武汉理工控制工程习题解答.docx

4-1 负反馈系统的开环传递函数，试绘制闭环系统的根轨迹。
解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，终止于无穷远。，。实轴上的根轨迹是（-∞，-2]及[-1,0]。

可得，，；是分离点。
根轨迹见图4-28。

图4-28
4-2系统的开环传递函数为，试证明点在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。
解：若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图4-29所示。

图4-29
对于，由相角条件

满足相角条件，因此在根轨迹上。将代入幅值条件：

所以， ，
4-3 已知开环零点，极点，试概略画出相应的闭环根轨迹图。
（1），，，；
（2），，；
（3），；
（4），，，，；
解：

图4-30（1） 图4-30（2）

图4-30（3） 图4-30（4）
4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数为

试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。
解：系统有五个开环极点：

1.实轴上的根轨迹：
2.渐近线：
3.分离点：
, (舍去) ,
4.与虚轴交点：闭环特征方程为

把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：

可得，
，，（舍去）
5.根轨迹的起始角为：

由对称性得，另一起始角为，根轨迹如图习题4-31所示。

图4-31
4-5 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数

试作出以b为参量的根轨迹图。
解：作等效开环传递函数G(s)=
1.实轴上的根轨迹：
2.分离点：
解得：
根轨迹如图4-32所示。

图4-32
4-6 单位反馈系统的开环传递函数为

试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的值范围。
解：根轨迹绘制如下：

图4-33
1.实轴上的根轨迹：
2.分离点：

可得：
3.与虚轴交点

把s=j代入上方程，令

解得：
根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的值范围为；又，所以系统稳定的值范围为。
4-7 系统的框图如图4-26所示，试绘制以为变量的根轨迹图。

图4-26
解:系统的开环传递函数为
系统闭环传递函数
系统闭环特征方程，即

除以得
得等效开环传递函数
令
得等效开环极点 ，为时原系统的闭环极点。
按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。（1）根轨迹起点：，终点：0，-∞；
（2）实轴上根轨迹：（-∞，0]区段；（3）分离点：，，，
取，分离角。画出根轨迹如图4-34所示。

图4-34
4-8实系数特征方程
要使其根全为实数，试确定参数的范围。
解：作等效开环传递函数

当时，需绘制常规根轨迹。
1.实轴上的根轨迹： ，
2.渐近线：
3.分离点：

解得
根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。
当时，需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：，，。
由图4-35(2)可以看出，当时，多项式的根全为实数。因此所求参数的范围为或。因此所求参数的范围为

图4-35(1) 图4-36(2)
4-9 已知负反馈系统的闭环特征方程

1. 绘制系统根轨迹图(0<<∞)；
2 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数的值。

(1)根轨迹的起点为：，，终点在无穷远处（无有限零点）。
(2)分支数。
(3)实轴上根轨迹为(-∞，-14]区段。
(4)渐近线为条。

(5)根轨迹离开复极点的出射角
由公式

根轨迹如图4-37所示

图4-37
2.，按此角过(0,0)点作直线与根轨迹交点，为所求之闭环极点用幅值条件可得():

4-10 系统的特征方程为
1. 画出，，，，时的根轨迹。
2. 求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时值的范围。
解：1）时，特征方程为
根轨迹是-1及整个虚轴，见图4-38(a)。
，特征方程可写为

开环传递函数

3支根轨迹，起于0，0，，止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是，交点为
，；，
在实轴上的分离会合点按下述方法计算。

解得

当时，实轴上根轨迹是[-1,2]，

，(不在根轨迹上，舍去)
分离点是1.186，对应的
根轨迹见图4-38(b)
，实轴上根轨迹是[-6,-1]

，是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)
，实轴上根轨迹是[-9,-1]

对应的。根轨迹见图4-38(d)
，实轴上根轨迹是[-10,-1]

，，
对应的，。根轨迹见图4-38(e)
2）当分离会合点不是实数时，系统没有非零分离会合点

图3-38(a) 图3-38(b)

图3-38(c) 图3-38(d)

图3-38(e)
4-11 已知某单位反馈系统的开环传递函数为
，
试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点，对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图来说明。
解：
1.时，
(1)根轨迹起始于-1，0，0，终止于三个零点(为无限零点)；
(2)根轨迹分支数；
(3)实轴上的根轨迹位于（-∞，-1]区段；
(4)渐近线条。

由图4-39（1）可见，三条根轨迹分支，有两条位于右半平面。当从0→∞时，三个闭环极点中有两个位于右半平面，所以系统不稳定。

图4-39（1） 图4-39（2）
时，。
由图4-39（2）可见，根轨迹渐近线，，由三条变为二条。根轨迹向左半平面变化，闭环极点全部处于左半平面，从0→∞时，控制系统是稳定的。
4-12 设单位负反馈系统的开环传递函数为

1. 绘制系统的根轨迹图（不要求求出分离点）；
2. 已知系统的一个闭环极点为-0.9，试求出其余的闭环极点；
3. 该系统是否可以用低阶系统来近似？若能，则求出它的闭环传递函数；若否，则给出理由。
解：1. 绘制系统的根轨迹()，步骤如下：
(1) 根轨迹起始于开环极点0，-2，-3；终止于开环零点-1和两个无限零点∞。
(2) 根轨迹的分支数条。
(3) 实轴上的根轨迹区间为[-3,-2]，[-1,0]。
(4) 根轨迹的渐近线，有条，与实轴的交点、交角为：

(5) 根轨迹的分离点位于[-3,-2]区段内。绘制出系统根轨迹如图4-40所示。

图4-40
2. 已知，，，；，设其余二个闭环极点为。
用幅值条件可以求得

将其代入系统特征方程，即

解得
和构成一对闭环偶极子，故系统可以降阶为二阶系统，其闭环传递函数为

4-13 单位负反馈系统的根轨迹如图4-27所示。
1. 求系统的闭环传递函数；
2. 设计补偿器，使系统在任意k值时都稳定。

图4-27
解：1）由根轨迹图知系统有3个开环极点：0，0，-8，没有开环零点，因此开环传递函数为

单位负反馈系统的闭环传递函数为

2）采用比例微分控制，增加一个开环负实数零点，开环传递函数

这时渐近线与实轴正方向夹角为。只要渐近线和实轴交点是负数，系统的根轨迹就在左半平面。由