高中数学复数专题知识点整理和总结人教版(1).doc

专题一 复数
一．基本知识

㈠复数的基本概念
⑴i叫虚数单位，规定：①i2=﹣1,②实数的一切运算法则对i都成立。
⑵i的正整数指数幂的化简
i4n= i4n+1= i4n+2= i4n+3=
⑶形如a +bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i，它的平方等于－1，其中a叫做复数的实部，b叫做虚部.
①实数：当b = 0时复数a + bi为实数
②虚数：当时的复数a + bi为虚数；
③纯虚数：当a = 0且时的复数a + bi为纯虚数.
⑷两个复数相等的定义：
a+bi=c+di↔a=c且b=d ;a+bi=0↔a=0且b=0.
强调：两个虚数不比较大小，也就是说：两个复数都是实数时才比较大小。
⑸共轭复数：的共轭记作；
⑹复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；，对应点坐标为；（象限的复习）
⑺复数的模：对于复数，把叫做复数z的模；
㈡复数的基本运算
设，
（1） 加法：；
（2） 减法：；
（3） 乘法： 特别。
（4） 除法：
=

二． 例题分析
【例1】已知，求
（1） 当为何值时z为实数
（2） 当为何值时z为纯虚数
（3） 当为何值时z为虚数
（4） 当满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。
【变式1】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A． B． C D．或

（2）（2012北京文2）在复平面内，复数对应的点的坐标为（ ）
（A） （B） （C） （D）

【例2】已知；，求当为何值时

【例3】已知，求，；

【变式1】复数z满足，则求z的共轭

(2）（2012年新课标全国文2）复数z＝的共轭复数是 （ ）
（A）2+i （B）2－i （C）－1+i （D）－1－i
【变式2】（2010年全国卷新课标）已知复数，则=（ ）
A. B. C.1 D.2

【例4】已知，
（1） 求的值；
（2） 求的值；
（3） 求.
【变式1】已知复数z满足，求z的模.
【变式2】若复数是纯虚数，求复数的模.
【例5】若复数（i为虚数单位），
（1） 若z为实数，求的值
（2） 当z为纯虚，求的值.

1. (2012年山东 1)若复数z满足为虚数单位)，则为 （ ）
(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i　　　(D)－3－5i
2. （2013全国理2）若复数满足则z的虚部为（ ）
（A） （B） （C）4 （D）

3．(2013北京，文4)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于(　　)．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4.(2013课标全国Ⅰ，文2) ＝(　　)．
A． B． C． D．
5．(2013山东，文1)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)．
A．25 B． C．5 D．
6.(2014北京9)若，则 .

7.（2014年全国文3）设，则
A. B. C. D. 2
8.（2014山东文1）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则
（A） （B） （C） （D）

【例6】（2012年全国卷 新课标）下面是关于复数的四个命题：其中的真命题为（ ）
的共轭复数为的虚部为

【变式1】设是实数，且是实数，求的值..

【变式2】若是实数，则实数的值是 .

【例7】复数对应的点位于第 象限

【变式1】是虚数单位,等于 ( )
A．i B．-i C．1 D．-1

【变式2】已知=2+i,则复数z=（）
（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i

【变式3】i是虚数单位，若，则乘积的值是
（A）－15 （B）－3 （C）3 （D）15

【例8】（2012年天津）复数= （ ）
（A） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）

【变式4】（2007年天津）已知是虚数单位， （ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ．

【变式5】.（2011年天津）已知是虚数单位，复数= （ ）
ABCD

【变式6】（2011年天津） 已知i是虚数单位，复数（ ）
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i

【变式7】.（2008年天津）已知是虚数单位，则 （ ）
(A) (B)1 (C) (D)

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