高等数学无穷级数.pptx

无穷级数无穷级数 第一节第一节 数项级数及其敛散性数项级数及其敛散性第二节第二节 幂级数幂级数 一、常一、常数项级数及其敛散性数项级数及其敛散性 1常数项常数项常数项常数项级数的概念级数的概念定义定义1 设给定一个数列设给定一个数列 则表达式则表达式 （11111 1）称为常数项无穷级数常数项无穷级数，简称数项级数，数项级数，记作 即 其中其中第第n 项项 称为一般项或通项称为一般项或通项第一节第一节 常数项级数及其敛散性常数项级数及其敛散性例如，级数 的一般项为又如级数的一般项为 简言之，数列的和式称为级数级数.定义定义2 设级数的前项之和前项之和为 称Sn为级数的前项部分和前项部分和当依次取1，2，3，时，新的数列新的数列新的数列新的数列 ，数列 称为级数 的部分和数列部分和数列若此数列的极限存在，即 (常数),则S 称为 的和，记作此时称级数 收敛收敛如果数列 没有极限，则称级数 发发散散，这时级数没有和 当级数收敛时，其部分和 是级数和S的近似值，称 为级数的余项级数的余项，记作 ，即 例例1 判定级数 的敛散性.解解 已知级数的前n项和是：因为 ,所以这个级数收敛,其和为1.例例3 讨论等比级数（也称几何级数）的敛散性.解解(1)前n项和当 时，所以级数级数级数级数 收敛收敛收敛收敛，其和当 时，所以级数 发散发散发散发散.(2)当 时，于是 所以级数 发散.当 时，其前n项和显然，当n时，Sn没有极限没有极限没有极限没有极限.所以，级数 发散.综上所述，等比级数 ，当 时收敛,当时发散.结论记住结论记住结论记住结论记住 注注意意 几何级数 的敛散性非常重要.无论是用比比比比较较较较判判判判别别别别法法法法判判判判别别别别级级级级数数数数的的的的敛敛敛敛散散散散性性性性，还是用间接法将函数展开为幂级数，都经常以几何级数敛散性为基础基础.2数项级数的基本性质数项级数的基本性质 性性质质1 如果级数 收敛，其和为s,k为常数，则级数 也收敛，其和为ks；如果级数 发散，当k0时，级数 也发散.由此可知，级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变级数的每一项同乘以不为零的常数后，其敛散性不变.性性质质2 若级数 与 分别收敛于与 ，则级数 ，收敛于性性质质3 3 添添添添加加加加、去去去去掉掉掉掉或或或或改改改改变变变变级级级级数数数数的的的的有有有有限限限限项项项项，级数的敛散性不变.性性质质4 若级数 收敛，则对对对对其其其其各各各各项项项项间间间间任任任任意意意意加加加加括括括括号号号号后后后后所得的级数仍收敛，且其和不变仍收敛，且其和不变.应当注意，性性性性质质质质4 4的的的的结结结结论论论论反反反反过过过过来来来来并并并并不不不不成成成成立立立立.即如果加括号后级数收敛，原级数未必收敛.例如级数 （1-1）+（1-1）+（1-1）+显然收敛于零，但级数1+1-1+1-1+却是发散的却是发散的却是发散的却是发散的.性质性质5（级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件）若级数若级数若级数若级数 收收收收敛，则敛，则敛，则敛，则 例例5判别级数 的敛散性解解 因为所以级数 发散.例例6判别级数 的敛散性.解解 级数 与级数 都收敛，故由性质2知，级数 收敛.注注意意 性性性性质质质质5 5可可可可以以以以用用用用来来来来判判判判定定定定级级级级数数数数发发发发散散散散：如如如如果果果果级级级级数数数数一一一一般般般般项项项项不不不不趋趋趋趋于于于于零零零零，则则则则该该该该级级级级数数数数必必必必定定定定发发发发散散散散.应当看到，性质5只是级数收敛的必要条件，并不是级数收敛的充分条件，也就是说，即使 ，也不能由此判定级数 收敛.下下下下面面面面的的的的例例例例正正正正说说说说明明明明了了了了这这这这一一一一点点点点：，但级数但级数但级数但级数 发散发散发散发散.例例7 证明调和级数 是发散级数.证证 调和级数部分和 如图，考察曲线 ，所围成的曲边梯形的面 积S与阴影表示的阶梯形面积An之间的关系.所以，阴影部分的总面积为它显然大于大于大于大于曲边梯形的面积S，即有而 ，表明A的极限不存在，所以该级数发散.二、二、正项级数正项级数正项级数正项级数及其敛散性及其敛散性如果 0（n=1,2,3），则称级数 为正项正项正项正项级数级数 定定理理1 正正正正项项项项级级级级数数数数收收收收敛敛敛敛的的的的充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件是是是是它它它它的的的的部部部部分分分分和和和和数数数数列有界列有界列有界列有界.例例1 证明正项级数 是收敛的证证 因为于是对任意的有 即正项级数的部分和数列有界正项级数的部分和数列有界正项级数的部分和数列有界正项级数的部分和数列有界，故级数 收敛.定理定理2（比较判别法）设 和 是两个正项级数正项级数正项级数正项级数，且 (1)(1)若级数若级数若级数若级数 收敛，则级数收敛，则级数收敛，则级数收敛，则级数 也收敛；也收敛；也收敛；也收敛；(2)(2)若级数若级数若级数若级数 发散，则级数发散，则级数发散，则级数发散，则级数 也发散也发散也发散也发散.例例2 讨论 级数 （）的敛散性（证明了解，结论结论）解解 当 时，因为 发散，所以由比较判别法知，当 时，发散.当 时，顺次把 级数的第1项，第2项到第3项，4到7项，8到15项，加括号后得它的各项显然小于级数 对 应 的 各 项，而 所 得 级 数 是 等 比 级 数，其 公 比 为 ，故收敛，于是当 时，级数 收敛.综上所述，综上所述，综上所述，综上所述，级数级数级数级数 当当当当 时发散，当时发散，当时发散，当时发散，当 时收敛时收敛时收敛时收敛.注注意意 级数在判断正项级数的敛散性方面经常用到，因此有关 级数敛散性的结论必须牢记结论必须牢记结论必须牢记结论必须牢记.例例3判定级数 的敛散性.解解 因为级数的一般项 满足而级数是p2的 级数，它是收敛的，所以原级数也是收敛的.重要参照级数:等比级数等比级数,p-级数级数。定理3 比较判别法的极限形式:注注:须有参照级数参照级数.比较审敛法的不方便解解发散发散.故原级数收敛故原级数收敛.定理定理4（达朗贝尔比值判别法）设 是一个正项级数，并且 ，则 (1)当 时，级数收敛；(2)当 时，级数发散；(3)当 时，级数可能收敛，也可能发散级数可能收敛，也可能发散级数可能收敛，也可能发散级数可能收敛，也可能发散.例例6 判别下列级数的敛散性 (1)；(2)解解(1)所以级数 发散；(2)所以级数 收敛.解解解解定理定理6(根值判别法，柯西判别法根值判别法，柯西判别法)w设 为正项级数，且w（1）当 时，级数收敛；w（2）当 时，级数发散；w（3）当 时级数可能收敛也可能时级数可能收敛也可能时级数可能收敛也可能时级数可能收敛也可能 发散发散发散发散注意注意:解解解解比值审敛法失效比值审敛法失效.根值审敛法也一定失效根值审敛法也一定失效.改用比较审敛法改用比较审敛法要判别一个正项级数是否收敛，通常按下列步骤进行：(1)用级数收敛的必要条件如果 ，则级数发散，否则需进一步判断.(2)用比值判别法 如果 ，即比值判别法失效，则改用比较比较比较比较判别法.(3)用比较判别法用比较判别法必须掌掌掌掌握握握握一一一一些些些些敛敛敛敛散散散散性性性性已已已已知知知知的的的的级级级级数数数数，以便与要判定的级数进行比较，经常用来作为比较的级数有等比级数，级数等.三、三、交错级数交错级数交错级数交错级数及其敛散性及其敛散性级数 称为交错级数交错级数.定理定理4（莱布尼兹判别法）如果交错级数 满足莱布尼兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数 收敛，其和 S ，其余项 例例6 判定交错级数 的敛散性.解解 此交错级数 ，满足：(1)；(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛.四、四、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定定义义3 对于任任任任意意意意项项项项级数 ,若 收敛，则称 是绝绝对对收收敛敛的；若 收敛，而 发散，则称 是条件收敛条件收敛的.定理定理5 绝对收敛的级数必是收敛的绝对收敛的级数必是收敛的.例例7 判定级数 的敛散性.解解 因为 ，而级数 收敛，故由比较判别法可知级数 收敛，从而原级数 绝对收敛.例例8 判别级数 的敛散性，说明是否绝对收敛.解解 因为 故由比值判别法比值判别法比值判别法比值判别法可知级数 收敛，所以原级数 绝对收敛.例例9 判别级数 是否绝对收敛.解解 因为 故由比值判别法可知级数 发散，从而原级数 不是绝对收敛不是绝对收敛不是绝对收敛不是绝对收敛.例例10 证明级数 条件收敛条件收敛条件收敛条件收敛.证证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛，而 为调和级数，它是发发发发散散散散的的的的，故所给级数条件收敛.第二节第二节 幂级数幂级数 一、幂级数的概念一、幂级数的概念1.1.函数项级数如果级数 的各项都是定义在某个区间I上的函数，则称该级数为函数项级数函数项级数，un(x)称为一般项一般项或通项通项.当x在I中取某个特定值 时，函数项级数就是一个常数项级数.如果这个级数收敛，则称点 为这个级数的一个收收敛敛点点。若发散，则称点 为这个级数的发发散点散点.一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域一个函数项级数的收敛点的全体称为它的收敛域.对于收敛域内的任意一个数x，函数项级数成为一个收敛的常数项级 数，因此有一个确定的和 S，在收敛域内，函数项级数的和是 x 的函数 S(x)，通常称S(x)为函数项级数的和函数和函数，即 其中 x 是收敛域内的任一点.将函数项级数的前项和记作 ，则在收敛域上有 2.幂级数的概念幂级数的概念 形如 的函数项级数，称为 的幂级数的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数幂级数的系数.当 0时，幂级数变为称为 x 的幂级数的幂级数.(1)怎么求怎么求怎么求怎么求幂级数的收敛半径 x 的幂级数各项取绝对值，则得到正项级数正项级数正项级数正项级数由比值判敛法其中 当 时，若 ，即 ，则级数收敛级数收敛级数收敛级数收敛，若 即 ，则级数发散.这个结果表明，只要 就会有一个对称开区间（-，），），），），在这个区间内幂级数绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛，在这个区间外幂 级数发散，当当当当 x x=R R 时，级数可能收敛也可能发散时，级数可能收敛也可能发散时，级数可能收敛也可能发散时，级数可能收敛也可能发散.称 为幂级数的收敛半径收敛半径.当 时，则级数对一切实数 x都绝对收敛，这时收敛半径 .如果幂级数仅在 x0一点处收敛，则收敛半径R0.定理定理1 如果x的幂级数的系数满足 则(1)当 时，(2)当 时，(3)当 时，(2)幂级数的收敛区间 若幂级数的收收收收敛敛敛敛半半半半径径径径为为为为 R R，则（-R R，R R）称为该级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝绝绝绝对对对对收收收收敛敛敛敛，把把把把收收收收敛敛敛敛区区区区间间间间的的的的端端端端点点点点x x R R 代代代代入入入入级级级级数数数数中中中中，判判判判定定定定数数数数项项项项级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域级数的敛散性后，就可得到幂级数的收敛域.例例1求下列幂级数的收敛半径及收敛域 (1)(2)(3)解解 (1)因为 所以幂级数的收敛半径 .所以该级数的收敛域为（-，+）；(2)因为 所以所给幂级数的收敛半径R=1.因此该级数的收敛区间为（-1，1）当x1时，级数为调和级数，发散 ；当x=-1时，级数为交错级数，收敛 故该级数的收敛域为-1,1).(3)因为所以所给幂级数的收敛半径 .因此没有收敛区间，收敛域为 ，即只在 处收敛.例例2 求幂级数 的收敛半径解解 所给级数缺少偶次方项缺少偶次方项缺少偶次方项缺少偶次方项，根据比值法求收敛半比值法求收敛半比值法求收敛半比值法求收敛半径径径径 当 ，即 时，所给级数绝对收敛；当，即 时，所给级数发散.因此，所给级数的收敛半径 .二、幂级数的性质二、幂级数的性质性质性质2 设 记 ，则在（-R,R）内有如下运算法则：(1)加（减）法运算 性性质质3（微分运算）设 ，收敛半径为 R，则在 （-R,R）内这个级数可以逐项求导逐项求导逐项求导逐项求导，即且收敛半径仍为 R.性性质质4（积分运算）设 ，收敛半径为 R，则在（-R,R）内这个级数可以逐项积分逐项积分逐项积分逐项积分，即且收敛半径仍为.例例4 求 的和函数 解解 设 两端求导求导求导求导得 两端积分得即 当 x=-1时，收敛；当 x=1时，收敛，所以