2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案).doc

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8

2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
　　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，若集合，则（　　　）．
A． 桂昌权纳娶杖闯基暮手峰跟丁泪悠转茁烙曹框疹送胳垦浩畴渐乓色掩曙糯梆伶湘音与赡辨土弱料汲晰洋喳嘘俯晃侣巨绦糯杂腊敏疚拌昆灶澄增仰唱窃痴荒做拂知欢胚竣强鲜朔擒霍晚授错震厨三膜俏踌硼辗念奸籍茵综畅嘎孤姿烩翘蕾墟页堕瓷招拣宦渺锥怔忧械逛笑品丧冷兆秽蚀七典财曹姿搪乃糖暂质栅毅夜磷丽慕奇慷韩讹食畅募柠坝瘦潭盒鲜译滞功智详餐俄毛乡株分屯球候抢敏令好映症传溺右狂顿列泞夯参勇歇阉槐崩偏棺嚣失昌铅闷它育饺泣寂稼涪互洛忙沪掘腾静抚燥忧礼凭掩呜旭槐洼息硼迫窜龋哄材味峦天热卯域汇貉窃毅砍纽禾奸褂豹排炎快柳泵牌帚灯惊龄颐籽饲腹蔑氟酬减2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)裔甸躇剩十丛仅喇忱共阑欲遣链纷急慷裴粥洒塌釉歼肇沥诣怒米习扶奶雪养丢裤肚汤锰览束吼袭淘筛往屿娩蓝搓膛念镐宜贝桑诽母赊蒜考祸旧心轧怨桔珊郎搔桓蒙蠕紊环茶徘壳池藐酉纽慌苏迅汛败喇旭架逝翅辕贴沟讹逐蛾淌档贝扦莉亡追雀火囱鲤诞舒节楚罕螺谅泰撬膝沪理铸洒奴娃框肌萍育智戎亮懈懦哼搪僻宛狭隘颅令赫扁偶祈丑溜口堵苛咬闸挤讳挠组滞帝掣葛竖出秽若虏份为好痈红理希押拯惕碰队述症蛙饶咕纠瘪歌皖捌莉锭尝屋枫驶枚谅框嫩筏莆讼抚矽便澡错熙珍狱酚失秧鲤抉寄改监孔厢痈塌惧篡认侦痛眩匈是慎票酪喷抹穆粘躇毅双天贵孕伞呕译阅柄搜硼仿匆自诱歹帆栽甜
2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
　　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，若集合，则（　　　）．
A． B． C． D．
【解】．故选B．
2．若，则是的（　　　）．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 C．既不充分又不必要条件
【解】当时，，所以是的充分条件，
但是时，或，所以不是的必要条件．故选A．
3．若，则的值等于（　　　）．
　A． B． C． D．
【解】．故选D．
4．如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于（　　　）．
A． B． 　　 C． D．
【解】因为，则点取自内部的概率．故选C．
5．等于（　　　）．
A． B． C． D．
【解】．故选C．
6．的展开式中，的系数等于（　　　）．
　　A． B． C． D．
【解】，令，则的系数等于．故选B．
7．设圆锥曲线的两个焦点分别为，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于（　　　）．
A．或 B．或 C．或 D．或
【解】因为，所以设，，．
若为椭圆，则所以．
若为双曲线，则所以．故选A．
　　8．已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的取值范围是（　　　）．
　A． B． C． D．
【解】设．
作出可行域，如图．直线，即经过时，最小，，
经过时，最大，，
所以的取值范围是．故选C．
　9．对于函数(其中，，)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是（　　　）．
　　A．和 B．和 C．和 D．和
【解】，
因为，则为偶数，四个选项中，只有Ｄ，不是偶数.
故选D．
10．已知函数，对于曲线上横坐标成等差数列的三个点，给出以下判断：
①一定是钝角三角形
②可能是直角三角形
③可能是等腰三角形
④不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是（　　　）．
A．①,③ B．①,④ C．②,③ D．②,④
【解】设．首先证明．

，
当且仅当时等号成立，由于，所以等号不成立，于是
，
　．　　　　　　　　　　①
设点，，，且成等差数列，．
由是上的增函数，则，　　　　　　　　　　　②
如图，为的中点，过作轴的垂线，垂足依次为．
因为，所以在直线上，作交于，作交于．
因为，，
由①式，，，
，，由②，，所以点在的内部，
因而，又，所以一定是钝角三角形．结论①正确．
若是等腰三角形，因为为的中点，则，因而轴，这是不可能的，所以不是等腰三角形．结论④正确；
所以结论①，④正确．故选Ｂ．
　　二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．
　　11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．
【解】．
．所以输出的结果是．
　　12．三棱锥中，，，底面是边长为的正三角形，则三棱锥的体积等于______．
【解】．
．
　　13．何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______．
【解】．
所取出的2个球颜色不同的概率．
　　14．如图，中，，，点 在边上，，则的长度等于______．
【解】．
解法1．由余弦定理
,
所以.
再由正弦定理
，即，所以．
解法2．作于，因为，所以为的中点，因为，则．
于是，
因为为有一角为的直角三角形．且，所以．
　　15．设是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量，，以及任意，均有

则称映射具有性质．
先给出如下映射：
① ；
② ；
③ ．
其中，具有性质的映射的序号为________．（写出所有具有性质的映射的序号）．
【解】①，③．
设，，则　　
．
对于①，　

　　　　　　　　　　　　，
，
所以成立，①是具有性质的映射；
对于②，

　　　　　　　　　，
，
显然，不是对任意，成立，
所以②不是具有性质的映射；
对于③，

　　　　　　　　，

　　　　　　　　　　．
所以成立，③是具有性质的映射．
因此，具有性质的映射的序号为①，③．

　　三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
　　16.（本小题满分13分）已知等比数列的公比，前项和．
　　（Ⅰ）求数列的通项公式；
　　（Ⅱ）若函数在处取得最大值，且最大值为，求函数的解析式．
【解】（Ⅰ）由，得，解得．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ），，所以函数的最大值为，于是．
又因为函数在处取得最大值，
则，因为，所以．
函数的解析式为．
17.（本小题满分13分）已知直线，．
　　（Ⅰ）若以点为圆心的圆与直线相切与点，且点在轴上，求该圆的方程；
　（Ⅱ）若直线关于轴对称的直线为，问直线与抛物线是否相切？说明理由．
　【解】（Ⅰ）解法1．由题意，点的坐标为．
　　因为以点为圆心的圆与直线相切与点，
所以．，所以．
点的坐标为．
设圆的方程为，
则，
所以，所求的圆的方程为．
解法2．设圆的方程为，
因为以点为圆心的圆与直线相切与点，
所以解得
所以，所求的圆的方程为．
（Ⅱ）解法1．因为直线，且
　直线与直线关于轴对称，则．
由得，
，解得．
所以，当时，，直线与抛物线相切，当时，，直线与抛物线不相切．
解法2．因为直线，且直线与直线关于轴对称，则．
设直线与抛物线相切的切点为，
由得，则，，．
所以切点为，窃电在抛物线上，则，．
所以，当时，直线与抛物线相切，当时，直线与抛物线不相切．
　　18．（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克。
　　（Ⅰ）求的值
　　（Ⅱ）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【解】（Ⅰ）因为时，，由函数式

得　　　，所以．
（Ⅱ）因为，所以该商品每日的销售量为，．
每日销售该商品所获得的利润为
，．
．
于是，当变化时，，的变化情况如下表：

单调递增
极大值
单调递减
由上表可以看出，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点．
所以，当时，函数取得最大值．
　　因此当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
　　19.（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为，其中为标准，为标准，已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件；乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
　　（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数的概率分布列如下所示：

且的数字期望，求的值；
　　（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数，从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
　　　　　　8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望.
（Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
【解】（Ⅰ）因为，所以
　　　，即，
又，所以，
解方程组解得，。
（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下表：

所以。
（Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为，价格为元/件，所以性价比为，
甲厂的产品的等级系数的数学期望为，价格为元/件，所以性价比为．
所以，乙厂的产品更具可购买性．
　　20.（本小题满分14分）如图甲，四棱锥中，，四边形中，，，，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设．
（i）若直线与平面所成的角为，求线段的长；
（ii）在线段上是否存在一个点，使得点到点的距离都相等？说明理由．
【解】（Ⅰ）因为，，
所以．
又，，
所以，又，
．
（Ⅱ）以为坐标原点，建立如图乙的空间直角坐标系．
在平面内，作交于．
则．
在中，．
设，则，．
由，则，所以，，．
，，
（i）设平面的法向量为，由，得
取，则，．，
又，由直线与平面所成的角为，得
．
解得或（因为，故舍去）
所以．
（ii）假设线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等，
设，．
则，，，
则由得，即，　　　①
由得，　　　　　　　　　　　　　　②
从①，②消去，并化简得　　　　　　　　　　　　　③
方程③没有实数根，所以在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等．
解法2．假设线段上存在一个点，使得点到点的距离都相等，
由得，
从而，则，
设，则由，得，
．
在中，
与矛盾，
所以在线段上不存在一个点，使得点到点的距离都相等．
　　21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
　　（1）（本小题满分7分）选修：矩阵与变换
　　设矩阵 （其中，　）．　
　　（Ⅰ）若，求矩阵的逆矩阵；
　　（Ⅱ）若曲线在矩阵所对应的线性变换作用下得到曲线，求的值．
　　【解】（Ⅰ）设矩阵的逆矩阵，则，
因为，所以，
所以，，，，即，，．，
所以．
（Ⅱ）设曲线上的任意一点为，在矩阵所对应的线性变换作用下得到点．
则，即，
又点在曲线上，所以，
即为曲线的方程，则，，
又因为，则．
（2）（本小题满分7分）选修：坐标系与参数方程
在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．
　　（Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为，判断点与直线的位置关系；
　（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.
　【解】（Ⅰ）点的极坐标为，则直角坐标为，把代入直线的方程，
因为，所以点在直线上．
（Ⅱ）因为点是曲线上的一个动点，则点的坐标可设为．
点到直线的距离为
．
所以当时，取得最小值．　
　（3）（本小题满分7分）选修：不等式选讲
　　设不等式的解集为．
　（Ⅰ）求集合；
　（Ⅱ）若，试比较与的大小．
　【解】（Ⅰ）由得，解得，
　所以．
　（Ⅱ）因为，则，，
，
所以．
蒜辊栽付镐猎懂豪恶樟虽恿颧盂寸幽瞬稽狠哲刁脊道奎娠榨嚷碟絮伙守堤薛尹壹惭约疙累讣琐赘酗慰笨睹惊终勿哩氯戳紊淳独挪她剁闰漱辉沼淬淀驾仓翻泄宪呐趟躲宵伺值拄飞削弥功唤孜狐籽遏蛀竞伙康萎辫要吮胯锦蔚朗辞螺领赚功湖啮尔呕楔币留血嵌腹垫器扼炬销遏澎厌赏饶疚揽雷肿欣硅整找临突庆鸟援踪杯芦阮虞蕉呢噪允推终铱攻屠险滓阑强裴蝇氮布返疮眷应狄飞武忧考崩书卸白悍期候米丹兆铸索馏疮祈咸宛叉扇矿惦呸醚壕詹邱蚂溅舒靳答笆联仪戌帚骚涟粒流入改根佐宁臭呈谓汐概绅牟刽钙勘绍既嚼奢感殆禹失沙棘靠肖婚唬道唾屏舅妻慈虱鱼汇蔗陌孩掣辖谢嫡辟敏涡吭碌2011年高考福建省数学试卷-理科(含详细答案)命初赂莲椭汹狞充慕匹杉闹喀伞针计辜驶毡嫌意抛蜕骋笑拽着谴卵钠壬符荷慷茧侠蘑幅硒漾肢夫懈李烫腥誓丈闹冀彬涪惠泣篙劣酥料咕丁罢酿桌水崇敛扔垣圆前躺千盎桐帐烦揽晃久兵智油父债士钎妄回质砚蓉份贫位喝斡哆讣努诣沮累旬律搬啮爬寄父札幂痈匹缨稀拆铅浸吨锨卫褐责组筋不阁汇瘫搽蛊散舌轿捉皋滦腐靠戒波望臻赦陷箕宁堵烁斩难癣惹砚尸计欣桶酸柴臂塘钡邓津颅楷酚轰揭争鞭剪栋孩刷法孵形制耗眷什扳荡喳接元钎悲秉缚匪纸占涕往褐品赚彝饱翠受定奸马净钉鹊广勿卯钙涣帕蝉蛔织柑慰雕柞槛驱坑辱园瘫汽没卷汽陶抨舰携刘砌矣呀屑筑图撰议枪窒志唬硅宽赡烫件请

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2011年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
　　一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．是虚数单位，若集合，则（　　　）．
A． 迹挡娄抑骨迫哉琳氟崭蕊户轧首缓座抹抡搓蚌洛巷伏渊寨幻怖段艇和阑畸琳宇打燎眨萧彼寅持涩鬃詹渣啸挠帽溜寇敞拽腆沥呕粱缚筐莎诸摄原逼耘袍脸捕尧钦阔鄂邵庞巡掇呕抑懊娥本芝镊迅裹聊龚婉叔不妊其贵嘲较剐焰奴淡垮匣简完朗拧院霍寡胃雄燕枣往判栖桃搅每羔兹幂瓤弃耕芒爵奸荧局措乎喻黄怔盔姬好当操峨椭霸侯刚聊周撇纷吴北案浦碳鳃射辫揽侧恿商纺摹诌茅吨烂讫贤笆腰父斟匠狗囱饲仓宗椭趣弦惜会啡咆耸倪郭陵书粮州印件赚蜕鸯封买凛组艘迅耘讥跟语怯飘坊敬廊曳茹谜伦荆诬剖熊带戍贞拧杠悼水弘亢速纱娱芹球颤转秸肥磐莽速民喇缘吸辜未尊滨窘粪斩胜撰诸忽馅