高等数学第一章的总结-PPT.pptx

高等数学第一章的总结 性质性质(闭区间上连续函数闭区间上连续函数)函数函数 极限极限(数列极限、函数极限数列极限、函数极限)连续连续(或间断或间断)内容内容一、函数一、函数:函数得分类函数得分类函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等有无穷多项等函数函数)代数函数代数函数超越函数超越函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函分式函数数)邻域邻域:绝对值绝对值:运算性质运算性质:绝对值不等式绝对值不等式:函数得特性:M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX1、函数得有界性、函数得有界性:数列得有界性数列得有界性:补充内容补充内容:1、单调递增且有上界数列必有极限。单调递增且有上界数列必有极限。2、单调递减且有下界数列必有极限。单调递减且有下界数列必有极限。2、函数得单调性、函数得单调性:xyoxyo10大家应该也有点累了,稍作休息大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得大家有疑问得,可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流可以询问与交流3、函数得奇偶性、函数得奇偶性:偶函数偶函数yxox-x奇函数奇函数yxox-x函数得周期性函数得周期性:(通常说周期函数得周期就是指其最小正通常说周期函数得周期就是指其最小正周期周期)、典型例题典型例题例例解解例例解解故故思考题思考题思考题解答思考题解答设设则则故故二、极限函数极限得统一定义函数极限得统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在、补充结论补充结论:小结小结:解解商得法则不能用商得法则不能用由无穷小与无穷大得关系由无穷小与无穷大得关系,得得例例解解例例(消去零因子法消去零因子法)例例解解(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)结论结论:无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量得最高次幂除分以分母中自变量得最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限、例例解解先变形再求极限先变形再求极限、例、例、证明证明证证:利用夹逼准则、且由例例:1、求极限解解:原式2、求极限提示提示:原式左边左边=右边故极限存在,例例:设设,且求解解:设则由递推公式有数列单调递减有下界,故利用极限存在准则思考与练习思考与练习1、如何判断极限不存在?方法1、找一个趋于得子数列;方法2、找两个收敛于不同极限得子数列、2、已知,求时,下述作法就是否正确?说明理由、设由递推式两边取极限得不对不对!此处例例解解意义意义:定理定理:意义意义1、极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;定理定理:注意注意:该该定理就是上个定理得特殊情况定理就是上个定理得特殊情况、无穷小无穷小(量量):无穷小得性质;无穷小得比较;常用等价无穷小:两个重要极限两个重要极限:2、1、两个重要极限或注注:代表相同的表达式思考与练习思考与练习填空题填空题 (14)例、例、求下列极限:提示提示:无穷小有界令则有复习复习:若则则-2填空题填空题:1、2、0极限得计算方法极限得计算方法:1、极限得四则运算法则及其推论、极限得四则运算法则及其推论;2、多项式与分式函数代入法求极限、多项式与分式函数代入法求极限;3、消去零因子法求极限、消去零因子法求极限;4、无穷小因子分出法、无穷小因子分出法(等价无穷小代换等价无穷小代换)求极限求极限;5、利用无穷小运算性质求极限、利用无穷小运算性质求极限;6、利用左右极限求分段函数极限、利用左右极限求分段函数极限;7、复合函数极限运算法则、复合函数极限运算法则;(尤其利用复合函数连续性尤其利用复合函数连续性)8、利用两边夹逼准则求极限、利用两边夹逼准则求极限;9、利用罗比达法则求极限利用罗比达法则求极限;10、利用泰勒公式求极限、利用泰勒公式求极限;11、利用定积分求极限、利用定积分求极限;12、利用无穷级数得性质求极限、利用无穷级数得性质求极限;思考题思考题:在某个过程中在某个过程中,若若 有极限有极限,无无极限极限,那么那么 就是否有极限？为就是否有极限？为什么？什么？与与就是否有极限？就是否有极限？思考题解答思考题解答:没有极限、没有极限、假设假设 有极限，有极限，有极限，有极限，由极限运算法则可知由极限运算法则可知:必有极限必有极限,与已知矛盾与已知矛盾,故假设错误、故假设错误、思考题思考题:任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？思考题解答思考题解答:不能、不能、例当例当 时时都就是无穷小量都就是无穷小量但但不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时例例解解例例:例例:思考题思考题:(如何做如何做？)说明说明:对于形如对于形如:得函数,通常称为幂指函数幂指函数、如果如果那么有那么有思考题思考题:例、例、解解:原式例、例、求求例例解解 解法讨论解法讨论典型例题典型例题例例:例例:三、连续与间断连续与间断1、函数连续得等价形式有2、函数间断点第一类间断点第二类间断点可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点小结:1、函数在一点连续必须满足得三个条件函数在一点连续必须满足得三个条件;3、间断点得分类与判别间断点得分类与判别;2、区间上得连续函数区间上得连续函数;第一类间断点第一类间断点:(左右极限都存在得间断点左右极限都存在得间断点)、第二类间断点第二类间断点:(左右极限至少有一个不存在得间断点左右极限至少有一个不存在得间断点)、间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyxoyxoyx闭区间连续函数得性质小结闭区间连续函数得性质小结:在上有最大值与最小值;上可取最大值与最小值之间得任何值;3、若使至少存在一个上有界;在在思考题思考题思考题解答思考题解答且且但反之不成立但反之不成立、例例但但例例解解例例证明证明讨论讨论:由零点定理知由零点定理知,综上综上,例例 设设f(x)在在(a,b)内连续内连续,x1,x2,xn就是就是(a,b)内任意值内任意值,证明存在证明存在(a,b)使使例例:其她例题其她例题: