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第一章 函数、极限与连续目录目录第一节第一节 函数函数第二节第二节 极限极限第三节第三节 极限的运算极限的运算第四节第四节 无穷小与无穷大无穷小与无穷大第五节第五节 函数的间断性与连续点函数的间断性与连续点第六节第六节 初等函数的连续性初等函数的连续性第一节 函数集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全体，组成集合的单一事物称为该集合的体，组成集合的单一事物称为该集合的元素元素。一、集合、区间与邻域一、集合、区间与邻域1.集合集合集合必须具有确定的特征，即对于某集合必须具有确定的特征，即对于某个元素是否属于某个集合是确定的。个元素是否属于某个集合是确定的。注注意意有限集合有限集合有限个元素构成有限个元素构成北京北京户籍人口籍人口无限集合无限集合无限个元素构成无限个元素构成全体偶数、全体全体偶数、全体实数数集合常用大写字母集合常用大写字母 A,B,C,表示表示,元素常用小写字母元素常用小写字母 a,b,c,表示表示.给定一个集合给定一个集合M,若若a 是是M 的元素的元素,则记作则记作a M.读作读作 a 属于属于M;若若a 不是不是M 的元素的元素,则记作则记作a M.读作读作 a 不属于不属于M.将集合中的所有元素一一列将集合中的所有元素一一列举出来出来,写在大括号内写在大括号内,元素之元素之间用逗号分开用逗号分开.举例：例：N=N=1,2,3,4,列列举法法将集合中所有元素的共同性将集合中所有元素的共同性质描述出来描述出来,写在大括写在大括号内，左号内，左边写代表元素写代表元素,右右边写共同性写共同性质,中中间用用坚线“|”分开分开.举例：举例：W=y|y=f(x),x D描述法描述法并集并集由所有属于集合由所有属于集合A或属于集合或属于集合B的元的元素所素所组成的集合，称成的集合，称为集合集合A与与B的的并集并集ABAB=x|xA,或或 xB交集交集由属于集合由属于集合A且属于集合且属于集合B的所有元的所有元素素组成的集合，称成的集合，称为A与与B的交集的交集ABAB=x|xA,且且 xB差集差集由所有属于集合由所有属于集合A 而不属于集合而不属于集合B 的的元素组成的集合元素组成的集合A-BA-B=x|xA,且且 x B集合集合相等相等集合集合A 的任何一个元素都是集合的任何一个元素都是集合B 的的元素，同时集合元素，同时集合B 的任何一个元素都的任何一个元素都是集合是集合A 的元素的元素A=B子集子集如果集合如果集合A 的任何一个元素都是集合的任何一个元素都是集合B 的元素，那么集合的元素，那么集合A 就是集合就是集合B 的的子集子集AB空集空集不含任何元素的集合不含任何元素的集合集合的运算及关系集合的运算及关系2.区间区间是指某一范围的实数集合区间是指某一范围的实数集合.假设假设a,b 是实数是实数,且且ab,则则:满足满足ax b的所有实数的所有实数 x 的集合的集合,称为以称为以a,b 为端点为端点的的闭区间闭区间,记作记作a,b.满足满足axb 的所有实数的所有实数 x 的集合的集合,称为以称为以a,b为端点为端点的的开区间开区间,记作记作(a,b).满足满足a xb 或或a 0,以以 x0为中心为中心,以以 为半径为半径,长为长为 2的的开区间开区间.即即 称为称为点点 x0 的的 邻域邻域,记为记为U(x0,).3.邻域点点 x0 的的去心邻域去心邻域.即即 点点 x0 的的左邻域左邻域,即即点点 x0 的的右邻域右邻域,即即二、函数的概念定义定义1.1.1设设x和和 y 是两个变量是两个变量,D 是一个给定的数集是一个给定的数集.如果对如果对于给定的每个数于给定的每个数 x D,变量变量 y 按照一定法则总有确定按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称的数值和它对应，则称 y 是是x的函数的函数,记作记作 y=f(x),x D.其中其中,变量变量x称为称为自变量自变量,y 称为称为因变量因变量.数集数集D 称为称为函数的函数的定义域定义域,y 的取值范围称为函数的的取值范围称为函数的值域值域.定义定义1.1.2 在定义域的不同范围内用不同的表达式表示的函数，在定义域的不同范围内用不同的表达式表示的函数，称为称为分段函数分段函数.1-1xyo三、函数的几种特性定义定义1.1.3 若存在正数若存在正数M,使得函数使得函数 f(x)在区间在区间 I 上恒有上恒有|f(x)|M,则称则称 f(x)在区间在区间I 上上有界有界;否则否则,f(x)在区间在区间I 上上无界无界.1.有界性有界性函数函数f(x)在区间在区间 I 上有界的充分必要条件是：上有界的充分必要条件是：f(x)在区间在区间 I 上既有上界又有下界上既有上界又有下界.定义定义1.1.4 对于区间对于区间I 内任意两点内任意两点 x1,x2,当当x1 x2 时时,若若f(x1)f(x2),则称则称 f(x)在在I 上单调减少上单调减少,区间区间I 称为称为单调减区间单调减区间.如下图所示如下图所示.单调增区间和单调减区间统称为单调增区间和单调减区间统称为单调区间单调区间.2.单调性xyoxyo定义定义1.1.5 设设I 为关于原点对称的区间为关于原点对称的区间,若对于任意若对于任意 x I,都都有有f(-x)=f(x),则称则称 f(x)为为偶函数偶函数;若若 f(-x)=-f(x),则称则称 f(x)为为奇函数奇函数.4.周期性定义定义1.1.6 若存在不为零的数若存在不为零的数T,使得对于任意使得对于任意 x I,都有都有x+T I,且且f(x+T)=f(x),则称则称f(x)为为周期函数周期函数,通常所说通常所说的周期函数的周期是指它的的周期函数的周期是指它的最小正周期最小正周期.3.奇偶性四、反函数与复合函数设设 y=f(x)为定义在为定义在D上的函数上的函数,其值域为其值域为A.若对于若对于数集数集 A 上的每个数上的每个数 y,数集数集D中都有唯一确定的一个数中都有唯一确定的一个数x使使 f(x)=y,即即x变量为变量为y 的函数的函数,这个函数称为函数这个函数称为函数y=f(x)的的反函数反函数,记为记为x=f-1(y),其定义域为其定义域为A,值域为值域为D.函数函数 y=f(x)与与 y=f-1(x)的图形的图形关于直线关于直线 y=x 对称对称,如下图所示如下图所示.1.反函数反函数2.复合函数定义定义1.1.8 若函数若函数 y=f(u)的定义域为的定义域为U1,函数函数u=(x)的值域的值域为为U2,且且U2U1,则则y通过变量通过变量u成为成为x的函数的函数,这个函数这个函数称为由函数称为由函数 y=f(u)和函数和函数u=(x)构成的构成的复合函数复合函数,记记为为 y=f(x),u 称为称为中间变量中间变量.五、初等函数1.基本初等函数基本初等函数基本基本 初等函数初等函数幂函数函数指数函数指数函数对数函数数函数三角函数三角函数反三角反三角 函数函数2.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的有限次的函数复合步骤所构成的,并可用一个式子表示并可用一个式子表示的函数的函数,称为称为初等函数初等函数.例如：例如：第二节 极限自变量自变量n 为正整数的函数为正整数的函数 xn=f(n)(n=1,2,),其其函数值为按自变量函数值为按自变量n 由小到大排列而成的一列数由小到大排列而成的一列数:xl,x2,x3,xn,此序列数称为此序列数称为数列数列,记作记作xn.数列中的每一个数称数列中的每一个数称为为数列的项数列的项,第第n 项项xn称为数列称为数列xn的的通项通项或或一般项一般项.一、数列的极限一、数列的极限定义定义1.2.1 设数列设数列xn，如果当，如果当n时，对应的数列的项时，对应的数列的项xn无限接近某个确定的常数无限接近某个确定的常数A，则称常数，则称常数A 为为数列数列xn.当当n 时的极限，或称当时的极限，或称当n 时，数列时，数列xn收敛于收敛于A，记作，记作 或或 .定理定理1.2.1 若数列若数列xn收敛，则数到收敛，则数到xn有界有界.定理定理1.2.2 (单调有界原理单调有界原理)若数列若数列xn单调且单调且有界，则数列有界，则数列xn必收敛必收敛.如果当如果当n时，数列的项时，数列的项 xn不无限趋近于一个确不无限趋近于一个确定的常数，则称数列定的常数，则称数列xn没有极限，或称数列没有极限，或称数列xn发散发散.定理定理1.2.3 设函数设函数 y=f(x)当当|x|M(M为正数为正数)时有时有定义定义,则则 的充要条件是的充要条件是 .二、函数的极限定义定义1.2.2 设函数设函数 y=f(x)在在|x|M(M 为正数为正数)时有定义时有定义,如果当如果当|x|无限无限增大时增大时,即即x+或或 x-时时,对对应的函数值应的函数值 f(x)无限接近某个确无限接近某个确定的常数定的常数A,则称常数则称常数A 为函数为函数f(x)在在x时的时的极限极限,记作记作 .1.当当x时，函数时，函数 y=f(x)的极限的极限定义定义1.2.3 设函数设函数y=f(x)在在x0的某一的某一去心邻域内有定义，如果自变去心邻域内有定义，如果自变量量x在该邻域内无限接近在该邻域内无限接近x0时，时，相应的函数值相应的函数值 f(x)无限接近某无限接近某一确定的常数一确定的常数A，则称常数，则称常数A 是函数是函数f(x)当当xx0时的极限，时的极限，记作记作 .2.当当xx0时，函数时，函数y=f(x)的极限的极限三、函数极限的性质第三节 极限的运算一、极限的运算法则一、极限的运算法则法则法则1法则法则2法则法则3二、复合函数的极限运算法则定理定理1.3.1 设函数设函数u=(x)当当xx0时的极限存在时的极限存在且等于且等于a,即即 ;在点在点x0的某去心邻域内的某去心邻域内(x)a,且且 ,则复合函数则复合函数 f(x)当当xx0时的极限也时的极限也存在存在,且且 .三、极限的夹逼准则四、两个重要极限1 （型型）2 （型型）第四节 无穷小与无穷大极限为零的变量称为无穷小量极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小简称无穷小.一、无穷小一、无穷小1.无穷小的定义无穷小的定义2.函数极限与无穷小之间的关系函数极限与无穷小之间的关系3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质有限个元穷小的代数和是无穷小有限个元穷小的代数和是无穷小.定理定理1.4.3 有界变量与无穷小的积是无穷小有界变量与无穷小的积是无穷小.推论推论1 常数与无穷小的积仍是无穷小常数与无穷小的积仍是无穷小.推论推论2 有限个无穷小的积仍是无穷小有限个无穷小的积仍是无穷小.的充要条件是的充要条件是 f(x)=A+(x),其中其中(x)是是xx0时的无穷小时的无穷小.二、无穷大定义定义1.4.2 在自变量在自变量x的某个变化过程中的某个变化过程中,若相应的函数值的若相应的函数值的绝对值绝对值|f(x)|无限增大无限增大,则称则称 f(x)为该自变量变化过程中为该自变量变化过程中的的无穷大量无穷大量(简称为简称为无穷大无穷大);如果相应的函数值如果相应的函数值f(x)(或或-f(x)无限增大无限增大,则称则称 f(x)为该自变量变化过程中的为该自变量变化过程中的正正(或负或负)无穷大无穷大.无无穷大大正无正无穷大大负无无穷大大三、无穷小与无穷大的关系四、无穷小的比较定理定理1.4.5 设设 ,且且 存在存在,则则 几个常用的等价无穷小几个常用的等价无穷小第五节 函数的连续性与间断点变量变量 x 的增量的增量变量变量 y 的增量的增量一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量2.函数连续性的定义3.左连续和右连续如果如果 ，则称函数，则称函数 f(x)在点在点x0处处左连续左连续;如果如果 ，则称函数，则称函数 f(x)在点在点x0处处右连续右连续.间断点的三种情况：间断点的三种情况：(1)在在 x=x0处没有定义处没有定义;(2)虽在虽在 x=x0处有定义处有定义,但但 不存在不存在;(3)虽在虽在 x=x0处有定义处有定义,且且 存在存在,但但二、函数的间断点函数函数 f(x)在点在点 x0处不连续处不连续,点点 x0称为函数称为函数 f(x)的的不连续点不连续点或或间断点间断点.第六节 初等函数的连续性 定理定理1.6.1 （连续函数的四则运算连续函数的四则运算）如果函数如果函数 在点在点 处连续，则处连续，则 ，在点在点 处也连续处也连续 定理定理1.6.2 （复合函数的连续性复合函数的连续性）如果函数如果函数 在点在点 处连续，函数处连续，函数 在点在点 处连处连续，且续，且 ，那么复合函数，那么复合函数 在点在点 处也是连续处也是连续的，即的，即 定理定理1.6.3 (反函数的连续性反函数的连续性)单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续的单调连续函数的反函数在其对应区间上也是单调连续的.基本初等函数基本初等函数在它们的定义域内都是连续的在它们的定义域内都是连续的.四、闭区间上连续函数的性质定义定义1.6.1 对于在区间对于在区间 I 上有定义的函数上有定义的函数 f(x),如果有如果有x0 I使得使得对于任一对于任一 x I 都有都有 f(x)f(x0)(或或 f(x)f(x0),则称则称f(x0)是函数是函数 f(x)在区间在区间 I 上的上的最大值最大值(或或最小值最小值).性质性质1 (最大值和最小值定理最大值和最小值定理)闭区间上的连续函数必有最大值和最小值闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.性质性质2 (有界定理有界定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.性质性质3 （零点定理零点定理）如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，且上连续，且 ，则在则在 内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得 推论推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值与最小值m 之间的任何值之间的任何值.性质性质4 （介值性质介值性质）如果函数如果函数 在闭区间在闭区间 上连续，且在此区间的端点上连续，且在此区间的端点取不同的函数值取不同的函数值 f(a)=A 及及f(b)=B，那么对于，那么对于A与与B之间的任意之间的任意一个数一个数C，在开区间，在开区间 内至少存在一点内至少存在一点，使得，使得