高等数学无穷级数-PPT.pptx

高等数学无穷级数一、常一、常数数项级数及其数及其敛散性散性 1、常数常数常数常数项项级数得概念数得概念定定义1 设给定一个数列定一个数列 则表达式表达式 (11 (11、1)1)称为常数常数项无无穷级数数,简称数数项级数数,记作 即 其中第其中第n 项 称称为一般一般项或通或通项、第一第一节 常数常数项级数及其数及其敛散性散性例如,级数 得一般项为又如级数得一般项为 简言之,数列得与式称为级数、数、定定义2 设级数得前前项之与之与为 称Sn为级数得前前项部分与部分与、当依次取1,2,3,时,新得数列新得数列新得数列新得数列 ,数列 称为级数 得部分与数列部分与数列、若此数列得极限存在,即 (常数),则S 称为 得与,记作此时称级数 收收敛、如果数列 没有极限,则称级数 发散散,这时级数没有与、当级数收敛时,其部分与 就是级数与S得近似值,称 为级数得余数得余项,记作 ,即 、例例1 判定级数 得敛散性、解解 已知级数得前n项与就是:因为 ,所以这个级数收敛,其与为1、例例3 讨论等比级数(也称几何级数)得敛散性、解解(1)前n项与当 时,所以级级数数数数 收收收收敛敛,其与当 时,所以级数 发发散散散散、(2)当 时,于就是 所以级数 发散、当 时,其前n项与显然,当n时,Sn没有极限、没有极限、没有极限、没有极限、所以,级数 发散、综上所述,等比级数 ,当 时收敛,当时发散、结论记结论记住住住住 大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静注注意意 几何级数 得敛散性非常重要、无论就是用比比比比较较判判判判别别法法法法判判判判别别级级数数数数得得得得敛敛散散散散性性性性,还就是用间接法将函数展开为幂级数,都经常以几何级数敛散性为基基础、2、数、数项级项级数得基本性数得基本性质质 性性质质1 如果级数 收敛,其与为s,k为常数,则级数 也收敛,其与为ks;如果级数 发散,当k0时,级数 也发散、由此可知,级级级级数得每一数得每一数得每一数得每一项项项项同乘以不同乘以不同乘以不同乘以不为为为为零得常数后零得常数后零得常数后零得常数后,其其其其敛敛敛敛散性不散性不散性不散性不变变变变、性性质2 若级数 与 分别收敛于与 ,则级数 ,收敛于性性质3 3 添添添添加加加加、去去去去掉掉掉掉或或或或改改改改变变级级数数数数得得得得有有有有限限限限项项,级数得敛散性不变、性性质4 若级数 收敛,则对对其其其其各各各各项项间间任任任任意意意意加加加加括括括括号号号号后后后后所得得级数仍收仍收敛敛,且其与不且其与不变变、应当注意,性性性性质质4 4得得得得结结论论反反反反过过来来来来并并并并不不不不成成成成立立立立、即如果加括号后级数收敛,原级数未必收敛、例如级数 (1-1)+(1-1)+(1-1)+显然收敛于零,但级数1+1-1+1-1+却就是却就是却就是却就是发发散得散得散得散得、性性质5(级级数收数收数收数收敛敛得必要条件得必要条件得必要条件得必要条件)若若若若级级数数数数 收收收收敛敛,则则 例例5判别级数 得敛散性解解 因为所以级数 发散、例例6判别级数 得敛散性、解解 级数 与级数 都收敛,故由性质2知,级数 收敛、注注意意 性性性性质质5 5可可可可以以以以用用用用来来来来判判判判定定定定级级数数数数发发散散散散:如如如如果果果果级级数数数数一一一一般般般般项项不不不不趋趋于于于于零零零零,则则该该级级数数数数必必必必定定定定发发散散散散、应当瞧到,性质5只就是级数收敛得必要条件,并不就是级数收敛得充分条件,也就就是说,即使 ,也不能由此判定级数 收敛、下下下下面面面面得得得得例例例例正正正正说说明明明明了了了了这这一一一一点点点点:,但但但但级级数数数数 发发散、散、散、散、例例7 证明调与级数 就是发散级数、证 调与级数部分与 如图,考察曲线 ,所围成得曲边梯形得面 积S与阴影表示得阶梯形面积An之间得关系、所以,阴影部分得总面积为它显然大于大于大于大于曲边梯形得面积S,即有而 ,表明A得极限不存在,所以该级数发散、二、二、正正正正项级项级数数数数及其及其敛散性散性如果 0(n=1,2,3),则称级数 为正正正正项项级数数 定定理理1 正正正正项项级级数数数数收收收收敛敛得得得得充充充充分分分分必必必必要要要要条条条条件件件件就就就就是是是是它它它它得得得得部部部部分分分分与与与与数列有界、数列有界、数列有界、数列有界、例例1 证明正项级数 就是收敛得证 因为于就是对任意得有 即正正正正项级项级项级项级数得部分与数列有界数得部分与数列有界数得部分与数列有界数得部分与数列有界,故级数 收敛、定理定理2(比较判别法)设 与 就是两个正正正正项级项级项级项级数数数数,且 (1)(1)若若若若级级级级数数数数 收收收收敛敛敛敛,则级则级则级则级数数数数 也收也收也收也收敛敛敛敛;(2)(2)若若若若级级级级数数数数 发发发发散散散散,则级则级则级则级数数数数 也也也也发发发发散、散、散、散、例例2 讨论 级数 ()得敛散性(证明了解,结论)解解 当 时,因为 发散,所以由比较判别法知,当 时,发散、当 时,顺次把 级数得第1项,第2项到第3项,4到7项,8到15项,加括号后得它得各项显然小于级数 对 应 得 各 项,而 所 得 级 数 就 是 等 比 级 数,其 公 比 为 ,故收敛,于就是当 时,级数 收敛、综综综综上所述上所述上所述上所述,级级级级数数数数 当当当当 时发时发时发时发散散散散,当当当当 时时时时收收收收敛敛敛敛、注注意意 级数在判断正项级数得敛散性方面经常用到,因此有关 级数敛散性得结论结论结论结论必必必必须须须须牢牢牢牢记记记记、例例3判定级数 得敛散性、解解 因为级数得一般项 满足而级数就是p2得 级数,它就是收敛得,所以原级数也就是收敛得、重要参照级数:等比等比级数数,p-级数数。定理3 比较判别法得极限形式:注注:须有参照参照级数数、比较审敛法得不方便解解 发散、散、故原故原级数收数收敛、定理定理4(达朗贝尔比值判别法)设 就是一个正项级数,并且 ,则 (1)当 时,级数收敛;(2)当 时,级数发散;(3)当 时,级级数可能收数可能收数可能收数可能收敛敛,也可能也可能也可能也可能发发散散散散、例例6 判别下列级数得敛散性 (1);(2)解解(1)所以级数 发散;(2)所以级数 收敛、解解解解定理定理6(根根值判判别法法,柯西判柯西判别法法)w设 为正项级数,且w(1)当 时,级数收敛;w(2)当 时,级数发散;w(3)当 时级时级数可能收数可能收数可能收数可能收敛敛也可能也可能也可能也可能 发发散散散散注意注意:解解解解比比值审敛法失效、法失效、根根值审敛法也一定失效、法也一定失效、改用比改用比较审敛法法要判别一个正项级数就是否收敛,通常按下列步骤进行:(1)用级数收敛得必要条件如果 ,则级数发散,否则需进一步判断、(2)用比值判别法 如果 ,即比值判别法失效,则改用比比比比较较判别法、(3)用比较判别法用比较判别法必须掌掌掌掌握握握握一一一一些些些些敛敛散散散散性性性性已已已已知知知知得得得得级级数数数数,以便与要判定得级数进行比较,经常用来作为比较得级数有等比级数,级数等、三、三、交交交交错级错级数数数数及其及其敛散性散性级数 称为交交错级数数、定理定理4(莱布尼兹判别法)如果交错级数 满足莱布尼兹(Leibniz)条件:(1)(2)则级数 收敛,其与 S ,其余项 例例6 判定交错级数 得敛散性、解解 此交错级数 ,满足:(1);(2)由莱布尼兹判别法知级数收敛、四、四、绝对绝对收收收收敛敛与条件收与条件收与条件收与条件收敛敛 定定义3 对于任任任任意意意意项项级数 ,若 收敛,则称 就是绝对收收敛得;若 收敛,而 发散,则称 就是条件收条件收敛得、定理定理5 绝对收收敛得得级数必就是收数必就是收敛得得、例例7 判定级数 得敛散性、解解 因为 ,而级数 收敛,故由比较判别法可知级数 收敛,从而原级数 绝对收敛、例例8 判别级数 得敛散性,说明就是否绝对收敛、解解 因为 故由比比比比值值判判判判别别法法法法可知级数 收敛,所以原级数 绝对收敛、例例9 判别级数 就是否绝对收敛、解解 因为 故由比值判别法可知级数 发散,从而原级数 不就是不就是不就是不就是绝对绝对收收收收敛敛、例例10 证明级数 条件收条件收条件收条件收敛敛、证 由莱布尼兹判别法知级数 收敛,而 为调与级数,它就是发发散散散散得得得得,故所给级数条件收敛、第二第二节节 幂级幂级数数 一、一、幂级幂级数得概念数得概念1 1、函数项级数如果级数 得各项都就是定义在某个区间I上得函数,则称该级数为函数函数项级项级数数,un(x)称为一般一般项项或通通项项、当x在I中取某个特定值 时,函数项级数就就是一个常数项级数、如果这个级数收敛,则称点 为这个级数得一个收收敛敛点点。若发散,则称点 为这个级数得发发散点散点、一个函数一个函数一个函数一个函数项级项级项级项级数得收数得收数得收数得收敛敛敛敛点得全体称点得全体称点得全体称点得全体称为为为为它得收它得收它得收它得收敛敛敛敛域域域域、对于收敛域内得任意一个数x,函数项级数成为一个收敛得常数项级 数,因此有一个确定得与 S,在收敛域内,函数项级数得与就是 x 得函数 S(x),通常称S(x)为函数项级数得与函数与函数,即 其中 x 就是收敛域内得任一点、将函数项级数得前项与记作 ,则在收敛域上有 2、幂级幂级数得概念数得概念 形如 得函数项级数,称为 得得幂级数数,其中常数 称为幂级数得系数数得系数、当 0时,幂级数变为称为 x 得得幂级数数、(1)怎么求怎么求怎么求怎么求幂级数得收敛半径 x 得幂级数各项取绝对值,则得到正正正正项级项级数数数数由比值判敛法其中 当 时,若 ,即 ,则级级级级数收数收数收数收敛敛敛敛,若 即 ,则级数发散、这个结果表明,只要 就会有一个对称开区间(-,),(-,),在这个区间内幂级数绝对绝对绝对绝对收收收收敛敛敛敛,在这个区间外幂 级数发散,当当当当 x x=R R 时时,级级数可能收数可能收数可能收数可能收敛敛也可能也可能也可能也可能发发散散散散、称 为幂级数得收收敛半径半径、当 时,则级数对一切实数 x都绝对收敛,这时收敛半径 、如果幂级数仅在 x0一点处收敛,则收敛半径R0、定理定理1 如果x得幂级数得系数满足 则(1)当 时,(2)当 时,(3)当 时,(2)幂级数得收敛区间 若幂级数得收收收收敛敛敛敛半半半半径径径径为为为为 R R,则(-(-R R,R R)称为该级数得收敛区间,幂级数在收敛区间内绝绝绝绝对对对对收收收收敛敛敛敛,把把把把收收收收敛敛敛敛区区区区间间间间得得得得端端端端点点点点x x R R 代代代代入入入入级级级级数数数数中中中中,判判判判定定定定数数数数项项项项级级级级数数数数得得得得敛敛敛敛散性后散性后散性后散性后,就可得到就可得到就可得到就可得到幂级幂级幂级幂级数得收数得收数得收数得收敛敛敛敛域、域、域、域、例例1求下列幂级数得收敛半径及收敛域 (1)(2)(3)解解 (1)因为 所以幂级数得收敛半径 、所以该级数得收敛域为(-,+);(2)因为 所以所给幂级数得收敛半径R=1、因此该级数得收敛区间为(-1,1)当x1时,级数为调与级数,发散 ;当x=-1时,级数为交错级数,收敛 故该级数得收敛域为-1,1)、(3)因为所以所给幂级数得收敛半径 、因此没有收敛区间,收敛域为 ,即只在 处收敛、例例2 求幂级数 得收敛半径解解 所给级数缺少偶次方缺少偶次方缺少偶次方缺少偶次方项项,根据比比比比值值法求收法求收法求收法求收敛敛半径半径半径半径 当 ,即 时,所给级数绝对收敛;当,即 时,所给级数发散、因此,所给级数得收敛半径 、二、二、幂级数得性数得性质性性质2 设 记 ,则在(-R,R)内有如下运算法则:(1)加(减)法运算 性性质3(微分运算)设 ,收敛半径为 R,则在 (-R,R)内这个级数可以逐逐逐逐项项求求求求导导,即且收敛半径仍为 R、性性质4(积分运算)设 ,收敛半径为 R,则在(-R,R)内这个级数可以逐逐逐逐项积项积分分分分,即且收敛半径仍为、例例4 求 得与函数 解解 设 两端求求求求导导得 两端积分得即 当 x=-1时,收敛;当 x=1时,收敛,所以