北京高考文科空间几何大题.汇总含答案.doc

1.（本小题14分）
如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为的中点。
（Ⅰ）求证：平面.
（Ⅱ）求证：平面平面
（Ⅲ）求三棱锥的体积。

2.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，、分别为、的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
3．（本小题共14分）如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点，求证：
（1）底面
（2）平面
（3）平面平面

4.（本小题共14分）
如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由。

5．（本小题共14分）
如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.

6.（本小题共13分）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直。
EF//AC，AB=,CE=EF=1
（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDF;

7．（本小题共14分）
如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

答案:

（1）（共14分）
解：
（Ⅰ）因为分别为的中点，
所以
又因为平面，
所以平面
（Ⅱ）因为，为的中点，
所以
又因为平面平面，且平面，
所以平面
所以平面平面
（Ⅲ）在等腰直角三角形中，
所以
所以等边三角形的面积
又因为平面，
所以三棱锥的体积等于
又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以三棱锥的体积为
2.（共14分）
解：（Ⅰ）在三棱柱中，，
所以，
又因为，
所以，
所以平面
（Ⅱ）取AB中点G，连结EG,FG
因为E，F分别是的中点，
所以，且，
因为，且，
所以，且
所以四边形为平行四边形
所以
又因为平面平面，
所以平面
（Ⅲ）因为，
所以
所以三棱锥的体积

3．（本小题共14分）
证明：（1）因为，平面底面且平面底面
所以底面
（2）因为和分别是和的中点，所以，
而平面，平面，所以平面
（3）因为底面， 平面
所以，即
因为，，所以
而平面，平面，且
所以平面
因为，所以，所以四边形是平行四边形，
所以，而平面，平面
所以平面，同理平面，
而平面，平面且
所以平面平面， 所以平面
又因为平面
所以平面平面

5.（共14分）
证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，
所以DE//PC。
又因为DE平面BCP，
所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为
AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。
所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，
所以DE⊥DG，
所以四边形DEFG为矩形。
（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：
连接DF，EG，设Q为EG的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.
分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，
且QM=QN=EG，
所以Q为满足条件的点.
6.（共13分）
证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1
所以四边形AGEF为平行四边形
所以AF∥EG
因为EG平面BDE,AF平面BDE,
所以AF∥平面BDE

（Ⅱ）连接FG。因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形。所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面
ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

7.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
（Ⅰ）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵，
∴PD⊥AC，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE//PD，，
又∵，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥BD，
∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，
，
设，则，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.