同济大学高等数学第七版14无穷小与无穷大.pptx

第一章第一章 二、二、无穷大无穷大 三三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大无穷小与无穷大一、无穷小一、无穷小 定义定义 1无穷小无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以就是在自变量的某个变化过程中，以 0为极限的函数（或变量）。为极限的函数（或变量）。无穷小一般用希腊字母无穷小一般用希腊字母,等表示等表示无穷小的无穷小的-定义定义1.4 无穷小无穷小与无穷大与无穷大 5无穷小的例子无穷小的例子下列函数何时为无穷小？下列函数何时为无穷小？下列函数何时为无穷小？下列函数何时为无穷小？注意：注意：(1)任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如是无穷小，如 0.01,0.0000023。(2)0 是唯一的无穷小常数。是唯一的无穷小常数。(3)无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷小。不能孤立地说一个变量是无穷小。如如是无穷小是无穷小但但不是无穷小不是无穷小定理定理 1（极限与无穷小的关系）（极限与无穷小的关系）证证 以极限以极限 为例。为例。以下定理说明了以下定理说明了无穷小的重要性无穷小的重要性直观地看，应当有直观地看，应当有是无穷小是无穷小(x)是无穷小是无穷小此定理表明：在自变量的某个变化过程中，此定理表明：在自变量的某个变化过程中，这就是讨论无穷小的意义之一。这就是讨论无穷小的意义之一。定理定理 1（函数极限与无穷小的关系）（函数极限与无穷小的关系）二、无穷大二、无穷大 (Infinity)例例 考察当考察当 时，时，1/x 的变化趋势。的变化趋势。当当 时，时，可以大于任何正数可以大于任何正数 M例如例如使得，当使得，当时，就有时，就有无论它多么大！无论它多么大！称称 1/x 为为 时的时的无穷大无穷大，记作：记作：所以所以的刻划需要两个正数：的刻划需要两个正数：M 用来表示函数值用来表示函数值 f(x)的绝对值可以任意大的绝对值可以任意大:|f(x)|M。用来表示当自变量用来表示当自变量 x 与与 x0 的距离充分接近时的距离充分接近时(|x-x0|)，就能保证，就能保证 f(x)的绝对值大于事先任的绝对值大于事先任意给定的意给定的 M。定义定义 2无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。无限增大的函数（或变量）。的定义：的定义：使得，当使得，当时，就有时，就有严格地说，严格地说，表明极限表明极限不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。穷大。注意：注意：(1)任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。穷大。(2)无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷大。不能孤立地说一个变量是无穷大。例例2 证明：证明：分析分析要要只要只要要要只要只要得得所以所以证明：证明：要要证证只要只要使得，当使得，当时，就有时，就有所以所以铅直渐近线铅直渐近线水平渐近线水平渐近线若若则则 x=x0 为为 y=f(x)的的铅直渐近线铅直渐近线问：如何定义问：如何定义以上定义如何修改？以上定义如何修改？M-X 定义定义问：如何定义问：如何定义以上定义如何修改？见教材见教材37页页,题题 5填空：填空：当当 时，时，是无穷大是无穷大 当当 时，时，是正无穷大是正无穷大 填空：填空：当当 时，时，是负无穷大是负无穷大 当当 时，时，是正无穷大是正无穷大 不存在不存在两个基本极限：两个基本极限：两个基本极限：两个基本极限：定理定理 2（无穷大与无穷小的关系）（无穷大与无穷小的关系）无穷大与无穷小有倒数关系。无穷大与无穷小有倒数关系。直观记忆直观记忆例如例如内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系