空间中直线和平面之间的位置关系.doc

空间中直线与平面之间得位置关系
知识点一 直线与平面得位置关系
1、直线与平面平行得定义
如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。
2、直线与平面位置关系得分类

（1)直线与平面位置关系可归纳为

(２)在直线与平面得位置关系中,直线与平面平行,直线与平面相交统称直线在平面外,我们用记号来表示ａ∥与这两种情形．
（3)直线与平面位置关系得图形画法:
①画直线a在平面内时，表示直线得直线段只能在表示平面得平行四边形内,而不能有部分在这个平行四边形之外,这就是因为这个用来表示平面得平行四边形得四周应就是无限延伸而没有边界得,因而这条直线不可能有某部分在某外;
②在画直线a与平面相交时,表示直线a得线段必须有部分在表示平面a得平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来,又具有较强得立体感；
　 ③画直线与平面平行时,最直观得画法就是用来表示直线得线在用来表示平面得平行四边形之外,且与某一边平行。
例1、下列命题中正确得命题得个数为　　　　。
　　 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内得任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内得无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行;④一条直线上有两点到一个平面得距离相等，则这条直线平行于这个平面。
　 变式1、下列说法中正确得就是 　。
①直线l平行于平面内无数条直线,则l／/；
②若直线a在平面外,则a//；
③若直线a/／b,直线,则a/／;
④若直线a//b,直线，那么直线ａ就平行于平面内得无数条直线。
变式２、下列命题中正确得个数就是( )
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则ｌ∥α
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内得任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中得一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内得任意一条直线都没有公共点
Ａ、0 　　 　B．1 　 　 Ｃ、2 　　 　 　Ｄ、3
分析：如图2，

图2
我们借助长方体模型，棱ＡＡ1所在直线有无数点在平面ＡBCD外，但棱AＡ1所在直线与平面ＡBCD相交，所以命题①不正确;
　　A1B1所在直线平行于平面ＡBCD,Ａ1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确；
　 Ａ1B1∥AB，A1B１所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD，所以命题③不正确;
ｌ与平面α平行，则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点，所以命题④正确、
答案：B
　变式3、　若直线ｌ上有两个点到平面α得距离相等，讨论直线ｌ与平面α得位置关系、

图3
解:直线ｌ与平面α得位置关系有两种情况(如图3),直线与平面平行或直线与平面相交、
例2、若两条相交直线中得一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α得位置关系、
解：如图5，另一条直线与平面α得位置关系就是在平面内或与平面相交、

图５
用符号语言表示为：若a∩b＝A，bα，则ａα或a∩α=A、
变式1、若两条异面直线中得一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α得位置关系、
分析:如图６，另一条直线与平面α得位置关系就是与平面平行或与平面相交、

图6
用符号语言表示为：若a与b异面，aα,则b∥α或b∩α＝Ａ、
例３、若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立得就是( 　　）
A、α内得所有直线与ａ异面 　 B、α内得直线与a都相交
C、α内存在唯一得直线与a平行 　　 　 D、α内不存在与a平行得直线
分析:如图7,若直线ａ不平行于平面α，且ａα，则a与平面α相交、

图7
　　例如直线A′B与平面ABCD相交，直线ＡＢ、CD在平面ABCＤ内，直线AB与直线A′B相交,直线CＤ与直线Ａ′B异面，所以A、B都不正确；平面ABＣD内不存在与a平行得直线,所以应选D、
变式１、不在同一条直线上得三点Ａ、B、Ｃ到平面α得距离相等，且Aα,以下三个命题：
①△ABC中至少有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△AＢC中只可能有一条边与α相交、 其中真命题就是_＿___＿____＿__、
分析:如图８，三点A、B、C可能在α得同侧，也可能在α两侧，

图8
其中真命题就是①、
变式2、若直线aα,则下列结论中成立得个数就是（ 　 )
(１）α内得所有直线与a异面 （2）α内得直线与ａ都相交 （3)α内存在唯一得直线与a平行 (4）α内不存在与a平行得直线
A、0 　 　 　 B。１ 　 　 　 C、2 　 　　　　 　　 Ｄ、３
分析:∵直线ａα,∴ａ∥α或a∩α=A、
如图9，显然(1)(2）（３）(4)都有反例,所以应选Ａ、

图9
答案:A、
知识点二　 直线与平面平行
1、直线与平面平行得判定定理：如果平面外一条直线与这个平面内得一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
⑴定理可简述为“线线平行,则线面平行”,可以用符号表示为；
⑵该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件:
① 直线a在平面外，即；②直线b在平面内，即；
③直线a，ｂ平行，即a∥ｂ，这三个条件缺一不可。
⑶定理得作用:将直线与平面平行得判定转化为直线与直线得平行关系得判定.
２、直线与平面平行得性质定理：如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线得平面与这个平面相交，那么这条直线就与交线平行。
用符号表示为：若a//，则a/／ｂ,即“线面平行,则线线平行”.
（1)定理得作用
线面平行得性质定理得作用在于:把线线平行得判定转化为线面平行得判定，因此，我们要证明(或判定）两条直线平行时,若直线证明难以成功，此时,不妨考虑转化为证明（或判定）线面平行得问题。
(2）直线与平面平行时，注意把直线与平面得位置关系转化为直线与直线得位置关系.直线与平面平行得性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面得一切直线”得错误结论。
（3)线面平行得其她性质：
　①平面外得两条平行直线中得一条平行于这个平面,则另一条也平行于这个平面；
　 　　②若过平面内一点得直线平行于与此平面平行得一条直线，则此直线在这个平面内.
例4、如图,正方体ABCD—A1Ｂ１C１D1中,点N在BD上，点M在B1Ｃ上，且CM=DＮ,
求证：MN／／平面ＡＡ1Ｂ1B。
变式1、已知ＡB、BC、CD就是不在同一平面内得三条线段,Ｅ、Ｆ、G分别就是ＡB、BC、CD得中点，求证：平面EFＧ与AC平行，也与BD平行.
例5、过正方体AC1得棱BＢ1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：ＢＢ1//EE１。
变式1、ABCD就是平行四边形，点P就是平面AＢCＤ外一点，Ｍ就是PC得中点,在DM上取一点G,过G与ＡP作平面交平面BDM于GH,求证：ＡP//GH.
知识点三 直线与平面垂直
1、直线与平面垂直得概念
　 如果一条直线a与一个平面内得任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面互相垂直。其中直线叫做平面得垂线，平面叫做直线得垂面,交点叫做垂足、
　(1)若直线ａ与平面互相垂直,记作
（２要注意 “任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”就是同义词,但与“无数条直线”不同,即当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内得任何直线。
　 (3)画法:画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面得平行四边形一边垂直，如下图所示,
２、直线与平面垂直得判定定理
如果一条直线与一个平面内得两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

简记为:“线线垂直，则线面垂直。"
　（１)判定定理得条件中，“平面内得两条相交直线”就是关键性词语,一定要记准。
（2)命题１:如果一条直线垂直于平面内得两条直线，那么这条直线垂直于这个平面;
命题２:如果一条直线垂直于平面得无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面.
以上两个命题都就是错误得，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性， （3)要判定一条直线与一个平面就是否垂直,取决于在这个平面内能否找出两条相交线与已知直线垂直，至于这两条相交直线就是否与已知直线有公共点,这就是无关紧要得。
(4）其她判定直线与平面垂直得方法:
两平行线中得一条垂直于一个平面,则另一条直线也垂直于这个平面。
３、直线与平面垂直得性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
直线与平面垂直还有如下性质:
(１)如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线与这个平面内任一条直线垂直。
（２）若两条平行线中得一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。
(3）若于A，AＰ，则.
例6、给出以下结论:
①若直线a垂直平面内得无穷多条直线,则直线a垂直平面；②无论直线a与平面就是否垂直,ａ总垂直平面内得无穷多条直线;③若直线a垂直平面内得两条直线,则直线a垂直平面;④若直线a垂直平面内得所有直线，则直线a垂直平面
其中正确得结论为 　 　　。(写出序号即可)．
例７、如右图，已知空间四边形ＡBCD得边ＢC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足,作AH⊥BE于H，求证:AH⊥平面ＢCＤ。
变式1、如右图，已知Ｐ就是△ABＣ所在平面外一点，PA,PB，PC两两垂直,H就是△AC得垂心,求证:PH⊥平面AＢC。
例8、如右图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC,再过Ａ作AE⊥SＢ交SB于E,过E作EF⊥ＳC交SＣ于F，
(1）求证:AF⊥SC；
(2）若平面ＡＥF交SD于Ｇ，求证：AG⊥SＤ。
变式1、如右图,正方体ABＣD—Ａ１B1C1D１中，,
求证：OO１⊥平面ＡBＣD。
巩固练习一:
一、 选择题
１、下面四种说法中：（１）两条平行直线中得一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；（2）平行于平面内一条直线得直线平行于该平面;(３）过平面外一点只有一条直线与这个平面平行；(４）若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内所有直线都平行、正确说法得个数为（ 　 ）
Ａ、０；B、1;Ｃ、２;D、3
2、下列命题中正确得就是( 　 )
A、平行于同一平面得两条直线平行；Ｂ、垂直于同一条直线得两条直线平行;
C、若直线a于一个平面内得一条直线b平行,则ａ平行于这个平面；Ｄ、若一条直线平行于两相交平面得交线,则这条直线至少平行于两个平面中得一个
3、 异面直线a，ｂ分别在平面内，若,则直线必定与
Ａ、分别与a，ｂ相交Ｂ、与a，b都不相交
C、至少与a,b中之一相交 D、至多与a,ｂ中之一相交
4、下列命题中有几个就是正确得？其个数为( 　 ）
（1） 分别在两个平面内得两条直线一定就是异面直线
（2） 在空间不相交得两条直线一定就是异面直线
（3） 不同在一个平面内得两条射线所在直线一定就是异面直线
（4） 既不平行也不相交得两条线段所在直线一定就是异面直线
Ａ、４个B、３个C、2个D、1个
5、如果点Ｐ在直线上，而直线又在平面内,则可记作（ 　 )
A、 　Ｂ、 　 Ｃ、D、
6、已知相交直线AB、ＡC确定得平面,则下列说法不正确得就是（ 　 )
Ａ、直线AB、AC都不在平面内B、平面经过直线ＡB、AＣ
C、只有A、Ｂ、C三点在平面内Ｄ、直线AB、AC上所有得点都在平面内
７、下列命题中，真命题就是（ 　 ）
Ａ、两条相交直线上得三个点确定一个平面 　　　 B、两两相交得三条直线共面
Ｃ、不共面得四点中可以有三点在同一直线上 　D、三角形与梯形一定就是平面图形
8、 不共面得四个点中，( 　 　)
Ａ、可能有三个点共线 B、至少有三个点共线
Ｃ、任何三个点都不共线 　D、只有三个点不共线
9、 用斜二测法画平面图形得直观图，对其中三条线段结论错误得就是(　 　 )
A、 原相交得仍相交B、原垂直得仍垂直C、原平行得仍平行D、原共点得仍共点
1０、两两相交得四条直线确定平面得个数最多得就是 ﻩ（　　　 ）ﻫＡ、4个 Ｂ、５个ﻩ　　C、6个ﻩ　　D、８个
11、平面a过△ABC得重心，B、C在a得同侧，A在a得另一侧，若A、Ｂ、Ｃ到平面a得距离分别为a、b、c，则a、b、c间得关系为 （ 　 )
Ａ、２ａ=b+c 　 　Ｂ、ａ=b+ｃ 　 　Ｃ、2a=3（b+ｃ） 　 　 　 　 D、３a=２（b＋c).
二、填空题
12、不共线得三个平面两两相交,可将空间分成得部分可能就是___＿____＿_＿____＿个
1３、已知a,c异面,b，ｃ异面，则ａ，ｂ得位置关系就是____＿_____＿___＿＿_＿
14、已知，则得位置关系就是__＿＿_______＿_＿＿
答案:
一、选择题
1、 Ａ；2、D；3、C;4、D;5、C;6、Ａ；7、D;8、C;9、B；10、C;1１、A
二、填空题
1２、4，７，８
13、平行，异面或相交 14、相交或异面
巩固练习二：
一、 选择题
１、下列命题正确得个数就是( 　)
（１)若直线l上有无数个点不在平面内,则ｌ平行这个平面；（２）若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内得所有直线都平行；(3)两条平行线中得一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行;（4)若一条直线与一个平面内得无穷多条直线都平行,则这条直线与这个平面平行
Ａ、０个； 　 Ｂ、１个； Ｃ、2个；　　 D、３个、
2、直线在平面外指得就是( 　 ）
A、直线与平面没有公共点；　 　　 B、直线与平面相交；
C、直线与平面平行;　 　　 Ｄ、直线与平面最多只有一个公共点
３、设有如下三个命题:
甲:相交两直线l、m都在平面α内,并且都不在平面β内
乙：ｌ、m之中至少有一条与平面β相交 　 　 　丙：α与β相交 当甲成立时 　 　　 　 　 　 　 　 　　　　 　 　　 　　 　 　　 　 　　　
Ａ、乙就是丙得充分而不必要条件； 　 　　 Ｂ、乙就是丙得必要而不充分条件;
C、乙就是丙得充分且必要条件； 　　　 Ｄ、乙既不就是丙得充分条件又不就是必要条件
4、一个角得两边与另一个角得两边分别垂直,则两角得关系就是( 　)
A、 相等 　 B、互补　 　 C、互余　　 　 Ｄ、不能确定
5、 空间四边形ABCD中,M，N分别就是ＡB,CD得中点，设，那么( ）
Ａ、MN>１ B、ＭＮ<1 C、MN＝１ 　 　　D、ＭＮ与１得大小关系不能确定
6、 在正方体得棱所在得1２条直线中,取定一条，那么,其它得11条直线可与它构成异面直线得共有A、４条 　 　 　 B、5条 　 　 C、6条 　 　 Ｄ、7条
７、下面四个条件中能得出∥b得就是( ）
A、且与c，ｂ与c均无公共点
B、与ｂ无公共点 　 C、与b与ｃ成等角 　 　 　 D、
8、过平面内一点及平面外一点得直线与平面内得任一条直线得位置关系就是（　　　 　）
Ａ、相交 　 　　 　B、平行 　 　 Ｃ、异面 　 　　　 D、相交或异面
9、已知a，b就是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( 　　 )
A、 定就是异面直线B、定就是相交直线C、不可能就是平行直线D、不可能相交直线
10、四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定得平面个数有ﻩ （ ）
A、4个ﻩB、３个 Ｃ、2个ﻩD、1个 　
１1、A，Ｂ,C，D就是空间四点,AB与CD就是异面直线，则必有（　 　　）
A、AC与ＢＤ异面，ＡD与BＣ共面 　　　　　Ｂ、　AC与BD共面,ＡD与ＢC异面
C、AC与BＤ异面,AＤ与BC异面 　 D、 AC与BD共面，AＤ与ＢC共面
二、填空题
12、若E、F、G、H顺次为空间四边形ABＣD四条边AＢ、ＢC、CD、DA得中点，且EG=3，FH=４，则ＡC２+BＤ2＝ 　 　 　　 　 、
1３、已知,且Ａ，B不重合,则位置关系就是＿＿＿___________
14、平面与相交,在,内各取两点,这四点都不在交线上,则这四个点能确定_＿___＿平面。
三、解答题
15、试证明：过两条异面直线中得一条直线有且只有一个平面与另一条直线平面、
答案:
一、选择题
1、A；2、D；3、C;4、D；5、B;6、A；7、A;8、D；9、C;10、A；１1、Ｃ
二、填空题
12、50 １3、平行,异面或相交 　 14、1或４
三、解答题
1５、证明：证存在一个平面与另一条直线平行(存在性)、
设a、b为异面直线，A为a上任一点，过b与A作一平面g,在g内过A作直线c∥b，则由a、ｃ确定得平面a∥b、存在一个平面a与b平行、
a
A
b
a
c
g
b
再证有唯一一个平面与另一条直线平行(唯一性）、
假设还有过a且不与a重合得平面b∥b,b∩g=d、
∵三个平面两两相交，且a、c交于A，∴其三条交线
交于一点，即点A,而ｄ∥ｂ，∴ｃ∥d、即过Ａ存在两条
直线ｃ、d都与b平行,这与平行公理相矛盾、
故只有唯一一个平面与另一条直线平行、
空间中直线与平面之间得位置关系
一、选择题
1。直线l与平面α不平行，则( )
Ａ．ｌ与α相交　　 ﻩB。ｌ⊂α
C。l与α相交或l⊂α Ｄ．以上结论都不对
【解析】 若l与α不平行,则l与α相交或l⊂α、
【答案】 C
2．直线a在平面γ外,则（ ）
Ａ.a∥γ
Ｂ。a与γ至少有一个公共点
C。ａ∩γ＝Ａ
Ｄ．ａ与γ至多有一个公共点
【解析】 直线ａ在平面γ外，其包括直线a与平面ｒ相交或平行两层含义，故a与r至多有一个公共点.
【答案】 Ｄ
3.在长方体ABCD-Ａ1B１C1D1得六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABＣ１D1、面ＡＤC１B1、面ＢB1D１D、面A1ＢＣD１及面A1B1CD)所在得平面中,与棱AA1平行得平面共有（　　)
A。2个　 B。3个 　　ﻩ
C.４个 　ﻩD.5个
【解析】　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BＣ1,AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB１D1D、

【答案】 Ｂ
4。下列说法中正确得就是（ )
A。如果两个平面α、β只有一条公共直线ａ，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝ａ
Ｂ。两平面α、β有一个公共点A,就说α、β相交于过Ａ点得任意一条直线
C．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β=A
Ｄ．两平面ABC与ＤBC相交于线段BC
【解析】 Ｂ不正确，若Ａ∈α∩β，则α,β相交于过A点得一条直线;同理Ｃ不正确；D不正确,两个平面相交,其交线为直线而非线段。
【答案】 A
5．如果空间得三个平面两两相交，那么（ 　）
A。不可能只有两条交线　 B。必相交于一点
Ｃ.必相交于一条直线 Ｄ。必相交于三条平行线
【解析】　空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线，故选Ａ、
【答案】 Ａ
二、填空题
6。已知平面α∥平面β,直线a⊂α，则直线a与平面β得位置关系为__＿_____。
【解析】 ∵α∥β,∴α与β无公共点，
∵a⊂α,∴a与β无公共点，∴ａ∥β、
【答案】　ａ∥β
7。过平面外两点作该平面得平行平面，可以作平面得个数就是＿_＿___＿_。
【解析】　当这两点得连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行得平面．当这两点得连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行,故填0或１、
【答案】 0或１
8.（2012·银川高一评估）过三棱柱ABC-Ａ1B１C1得任意两条棱得中点作直线，其中与平面ABB1A1平行得直线共有＿＿__＿___条．
【解析】　如图所示，与平面ABB1A1平行得直线有6条：D1E1，E１Ｅ,ＥD,DD1,D1E，DE1、

【答案】 6
三、解答题
9.已知直线ｌ∩平面α=A,直线m⊂α，画图表示直线ｌ与ｍ得位置关系.
【解】　直线l与m得位置关系有异面与相交两种情况,l与m异面，如图a所示;l与ｍ相交，如图b所示。

1０。如图2-1－2０，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ=a，β∩γ＝ｂ,判断a与b、a与β得关系并证明您得结论.

图2－１-２0
【解】　由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ，
由β∩γ=ｂ知b⊂β且b⊂γ，
∵α∥β,a⊂α，b⊂β,∴a、b无公共点.
又∵ａ⊂γ且ｂ⊂γ,∴a∥b、
∵α∥β,∴α与β无公共点．
又a⊂α，
∴a与β无公共点，
∴a∥β、
11。试画图说明三个平面可把空间分成几个部分?
【解】 三个平面可把空间分成4（如图①)、6（如图②③)、７(如图④)或8（如图⑤)个部分.

1２、已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又ａ∩ｂ=P、
求证：a与β相交，b与α相交、
证明：如图10，∵a∩b=P,

图１0
∴Ｐ∈a,Ｐ∈b、 又bβ,∴Ｐ∈β、 ∴ａ与β有公共点P,即a与β相交、 同理可证，b与α相交、
１3、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行?
解:（1）如图1１,C′Ｄ′与BＤ就是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行、如图1２，

　 　 　 　 图11 　　　　 　 　 图12 　 　　 　 　 　　 　图13