资源描述
一．选择题（共19小题）
1．如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．= B．=3 C．= D．=
2．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
7．如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2=BC•CD D．=
8．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
9．如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
10．在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若=，则tan∠EDF=；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（ ）
A．①是假命题，②是假命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是真命题
11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
12．小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ ）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米
13．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，BE，AD分别为∠ABC，∠CAB的角平分线，AB=6，则DE的长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．5
14．如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），
则△OCD与四边形ABDC的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
15．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）
A．= B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG
16．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
18．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）
A．1： B．1： C．1：2 D．2：3
19．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
20．已知：3a=2b，那么=．
21．如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中是AD和AB的比例中项．
22．在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．
23．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为．
24．如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是．
25．如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是．
26．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC于点F，如果=，CD=6，那么AE=．
27．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．
28．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG=．
29．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE=．
30．如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则S△EDF：S△BFC：S△BCD等于．
三．解答题（共10小题）
31．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交AC于E，点F是DE延长线上一点，联结AF．
（1）如果=，DE=6，求边BC的长；
（2）如果∠FAE=∠B，FA=6，FE=4，求DF的长．
32．已知：如图，在△ABC中，点D、G分别在边AB、BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．
（1）求证：AC2=AD•AB；
（2）若=，求证：CG2=DF•BG．
33．如图，AC是圆O的直径，AB、AD是圆O的弦，且AB=AD，连结BC、DC．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）延长AB、DC交于点E，若EC=5cm，BC=3cm，求四边形ABCD的面积．
34．如图，在锐角△ABC中，D，E分别为AB，BC中点，F为AC上一点，且∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．
（1）点G在BE上，且∠BDG=∠C，求证：DG•CF=DM•EG；
（2）在图中，取CE上一点H，使∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长．
35．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：
（1）△ABF∽△BED；
（2）=．
36．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB上的中点，E是边BC上的点，AE与CD交于点F，且AC2=CE•CB．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）连接BF，如果点E是BC中点，求证：∠EBF=∠EAB．
37．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．
（1）求EF的长；
（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．
38．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2=GE•GD．
（1）求证：∠ACF=∠ABD；
（2）连接EF，求证：EF•CG=EG•CB．
39．如图，已知正方形ABCD，点E在CB的延长线上，联结AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE且与AE交于点G．
（1）求证：GF=BF．
（2）在BC边上取点M，使得BM=BE，联结AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF．
40．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是边BC上的两个点，且BD=DE=EC，过点C作CF∥AB交AE延长线于点F，连接FD并延长与AB交于点G；
（1）求证：AC=2CF；
（2）连接AD，如果∠ADG=∠B，求证：CD2=AC•CF．
相似函数常考题型与解析
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
1．（2017•徐汇区一模）如果2x=3y（x、y均不为0），那么下列各式中正确的是（ ）
A．= B．=3 C．= D．=
【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．
【解答】解：∵2x=3y，
∴=，
∴选项A不正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==3，
∴选项B正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴选项C不正确；
∵2x=3y，
∴=，
∴==，
∴∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．
2．（2017•浦东新区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE∥BC的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：
只有选项C正确，
理由是：∵AD=2，BD=4，=，
∴==，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、D的条件都不能推出DE∥BC，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
3．（2017•静安区一模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（ ）
A．= B．= C．= D．=
【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可
【解答】解：
只有选项D正确，
理由是：∵AD=2，BD=4，=，
∴==，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，
故选D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
4．（2017•普陀区一模）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3与点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3与点D、E、F，AC与DF相交于点H，如果AH=2，BH=1，BC=5，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例，可以解答本题．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∵AH=2，BH=1，BC=5，
∴AB=AH+BH=3，
∴，
∴，
故选D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5．（2017•郑州一模）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
6．（2017•闵行区一模）如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BDF∽△BEC B．△BFA∽△BEC C．△BAC∽△BDA D．△BDF∽△BAE
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【解答】解：∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故C正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．
故选A．
【点评】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
7．（2017•普陀区一模）如图，在四边形ABCD中，如果∠ADC=∠BAC，那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是（ ）
A．∠DAC=∠ABC B．AC是∠BCD的平分线
C．AC2=BC•CD D．=
【分析】已知∠ADC=∠BAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似；D选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定．
【解答】解：在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，
如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有：
①∠DAC=∠ABC或AC是∠BCD的平分线；
②=；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键．
8．（2017•杨浦区一模）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（ ）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．
【解答】解：∵，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．
9．（2017•松江区一模）如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那么△AEF和△ABC的周长比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9
【分析】由△AEF∽△ABC，可知△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，根据cosA==，即可解决问题．
【解答】解：∵BE、CF分别是AC、AB边上的高，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AEB∽△AFC，
∴=，
∴=，∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB，
∵cosA==，
∴∴△AEF与△ABC的周长比=AE：AB=1：3，
故选B．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．
10．（2017•海宁市校级模拟）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若=，则tan∠EDF=；②若DE2=BD•EF，则DF=2AD，则（ ）
A．①是假命题，②是假命题 B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是真命题
【分析】①由已知先求出cos∠BFC=，再求出tan∠EDF，即可判断；
②由S△DEF=DF•AD=BD•EF，及DE2=BD•EF，可得DF•AD=DF2，即DF=2AD．
【解答】解：①设CF=x，DF=y，BC=h．
∵四边形BFDE是菱形，
∴BF=DF=y，DE∥BF．
∵若=，
∴=，
∴=，即cos∠BFC=，
∴∠BFC=30°，
∵DE∥BF，
∴∠EDF=∠BFC=30°，
∴tan∠EDF=，
所以①是真命题．
②∵四边形BFDE是菱形，
∴DF=DE．
∵S△DEF=DF•AD=BD•EF，
又∵DE2=BD•EF（已知），
∴S△DEF=DE2=DF2，
∴DF•AD=DF2，
∴DF=2AD，
所以②是真命题．
故选D．
【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的性质、锐角三角函数、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用面积法确定两条线段之间的关系，属于中考常考题型．
11．（2017•青浦区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，如果S△ACD：S△ABC=1：2，那么S△AOD：S△BOC是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【分析】首先根据S△ACD：S△ABC=1：2，可得AD：BC=1：2；然后根据相似三角形的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出S△AOD：S△BOC是多少即可．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，而且S△ACD：S△ABC=1：2，
∴AD：BC=1：2；
∵AD∥BC，
∴△AOD～△BOC，
∵AD：BC=1：2，
∴S△AOD：S△BOC=1：4．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应用，要熟练掌握．
12．（2017•松江区一模）小明身高1.5米，在操场的影长为2米，同时测得教学大楼在操场的影长为60米，则教学大楼的高度应为（ ）
A．45米 B．40米 C．90米 D．80米
【分析】在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，利用对应边成比例可得所求的高度．
【解答】解：∵在相同时刻，物高与影长组成的直角三角形相似，
∴1.5：2=教学大楼的高度：60，
解得教学大楼的高度为45米．
故选A．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：在相同时刻，物高与影长的比相同．
13．（2017春•萧山区校级月考）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，BE，AD分别为∠ABC，∠CAB的角平分线，AB=6，则DE的长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．5
【分析】连结OE，OD．先证明∠CAB+∠CBA=90°，由角平分线的定义可证明∠DAB+∠EBA=45°，接下来，利用圆周角定理可知可证明∠AOE+∠BOD=90°，则△EOD为等腰直角三角形，最后利用特殊锐角三角函数值可求得ED的长．
【解答】解：连结OE，OD．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵BE，AD分别为∠ABC，∠CAB的角平分线，
∴∠DAB+∠EBA=45°．
由圆周角定理可知∠AOE=2∠ABE，∠DOB=2∠DAB，
∴∠AOE+∠BOD=90°．
∴∠EOD=90°．
∵AB=6，
∴OE=OD=3．
∴ED=OE=3．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理以及其推理的应用、特殊锐角三角函数值，得到△EOD为等腰直角三角形是解题的关键．
14．（2017春•萧山区校级月考）如图，AB，CD都垂直于x轴，垂足分别为B，D，若A（6，3），C（2，1），
则△OCD与四边形ABDC的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：8
【分析】先求得线段OA所在直线的解析式，从而可判断点C在直线OA上，根据△OCD∽△OAB得=（）2=，继而可得答案．
【解答】解：设OA所在直线为y=kx，
将点A（6，3）代入得：3=6k，
解得：k=，
∴OA所在直线解析式为y=x，
当x=2时，y=×2=1，
∴点C在线段OA上，
∵AB，CD都垂直于x轴，且CD=1、AB=3，
∴△OCD∽△OAB，
∴=（）2=，
则△OCD与四边形ABDC的面积比为1：8，
故选：D．
【点评】本题主要考查坐标与图形的性质及相似三角形的判定与性质，根据题意判断出点O、C、A三点共线是利用相似三角形的判定与性质得前提和关键．
15．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）
A．= B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACD D．S△ADH=S△CEG
【分析】由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得=，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知==，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG，可判断D．
【解答】解：∵∠B=∠C=36°，
∴AB=AC，∠BAC=108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴=，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA=BA，
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，
则=，即==，故A错误；
∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，
∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
∵，
∴△BAE≌△CAD，故C正确；
由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD，即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE，
∴S△BAD=S△CAE，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴S△ADH=S△ABD，S△CEG=S△CAE，
∴S△ADH=S△CEG，故D正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查黄金分割、全等三角形的判定与性质及线段的垂直平分线的综合运用，掌握其性质、判定并灵活应用是解题的关键．
16．（2016•淄博）如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判断△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可．
【解答】解：如图，作BF⊥l3，AE⊥l3，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∵∠BCF+∠CFB=90°，
∴∠ACE=∠CBF，
在△ACE和△CBF中，
，
∴△ACE≌△CBF，
∴CE=BF=3，CF=AE=4，
∵l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，
∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7
∴AB==5，
∵l2∥l3，
∴=
∴DG=CE=，
∴BD=BG﹣DG=7﹣=，
∴=．
故选A．
【点评】此题是平行线分线段成比例试题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形．
17．（2016•随州）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到=，==，结合图形得到=，得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴=，
∵DE∥AC，
∴==，
∴=，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18．（2016•泰安）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠B=30°，CE平分∠ACB交⊙O于E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE：S△CDB的值等于（ ）
A．1： B．1： C．1：2 D．2：3
【分析】由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据已知条件得到，根据三角形的角平分线定理得到=，求出AD=AB，BD=AB，过C作CF⊥AB于F，连接OE，由CE平分∠ACB交⊙O于E，得到OE⊥AB，求出OE=AB，CF=AB，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=30°，
∴，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴=，
∴AD=AB，BD=AB，
过C作CF⊥AB于F，连接OE，
∵CE平分∠ACB交⊙O于E，
∴=，
∴OE⊥AB，
∴OE=AB，CF=AB，
∴S△ADE：S△CDB=（AD•OE）：（BD•CF）=（）：（）=2：3．
故选D．
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
19．（2016•泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理得到AF===2，根据平行线分线段成比例定理得到OH=AE=，由相似三角形的性质得到==，求得AM=AF=，根据相似三角形的性质得到==，求得AN=AF=，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF===2，
∵OH∥AE，
∴==，
∴OH=AE=，
∴OF=FH﹣OH=2﹣=，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴==，
∴AM=AF=，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴==，
∴AN=AF=，
∴MN=AN﹣AM=﹣=，
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
20．（2017•闵行区一模）已知：3a=2b，那么= ﹣．
【分析】由3a=2b，可得=，可设a=2k，那么b=3k，代入，计算即可求解．
【解答】解：∵3a=2b，
∴=，
∴可设a=2k，那么b=3k，
∴==﹣．
故答案为﹣．
【点评】本题考查了比例的基本性质，是基础题，利用设“k”法比较简单．
21．（2017•宝山区一模）如图，D为△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠ABC时，那么图中 AC 是AD和AB的比例中项．
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得△ACD∽△ABC的关系，根据相似三角形的性质，可得答案．
【解答】解：在△ACD与△ABC中，
∠ACD=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=，
∴AC是AD和AB的比例中项．
故答案为AC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，比例线段，得出△ACD∽△ABC是解题的关键．
22．（2017•静安区一模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为．
【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：如图，∵△ADE∽△ABC，
∴==，即==，解得DE=，AE=，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=；
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
23．（2017•黄浦区一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为 4或．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时，=，即=，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时，=，即=，解得AP=．
故答案为：4或．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
24．（2017•闵行区一模）如图，△OPQ在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点A，B，C，D，E也是小正方形的顶点，从点A，B，C，D，E中选取三个点所构成的三角形与△OPQ相似，那么这个三角形是△CDB ．
【分析】连接BC、BD，由正方形的性质得出∠BCD=∠QOP，由勾股定理得：OP=BC=，证出，得出△OPQ∽△CDB即可．
【解答】解：与△OPQ相似的是△BCD；理由如下：
连接BC、BD，如图所示：
则∠BCD=90°+45°=135°=∠QOP，
由勾股定理得：OP=BC=，
∵OQ=2，CD=1，
∴，
∴△OPQ∽△CDB；
故答案为：△CDB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理、正方形的性质以及勾股定理；熟练掌握相似三角形的判定定理和勾股定理是解决问题的关键．
25．（2017•浦东新区一模）如图，点M是△ABC的角平分线AT的中点，点D、E分别在AB、AC边上，线段DE过点M，且∠ADE=∠C，那么△ADE和△ABC的面积比是 1：4 ．
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵AT是△ABC的角平分线，
∵点M是△ABC的角平分线AT的中点，
∴AM=AT，
∵∠ADE=∠C，∠BAC=∠BAC，
∴△ADE∽△ACB，
∴=（）2=（）2=1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
26．（2017•闵行区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，联结DE，交对角线AC于点F，如果=，CD=6，那么AE= 4 ．
【分析】由=推出AF：FC=2：3，由四边形ABCD是平行四边形，推出CD∥AB，推出==，由此即可解决问题．
【解答】解：∵=，
∴AF：FC=2：3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴△AEF∽△CDF，
∴==，
∵CD=6，
∴AE=4，
故答案为4．
【点评】本题考查相似三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，求出AF：CF的值是关键，属于中考常考题型．
27．（2017•徐汇区一模）如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．
【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．
【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，
∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，
在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，
∴CH=a，DH=a，
在Rt△DFH中，DF===2a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG=a，GE=a，
在Rt△BEG中，BE===a，
∴•AP•BE=•DF•AQ，
∴==，
故答案为．
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
28．（2017•青浦区一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结CE并延长，交对角线BD于点F，交BA的延长线于点G，如果DE=2AE，那么CF：EF：EG= 6：4：5 ．
【分析】设AE=x，则DE=2x，由四边形ABCD是平行四边形得BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，证△GAE∽△GBC、△DEF∽△BCF得==、==，即=，设EF=2y，则CF=3y、GE=y，从而得出答案．
【解答】解：设AE=x，则DE=2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AE+DE=3x，AD∥BC，
∴△GAE∽△GBC，△DEF∽△BCF，
∴==，==，
∴=，
设EF=2y，则CF=3y，
∴EC=EF+CF=5y，
∴GE=y，
则CF：EF：EG=3y：2y：y=6：4：5，
故答案为：6：4：5．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
29．（2017•金山区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，DO：BO=1：2，点E在CB的延长线上，如果S△AOD：S△ABE=1：3，那么BC：BE= 2：1 ．
【分析】由平行线证出△AOD∽△COB，得出S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，由S△AOD：S△ABE=1：3，得出S△ABC：S△ABE=2：1，即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵DO：BO=1：2，
∴S△AOD：S△COB=1：4，S△AOD：S△AOB=1：2，
∵S△AOD：S△ABE=1：3，
∴S△ABC：S△ABE=6：3=2：1，
∴BC：B
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