立体几何线线垂直专题(史上).doc

立体几何垂直总结
1、线线垂直得判断：
线面垂直得定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线与两条平行直线中得一条垂直，也必垂直平行线中得另一条。
2、线面垂直得判断：
（1）如果一直线与平面内得两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中得一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中得一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线得直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直得判断：
一个平面经过另一个平面得垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直得常用方法：
A
E
D
B
C
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，，就是得中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。
证明：（1） 同理，
又∵ ∴平面
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面
例2、（菱形得对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥得底面就是菱形．，为得中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．

例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,,求证：面．
证明：°
又面 面
又面

图2
例4、(直径所对得圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，就是圆O得直径，就是圆O得圆周上异于、得任意一点，且，点就是线段得中点、求证：平面、
证明：∵所在平面，就是得弦，∴、
又∵就是得直径，就是直径所对得圆周角，∴、
∵平面，平面、
∴平面，平面，∴、
∵，点就是线段得中点、∴、
∵,平面，平面、
∴平面、
例5、（证明所成角为直角）在如图所示得几何体中，四边形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF、 求证：BD⊥平面AED；
证明　因为四边形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°、
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD、
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，
所以BD⊥平面AED、
例6、（勾股定理得逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC得中点．
求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF、
例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

证明：连结AC
∴ AC为A1C在平面AC上得射影

练习；
1、 如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC得中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上、证明：AP⊥BC；
2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D就是棱AA1得中点，DC1⊥BD、证明：DC1⊥BC。
3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4、将△CBD沿BD折起到△EBD得位置，使平面EBD⊥平面ABD、(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥EABD得侧面积．

、
4、在正三棱柱中，若AB=2，，求点A到平面得距离。
5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD就是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别就是AB、PC得中点，PA＝AD、
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD、
、
6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB得中点，点F为线段CD上得一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE得位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A1CB、
(2)求证：A1F⊥BE、
(3)线段A1B上就是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
立体几何垂直总结
1、线线垂直得判断：
线面垂直得定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线与两条平行直线中得一条垂直，也必垂直平行线中得另一条。
2、线面垂直得判断：
（1）如果一直线与平面内得两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中得一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中得一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线得直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直得判断：
一个平面经过另一个平面得垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直得常用方法：
A
E
D
B
C
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，，就是得中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。
证明：（1） 同理，
又∵ ∴平面
（2）由（1）有平面
又∵平面， ∴平面平面
例2、（菱形得对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥得底面就是菱形．，为得中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面平面．

例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,,求证：面．
证明：°
又面 面
又面

图2
例4、(直径所对得圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，就是圆O得直径，就是圆O得圆周上异于、得任意一点，且，点就是线段得中点、求证：平面、
证明：∵所在平面，就是得弦，∴、
又∵就是得直径，就是直径所对得圆周角，∴、
∵平面，平面、
∴平面，平面，∴、
∵，点就是线段得中点、∴、
∵,平面，平面、
∴平面、
例5、（证明所成角为直角）在如图所示得几何体中，四边形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF、 求证：BD⊥平面AED；
证明　因为四边形ABCD就是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°、
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD、
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED，
所以BD⊥平面AED、
例6、（勾股定理得逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC得中点．
求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF、
例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

证明：连结AC
∴ AC为A1C在平面AC上得射影

练习；
1、 如图在三棱锥P—ABC中，AB＝AC，D为BC得中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上、证明：AP⊥BC；
2、直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D就是棱AA1得中点，DC1⊥BD、(1)证明：DC1⊥BC；
证明　由题设知，三棱柱得侧面为矩形．由于D为AA1得中点，故DC＝DC1、
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC、
又DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD、
因为BC⊂平面BCD，所以DC1⊥BC、
3．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4、将△CBD沿BD折起到△EBD得位置，使平面EBD⊥平面ABD、
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求三棱锥EABD得侧面积．
(1)证明：在△ABD中，
∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，
设F为AD边得中点，连接FB，
∴△ABF为等边三角形，
∠AFB＝60°，
又DF＝BF＝2，∴△BFD为等腰三角形．
∴∠FDB＝30°，故∠ABD＝90°、
∴AB⊥BD、又平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，
∴AB⊥平面EBD、∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE、
(2)【解析】由(1)知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD、
在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE＝DB·DE＝2、
∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE、∵BE＝BC＝AD＝4，
∴S△ABE＝AB·BE＝4、∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD、而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE＝AD·DE＝4、综上，三棱锥EABD得侧面积S＝8＋2、
4、在正三棱柱中，若AB=2，，求点A到平面得距离。
6 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD就是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别就是AB、PC得中点，PA＝AD、
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD、
证明　(1)∵PA⊥底面ABCD，∴CD⊥PA、
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD、
(2)取PD得中点G，连接AG，FG、又∵G、F分别就是PD、PC得中点，
∴GF綊CD，∴GF綊AE，∴四边形AEFG就是平行四边形，∴AG∥EF、
∵PA＝AD，G就是PD得中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG平面PAD、∴CD⊥AG、∴EF⊥CD、
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD、
6、如图7－5－9(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB得中点，点F为线段CD上得一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE得位置，使A1F⊥CD，如图(2)．

(1)求证：DE∥平面A1CB、
(2)求证：A1F⊥BE、(3)线段A1B上就是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
【规范解答】　(1)因为D，E分别为AC，AB得中点，
所以DE∥BC、2分
又因为DE⊄平面A1CB，
所以DE∥平面A1CB、4分
(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC、
所以DE⊥A1D，DE⊥CD、
所以DE⊥平面A1DC、6分
又A1F⊂平面A1DC，
所以DE⊥A1F、
又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，
所以A1F⊥平面BCDE，
又BE⊂平面BCDE，所以A1F⊥BE、9分
(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ、理由如下：

如图，分别取A1C，A1B得中点P，Q，则PQ∥BC、
又因为DE∥BC，所以DE∥PQ、
所以平面DEQ即为平面DEP、
由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C、
又因为P就是等腰三角形DA1C底边A1C得中点，
所以A1C⊥DP、又DP∩DE＝D，所以A1C⊥平面DEP、12分
从而A1C⊥平面DEQ、
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ、14分