向量的极化恒等式与等和线的应用-学生版.doc

极化恒等式

（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢？
＝————极化恒等式
对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
即：（平行四边形模式）
思考：在图1的三角形ABD中（M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？
因为，所以（三角形模式）
A
B
C
M
例1.(2012年浙江文15)在中，是的中点，，则____ .

目标检测

目标检测

例3.（2013浙江理7）在中,是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则( )
A. B. C. D.

例4. (2017全国2理科12)已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）
A. B. C. D.

课后检测
1.在中，若，，在线段上运动，的最小值为

2.已知是圆的直径,长为2,是圆上异于的一点,是圆所在平面上任意一点,则的最小值为____________

3．在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值为

4． 若点和点分别是双曲线的中心和左焦点，点为双曲线右支上任意一点则的取值范围是 .

5．在，，已知点是内一点，则的最小
值是 .

6.已知是单位圆上的两点，为圆心，且是圆的一条直径，点在圆内，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 正边长等于，点在其外接圆上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

8．在锐角中，已知，，则的取值范围是 ．

9.

平面向量基本定理系数的等和线
【适用题型】平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。
【基本定理】
（一） 平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然
（二） 等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
（1） 当等和线恰为直线时，；
（2） 当等和线在点和直线之间时，；
（3） 当直线在点和等和线之间时，；
（4） 当等和线过点时，；
（5） 若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
【解题步骤及说明】
1、 确定等值线为1的线；
2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；
3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；
说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。
【典型例题】
例1、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角
为，如图所示，点在以为圆心的圆弧上变动。
若，其中，则的最大值
是__________。

跟踪练习：已知为的外心，若，，则的最大值为_______

例2、在平面直角坐标系中，为坐标原点，两定点满足，则点集所表示的区域面积为__________________.

例3、如图，在扇形中，，为弧上不与重合的一个动点，
，若 存在最大值，则的取值范围为__________.

跟踪练习：在正方形中，为中点，为以为直径的半圆弧上任意一点，
设，则的最小值为_____________.

【强化训练】
1、在正六边形中，是三角形内（包括边界）的动点，设，则 的取值范围__________.

2、如图，在平行四边形中，为边的三等份点，为的交点，为边上的一动点，为内一点（含边界），若，则的取值范围__________.

3、设分别是的边，上的点，，，若 （为实数），则的值为_____________.

4、梯形中，，，，为三角形内一点（包括边界），，则的取值范围__________.

5、已知，，点在内，且，设，则的值为____________.

6、在正方形中，为中点，为以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为_____________.

7、已知，为实数）。若为以为直角顶点的直角三角形，则 取值的集合为_______

8、平面内有三个向量，其中夹角为，的夹角为，且，，若，则的值为____________________。

9、如图，是圆上的三点，的延长线与线段的延长线交于圆外的点，若，则的取值范围为___________。

10、已知为的外心，若，，且，则=________.

11、已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值为_______________.
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