2021年高三数学知识点总结.doc

高中数学知识点总结
1. 对于集合，一定要抓住集合代表元素，及元素“拟定性、互异性、无序性”。

中元素各表达什么？

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合子集，是一切非空集合真子集。

3. 注意下列性质：

（3）德摩根定律：

4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）

取值范畴。

6. 命题四种形式及其互有关系是什么？
（互为逆否关系命题是等价命题。）
原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射概念理解吗？映射f：A→B，与否注意到A中元素任意性和B中与之相应元素唯一性，哪几种相应能构成映射？
（一对一，多对一，容许B中有元素无原象。）
8. 函数三要素是什么？如何比较两个函数与否相似？
（定义域、相应法则、值域）
9. 求函数定义域有哪些常用类型？

10. 如何求复合函数定义域？

义域是_____________。

11. 求一种函数解析式或一种函数反函数时，注明函数定义域了吗？

12. 反函数存在条件是什么？
（一一相应函数）
求反函数环节掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

13. 反函数性质有哪些？
①互为反函数图象关于直线y＝x对称；
②保存了本来函数单调性、奇函数性；

14. 如何用定义证明函数单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数单调性？

∴……）
15. 如何运用导数判断函数单调性？

值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

∴a最大值为3）
16. 函数f(x)具备奇偶性必要（非充分）条件是什么？
（f(x)定义域关于原点对称）

注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数乘积是偶函数；两个偶函数乘积是偶函数；一种偶函数与奇函数乘积是奇函数。

17. 你熟悉周期函数定义吗？

函数，T是一种周期。）

如：

18. 你掌握惯用图象变换了吗？

注意如下“翻折”变换：

19. 你纯熟掌握惯用函数图象和性质了吗？

双曲线。

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上最值。
③求区间定（动），对称轴动（定）最值问题。
④一元二次方程根分布问题。

由图象记性质！ （注意底数限定！）

运用它单调性求最值与运用均值不等式求最值区别是什么？

20. 你在基本运算上常浮现错误吗？

21. 如何解抽象函数问题？
（赋值法、构造变换法）

22. 掌握求函数值域惯用办法了吗？
（二次函数法（配办法），反函数法，换元法，均值定理法，鉴别式法，运用函数单调性法，导数法等。）
如求下列函数最值：

23. 你记得弧度定义吗？能写出圆心角为α，半径为R弧长公式和扇形面积公式吗？

24. 熟记三角函数定义，单位圆中三角函数线定义

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？

（x，y）作图象。

27. 在三角函数中求一种角时要注意两个方面——先求出某一种三角函数值，再鉴定角范畴。

28. 在解具有正、余弦函数问题时，你注意（到）运用函数有界性了吗？

29. 纯熟掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：

图象？

30. 纯熟掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值

31. 纯熟掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗？
理解公式之间联系：

应用以上公式对三角函数式化简。（化简规定：项数至少、函数种类至少，分母中不含三角函数，能求值，尽量求值。）
详细办法：

（2）名变换：化弦或化切
（3）次数变换：升、降幂公式
（4）形变换：统一函数形式，注意运用代数运算。

32. 正、余弦定理各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

33. 用反三角函数表达角时要注意角范畴。

34. 不等式性质有哪些？

答案：C
35. 运用均值不等式：

值？（一正、二定、三相等）
注意如下结论：

36. 不等式证明基本办法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简朴放缩法应用。

（移项通分，分子分母因式分解，x系数变为1，穿轴法解得成果。）
38. 用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根右上方开始

39. 解具有参数不等式要注意对字母参数讨论

40. 对具有两个绝对值不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段并集。）

证明：

（按不等号方向放缩）
42. 不等式恒成立问题，惯用解决方式是什么？（可转化为最值问题，或“△”问题）

43. 等差数列定义与性质

0二次函数）

项，即：

44. 等比数列定义与性质

46. 你熟悉求数列通项公式惯用办法吗？
例如：（1）求差（商）法

解：

［练习］

（2）叠乘法

解：

（3）等差型递推公式

［练习］

（4）等比型递推公式

［练习］

（5）倒数法

47. 你熟悉求数列前n项和惯用办法吗？
例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之浮现成对互为相反数项。

解：

［练习］

（2）错位相减法：

（3）倒序相加法：把数列各项顺序倒写，再与本来顺序数列相加。

［练习］

48. 你懂得储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去，第n次还清。如果每期利率为r（按复利），那么每期应还x元，满足

p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49. 解排列、组合问题根据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。

（2）排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并构成一组，叫做从n个不

50. 解排列与组合问题规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相似元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐个排出成果。
如：学号为1，2，3，4四名学生考试成绩

则这四位同窗考试成绩所有也许状况是（ ）
A. 24 B. 15 C. 12 D. 10
解析：可提成两类：

（2）中间两个分数相等

相似两数分别取90，91，92，相应排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10种。
∴共有5＋10＝15（种）状况
51. 二项式定理

性质：

（3）最值：n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项二项式系数最大且为第

表达）

52. 你对随机事件之间关系熟悉吗？

和（并）。

（5）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同步发生”叫做A、B互斥。

（6）对立事件（互逆事件）：

（7）独立事件：A发生与否对B发生概率没有影响，这样两个事件叫做互相独立事件。

53. 对某一事件概率求法：
分清所求是：（1）等也许事件概率（常采用排列组合办法，即

（5）如果在一次实验中A发生概率是p，那么在n次独立重复实验中A正好发生

如：设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件概率。
（1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103
而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”

（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：∵一件一件抽取（有顺序）

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54. 抽样办法重要有：简朴随机抽样（抽签法、随机数表法）常惯用于总体个数较少时，它特性是从总体中逐个抽取；系统抽样，惯用于总体个数较多时，它重要特性是均衡成若干某些，每某些只取一种；分层抽样，重要特性是分层按比例抽样，重要用于总体中有明显差别，它们共同特性是每个个体被抽到概率相等，体现了抽样客观性和平等性。
55. 对总体分布预计——用样本频率作为总体概率，用样本盼望（平均值）和方差去预计总体盼望和方差。
要熟悉样本频率直方图作法：

（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样，则构成此参赛队概率为____________。

56. 你对向量关于概念清晰吗？
（1）向量——既有大小又有方向量。

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不变化。
（6）并线向量（平行向量）——方向相似或相反向量。
规定零向量与任意向量平行。

（7）向量加、减法如图：

（8）平面向量基本定理（向量分解定理）

一组基底。
（9）向量坐标表达

表达。

57. 平面向量数量积

数量积几何意义：

（2）数量积运算法则

［练习］

答案：

答案：2

答案：
58. 线段定比分点

※. 你能分清三角形重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59. 立体几何中平行、垂直关系证明思路清晰吗？
平行垂直证明重要运用线面关系转化：

线面平行鉴定：

线面平行性质：

三垂线定理（及逆定理）：

线面垂直：

面面垂直：

60. 三类角定义及求法
（1）异面直线所成角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。）
三类角求法：
①找出或作出关于角。
②证明其符合定义，并指出所求作角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任始终线。

（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成为30°。
①求BD1和底面ABCD所成角；
②求异面直线BD1和AD所成角；
③求二面角C1—BD1—B1大小。

（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成锐二面角大小。

（∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB交线……）
61. 空间有几种距离？如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点距离，构造三角形，解三角形求线段长（如：三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB1C1距离为___________；
（2）点B到面ACB1距离为____________；
（3）直线A1D1到面AB1C1距离为____________；
（4）面AB1C与面A1DC1距离为____________；
（5）点B到直线A1C1距离为_____________。

62. 你与否精确理解正棱柱、正棱锥定义并掌握它们性质？
正棱柱——底面为正多边形直棱柱
正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面射影是底面中心。

正棱锥计算集中在四个直角三角形中：

它们各包括哪些元素？

63. 球有哪些性质？

（2）球面上两点距离是通过这两点大圆劣弧长。为此，要找球心角！
（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（5）球内接长方体对角线是球直径。正四周体外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

积为（ ）

答案：A
64. 熟记下列公式了吗？

（2）直线方程：

65. 如何判断两直线平行、垂直？

66. 如何判断直线l与圆C位置关系？
圆心到直线距离与圆半径比较。
直线与圆相交时，注意运用圆“垂径定理”。
67. 如何判断直线与圆锥曲线位置？

68. 分清圆锥曲线定义

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到方程，要注意其二次项系数与否为零？△≥0限制。（求交点，弦长，中点，斜率，对称存在性问题都在△≥0下进行。）

71. 会用定义求圆锥曲线焦半径吗？
如：

通径是抛物线所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径圆与准线相切。
72. 关于中点弦问题可考虑用“代点法”。

答案：
73. 如何求解“对称”问题？
（1）证明曲线C：F（x，y）＝0关于点M（a，b）成中心对称，设A（x，y）为曲线C上任意一点，设A'（x'，y'）为A关于点M对称点。

75. 求轨迹方程惯用办法有哪些？注意讨论范畴。
（直接法、定义法、转移法、参数法）
76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目的函数为截距直线，在可行域内平移直线，求出目的函数最值。