izaaa，所以22(1)(1)zaa，所以 222(1)(1)2aa，所以21a，即1a ，所以20162016()()1aii 法二：由2(1 i)1i212zaa，所以212a，所以21a，即1a ，所以20162016()()1aii 3因为tan2，所以，22220162sincos2tan4sin(2)sin23sincos1tan5 4设高二女生人数为x人，所以，0.192000 x，即380 x，所以，高三人数为 2000-650-370-380=600 人 5根据偶函数的性质，可得2323xx，从而可得13x，从而不等式的解集为1,3 6根据算法流程图，所以 故输出结果为 6 7所有基本事件共 12 个：(2,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(1,1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(0,1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)其中，baAB的事件共有 9 个，分别为(2,1)，(2,0)，(1,1)，(1,0)，(1,1)，(0,1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)所以，概率93()124P E 8 显然数列na中通项0na，由1111nnnnnnaaaaaa可得，1111nnnnnnnnaaaaaaaa 两边取倒数可得：111111nnnnaaaa，所以1na是等差数列，首项1112a，公差 d=11122，所以1111222nnna，即2nan，所以，由20172naa可得2222016n，所以1008n 9()sin3cos2sin()3f xxxaxa，函数在区间0,2上恰有三个零点 x1，x2，x3，则3a 令3sin()32x，所以233xk或者233xk，所以2xk或者23xk，所以10 x，23x，32x，即12373xxx 2112(1 3)12(1333)6(31)20171 3kkks6k 10/11 yxONMDCBA10.依题意知21,0F，设11,M x y，由椭圆的定义可得253MF，由抛物线定义得21513MFx，即123x，将123x 代入抛物线方程得12 63y，进而由22222 62331ab及221ab，解得224,3ab，故椭圆1C的方程为22143xy 11法一：由题意得：当0m时，函数2()222f xxmx的对称轴02m，且(0)1f，所以，此时()f x在0,1上至多有一个零点，而()2f xmx在1,没有零点所以，0m不符合 题意当0m时，函数2()221f xxmx的对称轴02m，且(0)1f，所以，此时()f x在0,1 上至多有一个零点，而()2f xmx在1,至多有一个零点，若()f x在0,有且只有 2 个零点，则要求012221020mmm ，解之可得102m综上：102m 法二：由题意得：x0 不是函数 f(x)的零点当 0 x1 时，由 f(x)0，得12mxx，此时函数12yxx在0,1上单调递减，从而1122yxx，所以，当 m12时，f(x)在0,1上有且只有一个零点，当 x1时，由 f(x)0，得2mx，此时函数2yx 在1,上单调递增，从而22,0yx ，所以，当2m0 时，f(x)在1,上有且只有一个零点，若()f x在0,有且只有 2 个零点，则要求1220mm ，解之可得102m综上，102m 12 令2,2(0,0)xy m x y nmn，则问题转化为6,mn求41mn的最小值，而41()()9mnmn，即41932mnmn故知最小值为32 135以 AB 所在直线为x轴，过点 A 作垂直于直线 AB 所在的直线 为y轴，建立如图所示的直角坐标系 设BMCNBCCD=（01），所以，BM，2CN，所以，3(2,)22M，)23,225(N，11/11 所以，2535444AM AN2225(1)6 ，因为01，所以，25AM AN，所以AM AN的取值范围是52，即最大值为 5 14仅考虑函数()f x在0 x 时的情况，可知33122 3()122 3xxxf xxxx，函数()f x在2x 时，取得极大值 16 令31216xx，解得，4x 作出函数的图象（如右图所示）函数()f x的定义域为0,m，值域为20am，分为以下情况考虑：（1）当02m时，函数的值域为20(12)mm，有22(12)mmam，所以12amm，因为02m，所以4a；（2）当24m时，函数的值域为0 16，有216am，所以216am，因为24m，所以14a；（3）当4m时，函数的值域为20(12)m m，有22(12)m mam，所以12amm，因为4m，所以1a；综上所述，实数 a 的取值范围是1a 16 O 2 4 x y