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4-1 负反馈系统的开环传递函数,试绘制闭环系统的根轨迹。
解:根轨迹有3个分支,分别起始于0,-1,-2,终止于无穷远。,。实轴上的根轨迹是(-∞,-2]及[-1,0]。
可得,,;是分离点。
根轨迹见图4-28。
图4-28
4-2系统的开环传递函数为,试证明点在根轨迹上,并求出相应的根轨迹增益和开环增益。
解:若点在根轨迹上,则点应满足相角条件,如图4-29所示。
图4-29
对于,由相角条件
满足相角条件,因此在根轨迹上。将代入幅值条件:
所以, ,
4-3 已知开环零点,极点,试概略画出相应的闭环根轨迹图。
(1),,,;
(2),,;
(3),;
(4),,,,;
解:
图4-30(1) 图4-30(2)
图4-30(3) 图4-30(4)
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为
试概略绘出其闭环根轨迹图(要求确定根轨迹的分离点,起始角和与虚轴的交点)。
解:系统有五个开环极点:
1.实轴上的根轨迹:
2.渐近线:
3.分离点:
, (舍去) ,
4.与虚轴交点:闭环特征方程为
把代入上方程,整理,令实虚部分别为零得:
可得,
,,(舍去)
5.根轨迹的起始角为:
由对称性得,另一起始角为,根轨迹如图习题4-31所示。
图4-31
4-5 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数
试作出以b为参量的根轨迹图。
解:作等效开环传递函数G(s)=
1.实轴上的根轨迹:
2.分离点:
解得:
根轨迹如图4-32所示。
图4-32
4-6 单位反馈系统的开环传递函数为
试绘制系统根轨迹,确定使系统稳定的值范围。
解:根轨迹绘制如下:
图4-33
1.实轴上的根轨迹:
2.分离点:
可得:
3.与虚轴交点:
把s=j代入上方程,令
解得:
根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的值范围为;又,所以系统稳定的值范围为。
4-7 系统的框图如图4-26所示,试绘制以为变量的根轨迹图。
图4-26
解:系统的开环传递函数为
系统闭环传递函数
系统闭环特征方程,即
除以得
得等效开环传递函数
令
得等效开环极点 ,为时原系统的闭环极点。
按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。(1)根轨迹起点:,终点:0,-∞;
(2)实轴上根轨迹:(-∞,0]区段;(3)分离点:,,,
取,分离角。画出根轨迹如图4-34所示。
图4-34
4-8实系数特征方程
要使其根全为实数,试确定参数的范围。
解:作等效开环传递函数
当时,需绘制常规根轨迹。
1.实轴上的根轨迹: ,
2.渐近线:
3.分离点:
解得
根据以上计算,可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。
当时,需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为:,,。
由图4-35(2)可以看出,当时,多项式的根全为实数。因此所求参数的范围为或。因此所求参数的范围为
图4-35(1) 图4-36(2)
4-9 已知负反馈系统的闭环特征方程
1. 绘制系统根轨迹图(0<<∞);
2. 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数的值。
(1)根轨迹的起点为:,,终点在无穷远处(无有限零点)。
(2)分支数。
(3)实轴上根轨迹为(-∞,-14]区段。
(4)渐近线为条。
(5)根轨迹离开复极点的出射角
由公式
根轨迹如图4-37所示
图4-37
2.,按此角过(0,0)点作直线与根轨迹交点,为所求之闭环极点用幅值条件可得():
4-10 系统的特征方程为
1. 画出,,,,时的根轨迹。
2. 求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时值的范围。
解:1)时,特征方程为
根轨迹是-1及整个虚轴,见图4-38(a)。
,特征方程可写为
开环传递函数
3支根轨迹,起于0,0,,止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是,交点为
,;,
在实轴上的分离会合点按下述方法计算。
解得
当时,实轴上根轨迹是[-1,2],
,(不在根轨迹上,舍去)
分离点是1.186,对应的
根轨迹见图4-38(b)
,实轴上根轨迹是[-6,-1]
,是复数,不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)
,实轴上根轨迹是[-9,-1]
对应的。根轨迹见图4-38(d)
,实轴上根轨迹是[-10,-1]
,,
对应的,。根轨迹见图4-38(e)
2)当分离会合点不是实数时,系统没有非零分离会合点
图3-38(a) 图3-38(b)
图3-38(c) 图3-38(d)
图3-38(e)
4-11 已知某单位反馈系统的开环传递函数为
,
试绘制系统的根轨迹图,说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点,对系统的稳定性有何影响,试仍以根轨迹图来说明。
解:
1.时,
(1)根轨迹起始于-1,0,0,终止于三个零点(为无限零点);
(2)根轨迹分支数;
(3)实轴上的根轨迹位于(-∞,-1]区段;
(4)渐近线条。
由图4-39(1)可见,三条根轨迹分支,有两条位于右半平面。当从0→∞时,三个闭环极点中有两个位于右半平面,所以系统不稳定。
图4-39(1) 图4-39(2)
时,。
由图4-39(2)可见,根轨迹渐近线,,由三条变为二条。根轨迹向左半平面变化,闭环极点全部处于左半平面,从0→∞时,控制系统是稳定的。
4-12 设单位负反馈系统的开环传递函数为
1. 绘制系统的根轨迹图(不要求求出分离点);
2. 已知系统的一个闭环极点为-0.9,试求出其余的闭环极点;
3. 该系统是否可以用低阶系统来近似?若能,则求出它的闭环传递函数;若否,则给出理由。
解:1. 绘制系统的根轨迹(),步骤如下:
(1) 根轨迹起始于开环极点0,-2,-3;终止于开环零点-1和两个无限零点∞。
(2) 根轨迹的分支数条。
(3) 实轴上的根轨迹区间为[-3,-2],[-1,0]。
(4) 根轨迹的渐近线,有条,与实轴的交点、交角为:
(5) 根轨迹的分离点位于[-3,-2]区段内。绘制出系统根轨迹如图4-40所示。
图4-40
2. 已知,,,;,设其余二个闭环极点为。
用幅值条件可以求得
将其代入系统特征方程,即
解得
和构成一对闭环偶极子,故系统可以降阶为二阶系统,其闭环传递函数为
4-13 单位负反馈系统的根轨迹如图4-27所示。
1. 求系统的闭环传递函数;
2. 设计补偿器,使系统在任意k值时都稳定。
图4-27
解:1)由根轨迹图知系统有3个开环极点:0,0,-8,没有开环零点,因此开环传递函数为
单位负反馈系统的闭环传递函数为
2)采用比例微分控制,增加一个开环负实数零点,开环传递函数
这时渐近线与实轴正方向夹角为。只要渐近线和实轴交点是负数,系统的根轨迹就在左半平面。由
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