高等数学无穷级数简要讲解.pptx

9.2 9.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 1、正项级数收敛的充要条件、正项级数收敛的充要条件(1)(1)定义定义:这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.(2)(2)正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:部分和数列部分和数列 s sn n 为单调增加数列为单调增加数列.2.2.比较审敛法比较审敛法比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数.3.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 =1nnu与与 =1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 =1nnv发散发散,则则 =1nnu发散发散;例例4 故原级数收敛故原级数收敛.例例5 所以原级数所以原级数 发散。发散。收敛知所给级数收敛。收敛知所给级数收敛。例例7 判断下列各级数的敛散性判断下列各级数的敛散性解解：（1）（2）则级数收敛。则级数收敛。5、根值审敛法（柯西判别法）、根值审敛法（柯西判别法）定理定理 对于正项级数对于正项级数则当则当1时级数发散，时级数发散，=1时级数可能收敛也可能发散。时级数可能收敛也可能发散。例例8 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 解：解：二、交错级数二、交错级数 1 定义：交错级数：定义：交错级数：u1u2+u3+(1)n-1 un+2 莱布尼兹定理莱布尼兹定理：如果交错级数：如果交错级数其中其中uk0(k=1，2，)。或或u1+u2u3+(1)n-1 un+(ii)un 0(n)，则级数收敛，则级数收敛(i)un un+1；满足条件满足条件例例 交错级数交错级数收敛收敛 三、条件收敛与绝对收敛三、条件收敛与绝对收敛 下面讨论一般项级数下面讨论一般项级数 u1+u2+u3+un+其中其中un为任意实数。为任意实数。1、定理、定理 对于级数对于级数 例例3绝对收敛；绝对收敛；条件收敛；条件收敛；条件收敛；条件收敛；