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武汉理工控制工程习题解答.docx

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4-1 负反馈系统的开环传递函数,试绘制闭环系统的根轨迹。 解:根轨迹有3个分支,分别起始于0,-1,-2,终止于无穷远。,。实轴上的根轨迹是(-∞,-2]及[-1,0]。 可得,,;是分离点。 根轨迹见图4-28。 图4-28 4-2系统的开环传递函数为,试证明点在根轨迹上,并求出相应的根轨迹增益和开环增益。 解:若点在根轨迹上,则点应满足相角条件,如图4-29所示。 图4-29 对于,由相角条件 满足相角条件,因此在根轨迹上。将代入幅值条件: 所以, , 4-3 已知开环零点,极点,试概略画出相应的闭环根轨迹图。 (1),,,; (2),,; (3),; (4),,,,; 解: 图4-30(1) 图4-30(2) 图4-30(3) 图4-30(4) 4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为 试概略绘出其闭环根轨迹图(要求确定根轨迹的分离点,起始角和与虚轴的交点)。 解:系统有五个开环极点: 1.实轴上的根轨迹: 2.渐近线: 3.分离点: , (舍去) , 4.与虚轴交点:闭环特征方程为 把代入上方程,整理,令实虚部分别为零得: 可得, ,,(舍去) 5.根轨迹的起始角为: 由对称性得,另一起始角为,根轨迹如图习题4-31所示。 图4-31 4-5 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数 试作出以b为参量的根轨迹图。 解:作等效开环传递函数G(s)= 1.实轴上的根轨迹: 2.分离点: 解得: 根轨迹如图4-32所示。 图4-32 4-6 单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统根轨迹,确定使系统稳定的值范围。 解:根轨迹绘制如下: 图4-33 1.实轴上的根轨迹: 2.分离点: 可得: 3.与虚轴交点: 把s=j代入上方程,令 解得: 根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的值范围为;又,所以系统稳定的值范围为。 4-7 系统的框图如图4-26所示,试绘制以为变量的根轨迹图。 图4-26 解:系统的开环传递函数为 系统闭环传递函数 系统闭环特征方程,即 除以得 得等效开环传递函数 令 得等效开环极点 ,为时原系统的闭环极点。 按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。(1)根轨迹起点:,终点:0,-∞; (2)实轴上根轨迹:(-∞,0]区段;(3)分离点:,,, 取,分离角。画出根轨迹如图4-34所示。 图4-34 4-8实系数特征方程 要使其根全为实数,试确定参数的范围。 解:作等效开环传递函数 当时,需绘制常规根轨迹。 1.实轴上的根轨迹: , 2.渐近线: 3.分离点: 解得 根据以上计算,可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。 当时,需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为:,,。 由图4-35(2)可以看出,当时,多项式的根全为实数。因此所求参数的范围为或。因此所求参数的范围为 图4-35(1) 图4-36(2) 4-9 已知负反馈系统的闭环特征方程 1. 绘制系统根轨迹图(0<<∞); 2. 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数的值。 (1)根轨迹的起点为:,,终点在无穷远处(无有限零点)。 (2)分支数。 (3)实轴上根轨迹为(-∞,-14]区段。 (4)渐近线为条。 (5)根轨迹离开复极点的出射角 由公式 根轨迹如图4-37所示 图4-37 2.,按此角过(0,0)点作直线与根轨迹交点,为所求之闭环极点用幅值条件可得(): 4-10 系统的特征方程为 1. 画出,,,,时的根轨迹。 2. 求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时值的范围。 解:1)时,特征方程为 根轨迹是-1及整个虚轴,见图4-38(a)。 ,特征方程可写为 开环传递函数 3支根轨迹,起于0,0,,止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是,交点为 ,;, 在实轴上的分离会合点按下述方法计算。 解得 当时,实轴上根轨迹是[-1,2], ,(不在根轨迹上,舍去) 分离点是1.186,对应的 根轨迹见图4-38(b) ,实轴上根轨迹是[-6,-1] ,是复数,不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c) ,实轴上根轨迹是[-9,-1] 对应的。根轨迹见图4-38(d) ,实轴上根轨迹是[-10,-1] ,, 对应的,。根轨迹见图4-38(e) 2)当分离会合点不是实数时,系统没有非零分离会合点 图3-38(a) 图3-38(b) 图3-38(c) 图3-38(d) 图3-38(e) 4-11 已知某单位反馈系统的开环传递函数为 , 试绘制系统的根轨迹图,说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点,对系统的稳定性有何影响,试仍以根轨迹图来说明。 解: 1.时, (1)根轨迹起始于-1,0,0,终止于三个零点(为无限零点); (2)根轨迹分支数; (3)实轴上的根轨迹位于(-∞,-1]区段; (4)渐近线条。 由图4-39(1)可见,三条根轨迹分支,有两条位于右半平面。当从0→∞时,三个闭环极点中有两个位于右半平面,所以系统不稳定。 图4-39(1) 图4-39(2) 时,。 由图4-39(2)可见,根轨迹渐近线,,由三条变为二条。根轨迹向左半平面变化,闭环极点全部处于左半平面,从0→∞时,控制系统是稳定的。 4-12 设单位负反馈系统的开环传递函数为 1. 绘制系统的根轨迹图(不要求求出分离点); 2. 已知系统的一个闭环极点为-0.9,试求出其余的闭环极点; 3. 该系统是否可以用低阶系统来近似?若能,则求出它的闭环传递函数;若否,则给出理由。 解:1. 绘制系统的根轨迹(),步骤如下: (1) 根轨迹起始于开环极点0,-2,-3;终止于开环零点-1和两个无限零点∞。 (2) 根轨迹的分支数条。 (3) 实轴上的根轨迹区间为[-3,-2],[-1,0]。 (4) 根轨迹的渐近线,有条,与实轴的交点、交角为: (5) 根轨迹的分离点位于[-3,-2]区段内。绘制出系统根轨迹如图4-40所示。 图4-40 2. 已知,,,;,设其余二个闭环极点为。 用幅值条件可以求得 将其代入系统特征方程,即 解得 和构成一对闭环偶极子,故系统可以降阶为二阶系统,其闭环传递函数为 4-13 单位负反馈系统的根轨迹如图4-27所示。 1. 求系统的闭环传递函数; 2. 设计补偿器,使系统在任意k值时都稳定。 图4-27 解:1)由根轨迹图知系统有3个开环极点:0,0,-8,没有开环零点,因此开环传递函数为 单位负反馈系统的闭环传递函数为 2)采用比例微分控制,增加一个开环负实数零点,开环传递函数 这时渐近线与实轴正方向夹角为。只要渐近线和实轴交点是负数,系统的根轨迹就在左半平面。由
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