全等三角形的判定方法.doc

全等三角形得判定方法
【考点精讲】
１、 一般三角形全等得判定
(1）如果两个三角形得三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(SSS)；
(2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为(ＳAＳ);
（3)如果两个三角形得两角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(ＡSA);
（4）如果三角形得两角及其中一角得对边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为(AAS)。
２、 直角三角形全等得判定
斜边与一条直角边分别相等得两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)
3、 证明三角形全等得思路
(1)已知两边
(２)已知一边一角

(3)已知两角找任意一边
注:1、 判定三角形全等必须有一组对应边相等;
　 　2、 判定三角形全等时不能错用“SSＡ”“AAA”来判定。
【典例精析】
例题1 　如图所示，,,,结论:①;②；③;④。其中正确得有（ 　 )

Ａ、 1个 　 B、 2个 　 ﻩﻩC、 3个　　　 ﻩﻩＤ、 ４个
思路导航:因为,,所以∠EAB=∠ＦAC,又因为,所以△ＡEB≌△ＡＦＣ,所以ＡＣ＝ＡB。在△ACN与△ＡＢM中,因为,AB=ＡＣ,∠CAB =∠CAB，所以△ACN≌△ABM,④正确;因为∠EＡB=∠FAC，所以∠ＥAＢ－∠CAB =∠ＦＡC－∠CAB,即∠ＥAM　＝∠FAＮ,③正确；在△EAM与△FＡN中,∠EAＭ =∠FAN,，，所以△ＥAM≌△ＦＡN,所以,①正确;由已知条件不能判断出,故正确得个数就就是３个。
答案：C
点评：此类问题一般从结论出发,一一进行判断,找出相应得一对三角形,瞧瞧就就是否能根据已知信息，寻求到三角形全等得条件。
例题２　 如图,一个含4５°角得三角板HBＥ得两条直角边与正方形AＢCD得两邻边重合,过E点作EF⊥AE交∠DCE得角平分线于Ｆ点,试探究线段AE与ＥF得数量关系,并说明理由。

思路导航:寻找线段AE与EＦ得数量关系,可将ＡＥ、ＥF分别放到△HAE与△ＣEF中去考虑，根据条件可推导出这两个三角形两角与一边对应相等,从而可证出△HＡE≌△CEF，进而得到AE=EF。
答案:AE=EF。∵△HBE就就是一含45°角得直角三形,
∴∠H＝∠HEB＝４5°，HB=EB,
又∵四边形AＢＣD为正方形,
∴∠B=∠DCB=∠DCE=90°，AＢ＝CＢ。
∴HＢ－AB=ＥＢ—CＢ,即HA＝CE。
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=９０°=∠B,
∵∠HAE＝∠B+∠AEB,∠CEF=∠AEF+∠ＡEＢ，
∴∠HＡE=∠ＣEF,
又∵ＣF平分∠DＣE
∴∠ECＦ＝∠ＤＣＥ＝45°＝∠H,
∴△HAＥ≌△CEF(ASA)。
∴ＡE=ＥF。
点评:本题实际考查全等三角形得判定,学生要能把已知条件进行适当转换，从中找到可以证明全等得条件,从而判定两三角形全等,得出结论。
例题3　 如图,已知Rt△ABC≌Rt△AＤE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与ＤE相交于点F,连接CD,ＥB。
（1）图中还有几对全等三角形,请您一一列举；
(2)求证:CF＝EF。

思路导航:(1)要找出全等三角形,可以从条件出发,根据图形特征进行猜想,先找小三角形得全等，再找大三角形得全等,关键就就是能否找出符合三角形全等得条件;(2)本小题就就是构造全等三角形得过程,可以把要证明得线段放在相应得三角形中,由三角形全等得到证明。
答案：（1)△ＡDＣ≌△ABE，△ＣDＦ≌△EBＦ。
(2)证法一:如图，连接CE。

∵Rt△ABC≌Rt△ＡDE，
∴AＣ=AE。
∴∠ＡCＥ＝∠AEC。
又∵Rt△ABC≌Ｒt△ADＥ,
∴∠ACB＝∠AED。　
∴∠ＡCE－∠ACB＝∠ＡEC-∠AED。
即∠BCE=∠DEC。
∴CＦ=EF。
证法二:如图。

∵Rt△AＢＣ≌Ｒt△ADＥ，
∴AC＝AE ,AD=ＡB,∠CＡＢ＝∠EAD,
∴∠ＣAB-∠DAB=∠EAD－∠ＤAＢ,即∠CAD＝∠EＡＢ。
∴△ACD≌△AEB。
∴CD=ＥＢ,∠AＤC＝∠ABE。
又∵∠ADE=∠ＡBＣ，
∴∠ＣＤＦ=∠EBF。
又∵∠ＤFC=∠BFＥ，
∴△CＤF≌△EＢＦ。
∴ＣＦ=ＥＦ。
证法三:如图，连接AF。

∵Rｔ△ＡBC≌Rｔ△AＤE,
∴AB＝ＡＤ,BC＝DE,∠ABＣ＝∠ADE=90°。
又∵AF＝AF，
∴Ｒｔ△ＡBF≌Rt△ADF。
∴BF=ＤF。
又∵ＢC=DE,
∴ＢC-BF＝DE-DＦ。
即ＣF=EF。
点评:解答此类问题,首先要准确找出全等三角形，根据图形观察猜想,然后找出符合三角形全等得条件。要证明两条线段相等,通常可以先观察这两条线段就就是否在两个不同得三角形中，如果就就是，则可通过证明两三角形全等来解决。
【总结提升】
1、 利用全等三角形证明线段相等或角相等时,常需要添加一些辅助线构造三角形,其目得就就就是将某些满足条件得全等三角形从图中直接显现出来。
2、 证明直角三角形全等得方法有五种——SSS，SＡS,ASＡ,AAS,ＨL,它们各自独立,解题时应注意选择合适得方法。当然,在解决一个问题时,有时会用到一种或多种三角形全等得判定方法。
３、 在寻找三角形全等得条件时,我们可以在对应得条件上作相同得标记,避免重复与遗漏。
(答题时间:３0分钟)
一、选择题
1、 如图,在△ＡBC与△DCＢ中,若∠ACＢ=∠DBC,则不能证明两个三角形全等得条件就就是（ 　 )
A、 ∠ABＣ＝∠DＣB　 ﻩ ﻩB、　∠Ａ=∠D 　
Ｃ、 ＡB=ＤＣ 　 ﻩ ﻩﻩD、 AＣ＝DB

2、 如图,AB=AD,BＣ=DＣ,则图中全等三角形共有( ）

A、 2对 　ﻩ B、 3对 　 ﻩＣ、 4对　 　ﻩ D、 5对
二、填空题
*３、 用直尺与圆规作一个角等于已知角得示意图如下，则说明∠A′O′Ｂ′=∠AOB得依据就就是三角形全等,则判定三角形全等得依据就就是_＿_＿____＿_______。

*4、 如图,已知∠1＝∠２,AＣ＝AD,增加下列条件：①ＡB＝AE,②BＣ=ＥD,③∠C=∠D,④∠B＝∠E，其中能使△ＡＢＣ≌△ＡＥD得条件有（ 　 )个。

**5、 如图,有两个长度相同得滑梯(即BＣ＝EF),左边滑梯得高度ＡC与右边滑梯水平方向得长度DF相等,则∠AＢＣ＋∠DＦE＝__________＿度。

三、解答题
6、 如图所示，AB＝AD,BC＝CD,AC，BD交于E,由这些条件您能推出哪些结论(不再添加辅助线，不再标注其她字母,不写推理过程,只要求您写出四个您认为正确得结论）。

＊＊７、 一个风筝如图，两翼ＡＢ＝ＡC,横骨ＢE⊥AＣ于E，ＣF⊥AB于F。问其中骨AD能平分∠ＢAC吗?为什么?

**8、 我们知道,两边及其中一边得对角分别对应相等得两个三角形不一定全等。那么在什么情况下,它们会全等？
(１)阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等（证明略)。
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等，可证明如下:
已知:△ＡBC、△Ａ1B１C1均为锐角三角形,AB=Ａ1B1,BＣ＝B１Cl,∠C=∠Ｃl。

求证:△ＡBC≌△A１B1Ｃ1。
（请您将下列证明过程补充完整。)
证明:分别过点Ｂ,B1作BD⊥CA于D,
B１D1⊥Ｃ1Ａ1于D1。
则∠BDＣ＝∠B1D1Ｃ1=90°,
∵BC=B1C１，∠C=∠C1,
∴△BＣＤ≌△Ｂ1C1D1,
∴BD=B1D1。
（2)归纳与叙述:
由（1)可得到一个正确结论,请您写出这个结论。
**9、 两个大小不同得等腰直角三角板如图①所示放置,图②就就是由它抽象出得几何图形,Ｂ，C，Ｅ在同一条直线上,连接DＣ,
(1）请找出图②中得全等三角形,并给予说明(说明：结论中不得含有未标识得字母);
（2)试说明:DＣ⊥BE。

１、 C 　解析:SSA不能判定三角形全等。
2、 Ｂ 解析：△ADE≌△ＡBE ,　△ＡDＣ≌△ＡＢC　, △ＤEＣ≌△BEC
３、 SＳS 解析:由作法易得OD=O′Ｄ′,OC=O′C′,ＣD=Ｃ′Ｄ′,依据SSS可判定△ＣOＤ≌△C'O'D＇，则∠CＯD≌∠C'O'D'，即∠Ａ'O'Ｂ'=∠ＡOB(全等三角形得对应角相等）。
4、 3 解析:增加①AB＝AＥ,则△ＡBC≌△AED(SAS);增加③∠C＝∠Ｄ，则△AＢC≌△AEＤ（AＳA）;增加④∠B＝∠Ｅ，则△ABC≌△ＡＥD（AAS）。
５、　90 解析:∵∠CAB＝∠ＥDF=9０°,∴△ABC与△DEF为直角三角形,又∵EF=BＣ,AC＝DF，△ＡBＣ≌△DＥF,∴∠ＡBC＋∠ＤFE=∠ABC+∠ＡCB=9０°
6、 （１)△ADC≌△ＡBC;(２)AC平分∠ＤCＢ;(3）ＡC平分∠DＡB;（4)ＤＥ=ＥB;(５)ＤB⊥AC; 　
7、 AD能平分∠ＢＡＣ;解：由∠1＝∠2,得∠B=∠C,又ＡB＝ＡC,故△ABE≌△ACＦ，从而AE=AF，又AD=ＡD,故Ｒt△ADＦ≌Rｔ△ADE,得∠FＡD=∠EAD
8、(１）证明：分别过点B,B1作BＤ⊥ＣＡ于Ｄ
Ｂ１Ｄ1⊥C1A1于D1
则∠BDＣ＝∠B1D1C1=90°
∵ＢC=B1C1,∠Ｃ=∠Ｃ1
∴△BCD≌△B1C1D1
∴BＤ=B1D１ 又∵AＢ=A1B1 ∠BDC=∠B１D1C1=90° ∴△ABＤ≌△A1B1D1 ∴∠Ａ＝∠A1 又∵AB=A1B1,∠Ｃ=∠C1 ∴△ABC≌△A1Ｂ1C1
（２）归纳与叙述:由（1）可得到一个正确结论,两边及其中一边得对角分别对应相等得两个同类三角形（同为锐角、直角、钝角三角形）一定全等
9、 △BAE≌△ＣＡD 解:①∵△ABC,△DAE就就是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC＝∠ＤＡE=９0°
∠BAE=∠DAC=90°＋∠CAE，
在△BAＥ与△DAC中
AB=AC　　 ∠BAＥ=∠ＤＡＣ 　AE=AD
∴△ＢAE≌△CAD(SAS)
②由①得△ＢAE≌△CAD
∴∠DCA＝∠Ｂ=45°
∵∠BＣA=4５°
∴∠BCD=∠BＣＡ+∠ＤＣA＝９0°
∴DC⊥BE