极坐标与参数方程知识点总结.doc

第一部分：坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图(1)所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作M.一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为。和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图(2)所示:
(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M
直角坐标
极坐标
互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

过极点,倾斜角为的直线

(1)
(2)
过点,与极轴垂直的直线

过点,与极轴平行的直线

注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程点可以表示为等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数①,并且对于的每一个允许值,由方程组①所确定的点都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.
注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数
如图所示，设圆的半径为，点M从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设M，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的普通方程是，
它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为。
注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。
5．双曲线的参数方程
以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中。
焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为，其中
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
6．抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为
7．直线的参数方程
经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。
注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。
【要点名师透析】
一、坐标系
（一）平面直角坐标系中的伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换
（1）求点经过变换所得的点的坐标；
（2）点B经过变换得到点，求点的坐标；
（3）求直线经过变换后所得到直线的方程；
（4）求双曲线经过变换后所得到曲线的焦点坐标。

（二）极坐标与直角坐标的互化
〖例2〗在极坐标系中，如果为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标。

（三）求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P，Q分别在∠AOB的两边OA，OB上，∠AOB=，⊿POQ的面积为8，求PQ中点M的极坐标方程。

（四）极坐标的应用
〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，⊿OPA为等腰直角三角形，⊿OPA的顶角为∠OPA（O，P，A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。

二、参数方程
（一）把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。
（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 （t为参数）距离的最小值。
（二）椭圆参数方程的应用
在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值
解答：

（三）直线参数方程的应用
〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的值及相应的的值。
解析：

（四）圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数)，且曲线C与直线=0相交于两点A、B
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长
【感悟高考真题】
1．在极坐标系中，点（2，）到圆 的圆心的距离为( )
（A）2 (B) (C) （D)
2．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为,在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为的交点个数为______
4．直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为的交点个数为___
5.（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .
6．（2011·陕西高考理科·T15C）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 ．
7．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为 ．
8.（2011.天津高考理科.T11）.已知抛物线的参数方程为（为参数）若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则=________.
9.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为 .
10．（2）在直角坐标系xOy中，直线的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为.（I）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
11.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
12.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.
13.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ23）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为
（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.
14.（2011·辽宁高考理科·Ｔ23）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为.在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=a与C1，C2各有一个交点．当a=0时，这两个交点间的距离为2，当a=时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当a=-时，l与C1，
C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
15. 极坐标和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（D）
A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线
16．极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是
（A）两个圆 （B）两条直线 （C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线
17．在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______．
18． 已知P为半圆C:（为参数，）上的点，点A的坐标为（1,0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。
（I）以O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
【考点模拟演练】
一、选择题
1．已知极坐标平面内的点P，则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为 (　　)
A.，(1，) B.，(1，－) C.，(－1，) D.，(－1，－)
2．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是(　　)
A. B. C. D.
3．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________．
4．过点平行于极轴的直线的极坐标方程是(　　)
A．ρcosθ＝4 B．ρsinθ＝4 C．ρsinθ＝ D．ρcosθ＝ 答案：C
5．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是(　　)
A．(x－1)2(y－1)＝1 B．y＝ C．y＝＋1 D．y＝－1
6．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝对称的直线方程为(　　)
A．ρcosθ＝－2 B．ρsinθ＝2 C．ρsinθ＝－2 D．ρ＝2sinθ
7．已知直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为 (　　)
A．1 B．－1 C. D．－
8．直线3x－4y－9＝0与圆：，(θ为参数)的位置关系是 (　　)
A．相切 B．相离 C．直线过圆心 D．相交但不过圆心
9．设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为________．
10．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
二、填空题
11．在极坐标系中，直线θ＝截圆ρ＝2cos(ρ∈R)所得的弦长是________．
12．直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝0，则坐标变换公式是________．
13．（皖南八校2011届高三第二次联考）已知平面直角坐标系xOy内，直线l的参数方程式为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为，则直线l的圆C的位置关系是 。
14.已知曲线的参数方程为,分别以t和为参数得到两条不同的曲线,这两条曲线公共点个数为 .
15.已知2x2+3y2-6x=0 （x,y∈R），则x2+y2的最大值为 .
16.从极点O作直线与另一直线l∶cos=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12，则点P的轨迹方程为 .
三、解答题
17．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径r＝3，
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．

18．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为(α为参数)，求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．
10