平面向量的概念及线性运算.pptx

温馨提示温馨提示:请点击相关栏目。请点击相关栏目。整知识整知识 萃取知识精华萃取知识精华整方法整方法启迪启迪发散思散思维考向分层突破一考向分层突破一 自主自主练透型透型考向分考向分层突破二突破二 互互动讲练型型考向分考向分层突破三突破三 分分层深化型深化型1 1向量的有关概念向量的有关概念考点考点 分分类整合整合定义定义表示表示模模既有大既有大小，又小，又有方向有方向的量叫的量叫做向量做向量(1)(1)字母表示：字母表示：a a，b b，c c等等(2)(2)有向线段表示：有向线段表示：ABAB，CDCD等等向量的长度叫做向量向量的长度叫做向量的模，记作的模，记作|a|a|或或|AB|AB|结束放映束放映返回返回导航航页2.2.几个特殊向量几个特殊向量名称意义零向量长度等于0的向量，其方向是任意的，记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量结束放映束放映返回返回导航航页3.3.向量的加法与减法向量的加法与减法加法加法减法减法定义求两个向量和的运算求两个向量和的运算向量向量a加上向量加上向量b的相反的相反向量叫做向量叫做a与与b的差，即的差，即a(b)ab法则(或几何意义)运算律(1)交交换律：律：abba(2)结合律：合律：(ab)ca(bc)aba(b)结束放映束放映返回返回导航航页4.4.向量的数乘运算及其几何意义向量的数乘运算及其几何意义5 5共线向量定理共线向量定理(2)运算律：运算律：设，是两个是两个实数，数，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.向量向量a(a0)与与b共共线，当且，当且仅当有唯一一个当有唯一一个实数数，使，使ba.(1)定义：实数定义：实数与向量与向量a的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作记作a，它的长度与方向规定如下：，它的长度与方向规定如下：|a|a|；当当0时，时，a与与a的方向相同；当的方向相同；当0时，时，a与与a的方向相反；当的方向相反；当0时，时，a0.结束放映束放映返回返回导航航页1 1三点共线的等价转化三点共线的等价转化考点考点 分分类整合整合2 2向量的中线公式向量的中线公式3 3三角形的重心三角形的重心若若P P为线段为线段ABAB的中点，的中点，O O为平面内一点，则为平面内一点，则OPOP (OA (OAOB)OB)已知平面内不共已知平面内不共线的三点的三点A A，B B，C C，PGPG(PA(PAPBPBPC)GPC)G是是ABCABC的重心特的重心特别地，地，PAPAPBPBPCPC0P0P为ABCABC的重心的重心A，P，B三点共线三点共线APAB(0)OP(1t)OAtOB(O为平为平面内异于面内异于A，P，B的任一点，的任一点，t R)OPxOAyOB(O为平面内异于为平面内异于A，P，B的任一点，的任一点，x R，y R，xy1)结束放映束放映返回返回导航航页1 1给出下列命题：给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小aa0(0(为实数为实数)，则，则必为零必为零，为实数，若为实数，若aabb，则，则a a与与b b共线共线其中错误命题的个数为其中错误命题的个数为()A A1 1B B2 C2 C3 D3 D4 4 考向分层突破一：平面向量的基本概念考向分层突破一：平面向量的基本概念解析：解析：错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点错误两向量共线要看其方向而不是起点与终点正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误当错误当a0时，不论时，不论为何值，为何值，a0.错误当错误当0时，时，ab，此时，此时a与与b可以是任意向量可以是任意向量答案：答案：C结束放映束放映返回返回导航航页解析：解析：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同综上所述，正确命题的序号是综上所述，正确命题的序号是.答案：答案：2 2给出下列命题：给出下列命题：若若|a|a|b|b|，则，则a ab b；若若A A，B B，C C，D D是不共线的四点，则是不共线的四点，则ABABDCDC是四边形是四边形ABCDABCD为平行四边形的充要条件；为平行四边形的充要条件；若若a ab b，b bc c，则则a ac c；a ab b的充要条件是的充要条件是|a|a|b|b|且且ab.ab.其中正确命题的序其中正确命题的序号是号是_正确正确ABDC，|AB|DC|且且AB DC，不正确当不正确当a b且方向相反时，即使且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到，也不能得到ab，故故“|a|b|且且a b”不是不是“ab”的充要条件，而是必要不充分条件的充要条件，而是必要不充分条件正确正确ab.a，b的长度相等且方向相同；又的长度相等且方向相同；又bc，b，c的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故的长度相等且方向相同，故ac.又又A，B，C，D是不共线的四点，是不共线的四点，四边形四边形ABCD为平行四边形；为平行四边形；反之，若四边形反之，若四边形ABCD为平行四边形，则为平行四边形，则AB DC且且|AB|DC|，因此，因此，ABDC.故故“ABDC”是是“四边形四边形ABCD为平行四边形为平行四边形”的充要条件的充要条件结束放映束放映返回返回导航航页对于向量的概念应注意以下几条：对于向量的概念应注意以下几条：(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小结束放映束放映返回返回导航航页考向分层突破二：平面向量的线性运算考向分层突破二：平面向量的线性运算解析：因为解析：因为M是是AC和和BD的中点，的中点，由平行四边形法则，得由平行四边形法则，得OAOC2OM，OBOD2OM，所以所以OAOBOCOD4OM.故选故选D.答案：答案：D1 1(2014(2014福建卷福建卷)设设M M为平行四边形为平行四边形ABCDABCD对角线的交点，对角线的交点，O O为平行为平行四边形四边形ABCDABCD所在平面内任意一点，则所在平面内任意一点，则OAOAOBOBOCOCODOD等于等于()A.OM BA.OM B2OM C2OM C3OM D3OM D4OM 4OM 结束放映束放映返回返回导航航页解析：如图，解析：如图，EBFCECCBFBBC ECFB (ACAB)2ADAD.答案：答案：C2 2(2014(2014全国卷全国卷)设设D D，E E，F F分别为分别为ABCABC的三边的三边BCBC，CACA，ABAB的的中点，则中点，则EBEBFCFC()A.BC B.AD C.AD D.BC A.BC B.AD C.AD D.BC 结束放映束放映返回返回导航航页解析：由题意解析：由题意DEBEBD BC BA (ACAB)AB AB AC，于是于是 ，故故 .答案：答案：3 3(2013(2013江苏卷江苏卷)设设D D，E E分别是分别是ABCABC的边的边ABAB，BCBC上的点，上的点，ADAD ABAB，BEBE BC.BC.若若DEDEABABAC(AC(，为实数为实数)，则，则的的值为值为_结束放映束放映返回返回导航航页1.进行向量运算行向量运算时，要尽可能地将它，要尽可能地将它们转化到平行四化到平行四边形或三角形中，充分形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量利用相等向量、相反向量2向量的向量的线性运算性运算类似于代数多似于代数多项式式的运算，的运算，实数运算中的去括号、移数运算中的去括号、移项、合并同合并同类项、提取公因式等、提取公因式等变形手段在形手段在向量向量线性运算中同性运算中同样适用运用上述法适用运用上述法则可可简化运算化运算结束放映束放映返回返回导航航页考向分层突破三：向量共线定理及其应用考向分层突破三：向量共线定理及其应用例：设例：设e e1 1，e e2 2是两个不共线向量，已知是两个不共线向量，已知ABAB2e2e1 18e8e2 2，CBCBe e1 13e3e2 2，CDCD2e2e1 1e e2 2.(1)(1)求证：求证：A A，B B，D D三点共线三点共线(2)(2)若若BFBF3e3e1 1keke2 2，且，且B B，D D，F F三点共线，求三点共线，求k k的值的值解析：解析：(1)证明：证明：由已知得由已知得BDCDCB(2e1e2)(e13e2)e14e2，AB2e18e2，AB2BD，又有公共点，又有公共点B，A，B，D三点共线三点共线(2)由由(1)可知可知BDe14e2，且，且BF3e1ke2，由由B，D，F三点共线得三点共线得BFBD，即，即3e1ke2e14e2，得得 ，解得，解得k12，k12.结束放映束放映返回返回导航航页解析：解析：d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，跟踪练：已知向量跟踪练：已知向量a a2e2e1 13e3e2 2，b b2e2e1 13e3e2 2，其中，其中e e1 1、e e2 2不共线，不共线，向量向量c c2e2e1 19e9e2 2.问是否存在这样的实数问是否存在这样的实数、，使向量，使向量d daabb与与c c共线？共线？要使要使d与与c共线，则应有实数共线，则应有实数k，使，使dkc，即即(22)e1(33)e22ke19ke2，即即 ，得，得2.故存在这样的实数故存在这样的实数、，只需，只需2，就能使，就能使d与与c共线共线结束放映束放映返回返回导航航页共线向量定理的应用共线向量定理的应用(1)(1)证明向量共线，对于向量证明向量共线，对于向量a a，b b，若存在实数，若存在实数，使使a abb，则，则a a与与b b共线共线(2)(2)证明三点共线，若存在实数证明三点共线，若存在实数，使，使ABABACAC，则，则A A，B B，C C三点共线三点共线(3)(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程件列方程(组组)求参数的值求参数的值 提醒提醒 证明三点共线时，要说明共线的两向量有公证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点共点结束放映束放映返回返回导航航页