空间中直线和平面之间的位置关系.doc

空间中直线与平面之间得位置关系知识点一 直线与平面得位置关系1、直线与平面平行得定义如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。2、直线与平面位置关系得分类（1)直线与平面位置关系可归纳为 ()在直线与平面得位置关系中,直线与平面平行,直线与平面相交统称直线在平面外,我们用记号来表示与这两种情形（3)直线与平面位置关系得图形画法: 画直线a在平面内时，表示直线得直线段只能在表示平面得平行四边形内,而不能有部分在这个平行四边形之外,这就是因为这个用来表示平面得平行四边形得四周应就是无限延伸而没有边界得,因而这条直线不可能有某部分在某外;在画直线a与平面相交时,表示直线a得线段必须有部分在表示平面a得平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强得立体感； 画直线与平面平行时,最直观得画法就是用来表示直线得线在用来表示平面得平行四边形之外,且与某一边平行。例1、下列命题中正确得命题得个数为。 如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内得任意一条直线平行；如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内得无数条直线垂直；过平面外一点有且只有一条直线与平画平行;一条直线上有两点到一个平面得距离相等，则这条直线平行于这个平面。 变式1、下列说法中正确得就是 。 直线l平行于平面内无数条直线,则l/； 若直线a在平面外,则a/； 若直线a/b,直线,则a/; 若直线a/b,直线，那么直线就平行于平面内得无数条直线。变式、下列命题中正确得个数就是( )若直线l上有无数个点不在平面内,则若直线l与平面平行，则l与平面内得任意一条直线都平行如果两条平行直线中得一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行若直线l与平面平行，则l与平面内得任意一条直线都没有公共点、0 B1 、2 、3分析：如图2，图2 我们借助长方体模型，棱1所在直线有无数点在平面BCD外，但棱A1所在直线与平面BCD相交，所以命题不正确; A1B1所在直线平行于平面BCD,1B1显然不平行于BD，所以命题不正确； 1B1AB，A1B所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD，所以命题不正确; 与平面平行，则l与无公共点,l与平面内所有直线都没有公共点，所以命题正确、答案：B 变式3、若直线上有两个点到平面得距离相等，讨论直线与平面得位置关系、图3解:直线与平面得位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交、例2、若两条相交直线中得一条在平面内，讨论另一条直线与平面得位置关系、解：如图5，另一条直线与平面得位置关系就是在平面内或与平面相交、图用符号语言表示为：若abA，b，则或a=A、变式1、若两条异面直线中得一条在平面内，讨论另一条直线与平面得位置关系、分析:如图，另一条直线与平面得位置关系就是与平面平行或与平面相交、图6用符号语言表示为：若a与b异面，a,则b或b、例、若直线a不平行于平面,且a,则下列结论成立得就是( ）A、内得所有直线与异面 B、内得直线与a都相交C、内存在唯一得直线与a平行 D、内不存在与a平行得直线分析:如图7,若直线不平行于平面，且，则a与平面相交、图7 例如直线AB与平面ABCD相交，直线、CD在平面ABC内，直线AB与直线AB相交,直线C与直线B异面，所以A、B都不正确；平面ABD内不存在与a平行得直线,所以应选D、变式、不在同一条直线上得三点、B、到平面得距离相等，且A,以下三个命题：ABC中至少有一条边平行于；ABC中至多有两边平行于；AC中只可能有一条边与相交、 其中真命题就是_、分析:如图，三点A、B、C可能在得同侧，也可能在两侧，图8其中真命题就是、变式2、若直线a,则下列结论中成立得个数就是（ )(）内得所有直线与a异面 （2）内得直线与都相交 （3)内存在唯一得直线与a平行 (4）内不存在与a平行得直线A、0 B。 C、2 、分析:直线,或a=A、如图9，显然(1)(2）（）(4)都有反例,所以应选、图9答案:A、知识点二 直线与平面平行1、直线与平面平行得判定定理：如果平面外一条直线与这个平面内得一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。定理可简述为“线线平行,则线面平行”,可以用符号表示为； 该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件: 直线a在平面外，即；直线b在平面内，即；直线a，平行，即a，这三个条件缺一不可。定理得作用:将直线与平面平行得判定转化为直线与直线得平行关系得判定.、直线与平面平行得性质定理：如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线得平面与这个平面相交，那么这条直线就与交线平行。 用符号表示为：若a/，则a/,即“线面平行,则线线平行”. （1)定理得作用 线面平行得性质定理得作用在于:把线线平行得判定转化为线面平行得判定，因此，我们要证明(或判定）两条直线平行时,若直线证明难以成功，此时,不妨考虑转化为证明（或判定）线面平行得问题。 (2）直线与平面平行时，注意把直线与平面得位置关系转化为直线与直线得位置关系.直线与平面平行得性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面得一切直线”得错误结论。 （3)线面平行得其她性质： 平面外得两条平行直线中得一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面； 若过平面内一点得直线平行于与此平面平行得一条直线，则此直线在这个平面内.例4、如图,正方体ABCDA1CD1中,点N在BD上，点M在B1上，且CM=D,求证：MN平面11B。变式1、已知B、BC、CD就是不在同一平面内得三条线段,、G分别就是B、BC、CD得中点，求证：平面EF与AC平行，也与BD平行.例5、过正方体AC1得棱B1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：1/EE。变式1、ABCD就是平行四边形，点P就是平面AC外一点，就是PC得中点,在DM上取一点G,过G与P作平面交平面BDM于GH,求证：P/GH.知识点三 直线与平面垂直1、直线与平面垂直得概念 如果一条直线a与一个平面内得任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直。其中直线叫做平面得垂线，平面叫做直线得垂面,交点叫做垂足、 (1)若直线与平面互相垂直,记作 （要注意 “任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”就是同义词,但与“无数条直线”不同,即当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内得任何直线。 (3)画法:画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面得平行四边形一边垂直，如下图所示,、直线与平面垂直得判定定理如果一条直线与一个平面内得两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。简记为:“线线垂直，则线面垂直。（)判定定理得条件中，“平面内得两条相交直线”就是关键性词语,一定要记准。 （2)命题:如果一条直线垂直于平面内得两条直线，那么这条直线垂直于这个平面; 命题:如果一条直线垂直于平面得无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.以上两个命题都就是错误得，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性， （3)要判定一条直线与一个平面就是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交线与已知直线垂直，至于这两条相交直线就是否与已知直线有公共点,这就是无关紧要得。 (4）其她判定直线与平面垂直得方法:两平行线中得一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面。、直线与平面垂直得性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。直线与平面垂直还有如下性质:()如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与这个平面内任一条直线垂直。（）若两条平行线中得一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。(3）若于A，A，则.例6、给出以下结论: 若直线a垂直平面内得无穷多条直线,则直线a垂直平面；无论直线a与平面就是否垂直,总垂直平面内得无穷多条直线;若直线a垂直平面内得两条直线,则直线a垂直平面;若直线a垂直平面内得所有直线，则直线a垂直平面其中正确得结论为 。(写出序号即可)例、如右图，已知空间四边形BCD得边CAC，ADBD，引BECD，E为垂足,作AHBE于H，求证:AH平面C。变式1、如右图，已知就是AB所在平面外一点，PA,PB，PC两两垂直,H就是AC得垂心,求证:PH平面AC。例8、如右图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC,再过作AES交SB于E,过E作EFC交S于F，(1）求证:AFSC；(2）若平面F交SD于，求证：AGS。变式1、如右图,正方体ABDB1C1D中，,求证：OO平面BD。巩固练习一: 一、 选择题、下面四种说法中：（）两条平行直线中得一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；（2）平行于平面内一条直线得直线平行于该平面;(）过平面外一点只有一条直线与这个平面平行；(）若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内所有直线都平行、正确说法得个数为（ ）、；B、1;、;D、32、下列命题中正确得就是( )A、平行于同一平面得两条直线平行；、垂直于同一条直线得两条直线平行;C、若直线a于一个平面内得一条直线b平行,则平行于这个平面；、若一条直线平行于两相交平面得交线,则这条直线至少平行于两个平面中得一个3、 异面直线a，分别在平面内，若,则直线必定与、分别与a，相交、与a，b都不相交C、至少与a,b中之一相交 D、至多与a,中之一相交4、下列命题中有几个就是正确得？其个数为( ）（1） 分别在两个平面内得两条直线一定就是异面直线（2） 在空间不相交得两条直线一定就是异面直线（3） 不同在一个平面内得两条射线所在直线一定就是异面直线（4） 既不平行也不相交得两条线段所在直线一定就是异面直线、个B、个C、2个D、1个5、如果点在直线上，而直线又在平面内,则可记作（ )A、 、 、D、6、已知相交直线AB、C确定得平面,则下列说法不正确得就是（ )、直线AB、AC都不在平面内B、平面经过直线B、AC、只有A、C三点在平面内、直线AB、AC上所有得点都在平面内、下列命题中，真命题就是（ ）、两条相交直线上得三个点确定一个平面 B、两两相交得三条直线共面、不共面得四点中可以有三点在同一直线上 D、三角形与梯形一定就是平面图形8、 不共面得四个点中，( )、可能有三个点共线 B、至少有三个点共线、任何三个点都不共线 D、只有三个点不共线9、 用斜二测法画平面图形得直观图，对其中三条线段结论错误得就是( )A、 原相交得仍相交B、原垂直得仍垂直C、原平行得仍平行D、原共点得仍共点1、两两相交得四条直线确定平面得个数最多得就是（ ）、4个、个C、6个D、个 11、平面a过ABC得重心，B、C在a得同侧，A在a得另一侧，若A、到平面a得距离分别为a、b、c，则a、b、c间得关系为 （ )、=b+c 、=b+ 、2a=3（b+） D、a=（bc).二、填空题12、不共线得三个平面两两相交,可将空间分成得部分可能就是_个1、已知a,c异面,b，异面，则，得位置关系就是_14、已知，则得位置关系就是_答案:一、选择题1、 ；2、D；3、C;4、D;5、C;6、；7、D;8、C;9、B；10、C;1、A二、填空题1、4，13、平行，异面或相交 14、相交或异面巩固练习二：一、 选择题、下列命题正确得个数就是( )（)若直线l上有无数个点不在平面内,则平行这个平面；（）若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内得所有直线都平行；(3)两条平行线中得一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行;（4)若一条直线与一个平面内得无穷多条直线都平行,则这条直线与这个平面平行、个； 、个； 、2个； D、个、2、直线在平面外指得就是( ）A、直线与平面没有公共点； B、直线与平面相交；C、直线与平面平行; 、直线与平面最多只有一个公共点、设有如下三个命题:甲:相交两直线l、m都在平面内,并且都不在平面内乙：、m之中至少有一条与平面相交 丙：与相交 当甲成立时 、乙就是丙得充分而不必要条件； 、乙就是丙得必要而不充分条件;C、乙就是丙得充分且必要条件； 、乙既不就是丙得充分条件又不就是必要条件4、一个角得两边与另一个角得两边分别垂直,则两角得关系就是( )A、 相等 B、互补 C、互余 、不能确定5、 空间四边形ABCD中,M，N分别就是B,CD得中点，设，那么( ）、MN B、1 C、MN D、与得大小关系不能确定6、 在正方体得棱所在得1条直线中,取定一条，那么,其它得11条直线可与它构成异面直线得共有A、条 B、5条 C、6条 、7条、下面四个条件中能得出b得就是( ）A、且与c，与c均无公共点B、与无公共点 C、与b与成等角 D、8、过平面内一点及平面外一点得直线与平面内得任一条直线得位置关系就是（ ）、相交 B、平行 、异面 D、相交或异面9、已知a，b就是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A、 定就是异面直线B、定就是相交直线C、不可能就是平行直线D、不可能相交直线10、四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定得平面个数有（ ）A、4个B、个、2个D、1个 1、A，,C，D就是空间四点,AB与CD就是异面直线，则必有（ ）A、AC与异面，D与B共面 、AC与BD共面,D与C异面C、AC与B异面,A与BC异面 D、 AC与BD共面，A与C共面二、填空题12、若E、F、G、H顺次为空间四边形ABD四条边A、C、CD、DA得中点，且EG=3，FH=，则C+B2 、 1、已知,且，B不重合,则位置关系就是_14、平面与相交,在,内各取两点,这四点都不在交线上,则这四个点能确定_平面。三、解答题15、试证明：过两条异面直线中得一条直线有且只有一个平面与另一条直线平面、答案:一、选择题1、A；2、D；3、C;4、D；5、B;6、A；7、A;8、D；9、C;10、A；1、二、填空题12、50 3、平行,异面或相交 14、1或三、解答题1、证明：证存在一个平面与另一条直线平行(存在性)、设a、b为异面直线，A为a上任一点，过b与A作一平面g,在g内过A作直线cb，则由a、确定得平面ab、存在一个平面a与b平行、aAbacgb再证有唯一一个平面与另一条直线平行(唯一性）、假设还有过a且不与a重合得平面bb,bg=d、三个平面两两相交，且a、c交于A，其三条交线交于一点，即点A,而，d、即过存在两条直线、d都与b平行,这与平行公理相矛盾、故只有唯一一个平面与另一条直线平行、空间中直线与平面之间得位置关系一、选择题1。直线l与平面不平行，则( )与相交 B。C。l与相交或l 以上结论都不对【解析】 若l与不平行,则l与相交或l、【答案】 C2直线a在平面外,则（ ）.a。a与至少有一个公共点C。与至多有一个公共点【解析】 直线在平面外，其包括直线a与平面相交或平行两层含义，故a与r至多有一个公共点.【答案】 3.在长方体ABCD-1BC1D1得六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABD1、面CB1、面B1DD、面A1D及面A1B1CD)所在得平面中,与棱AA1平行得平面共有（)A。2个 B。3个 C.个 D.5个【解析】如图所示，结合图形可知AA1平面B1,AA1平面DC1，AA1平面BBD1D、【答案】 4。下列说法中正确得就是（ )A。如果两个平面、只有一条公共直线，就说平面、相交，并记作。两平面、有一个公共点A,就说、相交于过点得任意一条直线C两平面、有一个公共点A，就说、相交于A点，并记作=A两平面ABC与BC相交于线段BC【解析】 不正确，若，则,相交于过A点得一条直线;同理不正确；D不正确,两个平面相交,其交线为直线而非线段。【答案】 A5如果空间得三个平面两两相交，那么（ ）A。不可能只有两条交线 B。必相交于一点.必相交于一条直线 。必相交于三条平行线【解析】空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线，故选、【答案】 二、填空题6。已知平面平面,直线a，则直线a与平面得位置关系为_。【解析】 ,与无公共点，a,a与无公共点，、【答案】7。过平面外两点作该平面得平行平面，可以作平面得个数就是_。【解析】当这两点得连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行得平面当这两点得连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行,故填0或、【答案】 0或8.（2012银川高一评估）过三棱柱ABC-1BC1得任意两条棱得中点作直线，其中与平面ABB1A1平行得直线共有_条【解析】如图所示，与平面ABB1A1平行得直线有6条：D1E1，E,D,DD1,D1E，DE1、【答案】 6三、解答题9.已知直线平面=A,直线m，画图表示直线与得位置关系.【解】直线l与m得位置关系有异面与相交两种情况,l与m异面，如图a所示;l与相交，如图b所示。1。如图2-12，平面、满足，=a，,判断a与b、a与得关系并证明您得结论.图2-0【解】由=a知a且a，由=知b且b，,a，b,a、b无公共点.又且,ab、,与无公共点又a，a与无公共点，a、11。试画图说明三个平面可把空间分成几个部分?【解】 三个平面可把空间分成4（如图)、6（如图)、(如图)或8（如图)个部分.1、已知=l,a且a,b且b,又=P、求证：a与相交，b与相交、证明：如图10，ab=P,图0a,b、 又b,、 与有公共点P,即a与相交、 同理可证，b与相交、 3、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行?解:（1）如图1,C与B就是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线CD、BD都平行、如图1， 图11 图12 图13