高等数学北大版无穷小量与微分.pptx

无穷小量的比较无穷小量的比较:都是无穷小,引例引例.但 可见无穷小量趋于 0 的速度是多样的.定义定义.若若若若若或设 是自变量同一变化过程中的无穷小量无穷小量,记作则称 是比 高阶高阶的无穷小量无穷小量,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小量的无穷小量;则称 与 为同阶同阶无穷小量;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小无穷小量量;则称 是 的等价等价无穷小无穷小量量,例例 1例例 2 当时，例例 4时，当是 的三阶无穷小无穷小量量.因为所以 时，当是 的三阶无穷小无穷小量量.故时是关于 x 的二阶无穷小量,且例例 3设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小无穷小的比较小结小结无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的关系若为无穷大量,为无穷小量;若为无穷小量,且则则(自证)当当 时，时，为无穷大量.据此结论,关于无穷大量的问题都可转化为 无穷小量来讨论.说明说明:2.微分的概念微分的概念我们考察量这时，当 时 也是无穷小量.于是得到可以写成 由此可见，当 很小时，可以用 近似地代替.以上是在 在 点可导的条件下进行讨论的.如果不考虑可导这个条件，即，当 在 点可导时，函数值的改变量何时 在 处的改变量可以写成 其中 为常数.根据前面的讨论，当 在 点可导时，上式成立，且反过来，假定上式成立，上式两边同除以 ，并令取极限，得 可见，函数 在 可导，且定义定义:的微分微分,若函数在点 的增量可表示为(A 为不依赖于x 的常数)则称函数而 称为记作即 函数在点 可微的充要条件充要条件是即在点可微可微,微分是函数改变量的线性主要部分微分是函数改变量的线性主要部分.微分概念的意义：微分概念的意义：关于 的线性主部高阶无穷小时为因此，当 很小时，因此因此例例 6例例 7导数也叫作微商微分之商导数也叫作微商微分之商微分的求法微分的求法基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则微分的几何意义切线纵坐标的增量当 很小时,