立体几何线线垂直专题(史上).doc

立体几何垂直总结1、线线垂直得判断： 线面垂直得定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线与两条平行直线中得一条垂直，也必垂直平行线中得另一条。2、线面垂直得判断： （1）如果一直线与平面内得两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中得一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中得一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线得直线必垂直于另个平面。3、面面垂直得判断： 一个平面经过另一个平面得垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直得常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，就是得中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。 证明：（1） 同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面例2、（菱形得对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥得底面就是菱形，为得中点（）求证：平面；（）求证：平面平面例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,求证：面证明： 又面 面 又面 图2例4、(直径所对得圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，就是圆O得直径，就是圆O得圆周上异于、得任意一点，且，点就是线段得中点、求证：平面、证明：所在平面，就是得弦，、 又就是得直径，就是直径所对得圆周角，、 平面，平面、 平面，平面，、 ，点就是线段得中点、 ,平面，平面、 平面、 例5、（证明所成角为直角）在如图所示得几何体中，四边形ABCD就是等腰梯形，ABCD，DAB60，AEBD，CBCDCF、 求证：BD平面AED；证明因为四边形ABCD就是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120、又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD、又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED、例6、（勾股定理得逆定理）如图775所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC得中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF、例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上得射影练习；1、 如图在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC得中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上、证明：APBC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D就是棱AA1得中点，DC1BD、证明：DC1BC。3如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4、将CBD沿BD折起到EBD得位置，使平面EBD平面ABD、(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD得侧面积、4、在正三棱柱中，若AB=2，求点A到平面得距离。5、如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD就是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别就是AB、PC得中点，PAAD、求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD、6、如图759(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB得中点，点F为线段CD上得一点，将ADE沿DE折起到A1DE得位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB、(2)求证：A1FBE、(3)线段A1B上就是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由立体几何垂直总结1、线线垂直得判断： 线面垂直得定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线与两条平行直线中得一条垂直，也必垂直平行线中得另一条。2、线面垂直得判断： （1）如果一直线与平面内得两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中得一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。（3）一直线垂直于两个平行平面中得一个平面，它也垂直于另一个平面。（4）如果两个平面垂直，那么在个平面内垂直于交线得直线必垂直于另个平面。3、面面垂直得判断： 一个平面经过另一个平面得垂线，这两个平面互相垂直。证明线线垂直得常用方法：AEDBC例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形中，就是得中点。求证：（1）平面CDE;（2）平面平面。 证明：（1） 同理，又 平面（2）由（1）有平面又平面， 平面平面例2、（菱形得对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥得底面就是菱形，为得中点（）求证：平面；（）求证：平面平面例3、(线线、线面垂直相互转化)已知中,面,求证：面证明： 又面 面 又面 图2例4、(直径所对得圆周角为直角)如图2所示，已知垂直于圆O在平面，就是圆O得直径，就是圆O得圆周上异于、得任意一点，且，点就是线段得中点、求证：平面、证明：所在平面，就是得弦，、 又就是得直径，就是直径所对得圆周角，、 平面，平面、 平面，平面，、 ，点就是线段得中点、 ,平面，平面、 平面、 例5、（证明所成角为直角）在如图所示得几何体中，四边形ABCD就是等腰梯形，ABCD，DAB60，AEBD，CBCDCF、 求证：BD平面AED；证明因为四边形ABCD就是等腰梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120、又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，即ADBD、又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED，所以BD平面AED、例6、（勾股定理得逆定理）如图775所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC得中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF、例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C平面BC1D 证明：连结AC AC为A1C在平面AC上得射影练习；1、 如图在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC得中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上、证明：APBC；2、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBCAA1，D就是棱AA1得中点，DC1BD、(1)证明：DC1BC；证明由题设知，三棱柱得侧面为矩形由于D为AA1得中点，故DCDC1、又ACAA1，可得DCDC2CC，所以DC1DC、又DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD、因为BC平面BCD，所以DC1BC、3如图，平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4、将CBD沿BD折起到EBD得位置，使平面EBD平面ABD、(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD得侧面积(1)证明：在ABD中，AB2，AD4，DAB60，设F为AD边得中点，连接FB，ABF为等边三角形，AFB60，又DFBF2，BFD为等腰三角形FDB30，故ABD90、ABBD、又平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，AB平面EBD、DE平面EBD，ABDE、(2)【解析】由(1)知ABBD，CDAB，CDBD，从而DEBD、在RtDBE中，DB2，DEDCAB2，SDBEDBDE2、AB平面EBD，BE平面EBD，ABBE、BEBCAD4，SABEABBE4、DEBD，平面EBD平面ABD，ED平面ABD、而AD平面ABD，EDAD，SADEADDE4、综上，三棱锥EABD得侧面积S82、4、在正三棱柱中，若AB=2，求点A到平面得距离。6 如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD就是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别就是AB、PC得中点，PAAD、求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD、 证明(1)PA底面ABCD，CDPA、又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，CD平面PAD，CDPD、(2)取PD得中点G，连接AG，FG、又G、F分别就是PD、PC得中点，GF綊CD，GF綊AE，四边形AEFG就是平行四边形，AGEF、PAAD，G就是PD得中点，AGPD，EFPD，CD平面PAD，AG平面PAD、CDAG、EFCD、PDCDD，EF平面PCD、6、如图759(1)，在RtABC中，C90，D，E分别为AC，AB得中点，点F为线段CD上得一点，将ADE沿DE折起到A1DE得位置，使A1FCD，如图(2)(1)求证：DE平面A1CB、(2)求证：A1FBE、(3)线段A1B上就是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由【规范解答】(1)因为D，E分别为AC，AB得中点，所以DEBC、2分又因为DE平面A1CB，所以DE平面A1CB、4分(2)由已知得ACBC且DEBC，所以DEAC、所以DEA1D，DECD、所以DE平面A1DC、6分又A1F平面A1DC，所以DEA1F、又因为A1FCD，CDDED，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE、9分(3)线段A1B上存在点Q，使A1C平面DEQ、理由如下：如图，分别取A1C，A1B得中点P，Q，则PQBC、又因为DEBC，所以DEPQ、所以平面DEQ即为平面DEP、由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C、又因为P就是等腰三角形DA1C底边A1C得中点，所以A1CDP、又DPDED，所以A1C平面DEP、12分从而A1C平面DEQ、故线段A1B上存在点Q，使得A1C平面DEQ、14分